2.3.3～2.3.4 点到直线的距离公式 两条平行直线间的距离(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

2.3.3~2.3.4　点到直线的距离公式　两条平行直线间的距离 情境导入 课程标准 如图所示,渔民们要将船推到海里,请同学们帮助设计一下:在理论上,怎样设计能使这条路最短? 1.掌握点到直线的距离公式。 2.会求两条平行直线间的距离。 自主预习明新知 1.点到直线的距离 (1)概念:点P到直线l的距离,就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度,如图所示,其中Q是垂足。 (2)公式:点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的距离d=。 可以验证,当A=0或B=0时,上述公式仍然成立。 2.两条平行直线间的距离 (1)概念:两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长。 (2)公式:两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0(A,B不同时为0,C1≠C2)之间的距离d=。 微提醒 1.运用点到直线的距离公式时,一定要将直线方程化为一般式方程。 2.运用两平行直线间的距离公式时,必须保证两直线方程中x,y的系数分别对应相同。 微思考 1.点到直线的距离公式对于A=0或B=0时的直线是否仍然适用? 提示:仍然适用,但一般不用公式求解,而常用数形结合求点到直线的距离。 2.两条平行直线2x+3y+2=0,4x+6y+1=0间的距离是d=吗? 提示:不是,应先把两直线方程中x,y的系数化为相同,再用公式求解。 合作探究攻重难 　　　　　　　　　　　　　　 类型一　点到直线的距离 　　【例1】　求点P(3,-2)到下列直线的距离: (1)y=; (2)y=6; (3)x=4。 解　(1)直线y=化为一般式为3x-4y+1=0,由点到直线的距离公式可得d=。 (2)因为直线y=6与y轴垂直,所以点P到它的距离d=|-2-6|=8。 (3)因为直线x=4与x轴垂直,所以点P到它的距离d=|3-4|=1。 　　应用点到直线的距离公式应注意的三个问题 (1)直线方程应为一般式,若给出其他形式应化为一般式。 (2)点P在直线l上时,点到直线的距离为0,公式仍然适用。 (3)直线方程Ax+By+C=0中,A=0或B=0公式也成立,但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直),故也可用数形结合求解。 　　【变式训练】　(1)若点M(-2,1)到直线x+2y+C=0的距离为1,则C的值为 ± 。  解析　由点到直线的距离公式可知=1,所以C=±,所以C的值为±。 (2)求过点A(-1,2)且到原点的距离等于的直线方程。 解　显然直线x=-1到原点的距离为1,所以所求直线的斜率是存在的。设所求直线的方程为y-2=k(x+1),化成一般式为kx-y+2+k=0。由题意得,解得k=-1或k=-7。故适合题意的直线方程为y-2=-(x+1)或y-2=-7(x+1),即x+y-1=0或7x+y+5=0。 类型二　两条平行直线间的距离 　　【例2】　(1)若直线x-2y-1=0与直线x-2y-c=0的距离为2,则实数c的值为 11或-9 。  解析　因为直线x-2y-1=0与直线x-2y-c=0的距离为2,所以,解得c=11或c=-9。 (2)两条平行直线3x-4y+1=0与ax-8y+c=0的距离为3,则a= 6 ,c= -28或32 。  解析　由题意得,所以a=6。直线3x-4y+1=0即为6x-8y+2=0。由两条平行直线间的距离公式得=3,所以|2-c|=30,即c=-28或c=32。 　　两条平行直线间距离的求法 (1)直接利用两条平行直线间的距离公式。 (2)在一条直线上任意选取一点,利用点到直线的距离公式求解(一般要选特殊的点,如直线与坐标轴的交点、坐标为整数的点)。 　　【变式训练】　(1)直线3x+4y-12=0与6x+8y+6=0间的距离是 3 。  解析　6x+8y+6=0可化为3x+4y+3=0,所以直线3x+4y-12=0与3x+4y+3=0之间的距离d==3。 (2)与两条平行直线l1:3x-y+9=0,l2:3x-y-3=0等距离的直线方程是 3x-y+3=0 。  解析　设所求直线方程为3x-y+m=0。由题意,知,解得m=3。故所求直线的方程为3x-y+3=0。 