2.3.1～2.3.2 两条直线的交点坐标 两点间的距离公式(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

2.3　直线的交点坐标与距离公式 2.3.1~2.3.2　两条直线的交点坐标　两点间的距离公式 情境导入 课程标准 　　 如图,小王与小李两位同学早上7点从家中出发去上学,7:15准时到达到学校。假设两人的行走路线都是直线,则学校可以看作两条直线的交点。 1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标。 2.探索并掌握平面上两点间的距离公式。 自主预习明新知