类型三　利用距离公式求最值 　　命题方向1:由点到直线的距离求最值 　　【例3】　(1)若x,y满足x+y+1=0,则x2+y2-2x-2y+2的最小值为(B) A.2 B. C.3 D.4 解析　原多项式可化为(x-1)2+(y-1)2,其几何意义为点P(x,y)和点Q(1,1)间距离的平方,且点P(x,y)在直线x+y+1=0上。设d为点Q到直线x+y+1=0的距离,由|PQ|≥d,得,即x2+y2-2x-2y+2≥,故所求的最小值为。 (2)已知点(1,-1)关于直线l1:y=x的对称点为A,设直线l2经过点A,则当点B(2,-1)到直线l2的距离最大时,直线l2的方程为(B) A.2x+3y+5=0 B.3x-2y+5=0 C.3x+2y+5=0 D.2x-3y+5=0 解析　设A(a,b),则所以A(-1,1)。设点B(2,-1)到直线l2的距离为d,当d=|AB|时取得最大值,此时直线l2垂直于直线AB,又,所以直线l2的方程为y-1=(x+1),即3x-2y+5=0。 　　解答此类问题的关键是理解式子表示的几何意义,将“数”转化为“形”,从而利用图形的直观性加以解决。 　　【变式训练】　(1)动点P(x,y)在直线x+y-4=0上,O为原点,求|OP|最小时P点的坐标。 (2)求过点P(1,2)且与原点距离最大的直线方程。 解　(1)直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离,此时OP垂直于已知直线,则kOP=1,所以OP所在直线方程为y=x。由所以P点坐标为(2,2)。 (2)由题意知过点P且与OP垂直的直线到原点O的距离最大,因为kOP=2,所以所求直线的斜率为-,所求直线方程为y-2=-(x-1),即x+2y-5=0。 　　命题方向2:有关两条平行直线间距离的最值 　　【例4】　两条互相平行的直线分别过点A(6,2),B(-3,-1),并且各自绕着点A,B旋转,如果两条平行直线间的距离为d。 (1)求d的取值范围; (2)求d取最大值时,两条直线的方程。 解　(1)设经过A点和B点的直线分别为l1,l2,显然当时,l1和l2的距离最大,且最大值为|AB|=,所以d的取值范围为(0,3]。 (2)由(1)知dmax=3,kAB=,则所求两条直线的斜率为k=-3,所以两直线的方程分别为3x+y-20=0与3x+y+10=0。 　　两条平行直线间的距离可转化为两点间的距离,通过两点间的距离利用数形结合思想得到两条平行直线间距离的最值。 　　【变式训练】　已知P,Q分别是直线3x+4y-5=0与6x+8y+5=0上的动点,则|PQ|的最小值为(D) A.3 B. C. D. 解析　由题意知,两条直线互相平行,所以两条直线间的距离就是|PQ|的最小值,3x+4y-5=0可化为6x+8y-10=0,则|PQ|min=。 当堂检测提素养 　　　　　　　　　　　　　　 1.点(4,-2)到直线y=的距离是(B) A.1 B.2 C. D.6 解析　直线y=化为一般式方程为3x-4y-10=0。点(4,-2)到直线3x-4y-10=0的距离d==2,故选B。 2.直线x+y+1=0与直线x+y-1=0之间的距离是(A) A. B. C.1 D. 解析　由题意知,两条直线互相平行,所以两条直线之间的距离为。 3.经过两直线x+3y-10=0和3x-y=0的交点,且和原点相距为1的直线方程为 x=1或4x-3y+5=0 。  解析　设所求直线l的方程为x+3y-10+λ(3x-y)=0,即(1+3λ)x+(3-λ)y-10=0,因为原点到直线的距离d==1,所以λ=±3,即直线方程为x=1或4x-3y+5=0。 4.若两条平行直线Ax-2y-1=0与6x-4y+C=0之间的距离为,则C= 11或-15 。  解析　由两条平行直线Ax-2y-1=0与6x-4y+C=0,可得A=3,即两条平行直线方程为6x-4y-2=0,6x-4y+C=0,由两条平行直线间的距离为,可得,解得C=11或C=-15。 5.已知直角坐标平面上三点A(5,1),B(7,-3), C(2,-8),过点C作AB的平行线交x轴于点D。 (1)求点D的坐标; (2)求四边形ABCD的面积。 解　(1)根据题意,A(5,1),B(7,-3),则kAB==-2。又由AB∥CD知,kCD=-2,则直线CD的方程为y+8=-2(x-2),即2x+y+4=0。令y=0,解得x=-2,则D(-2,0)。 (2)因为|AB|=2,|CD|=4,AB∥CD,故四边形ABCD为梯形,点A(5,1)到直线CD:2x+y+4=0的距离为,所以四边形ABCD的面积S=×(2)×3=45。 学科网（北京）股份有限公司 $$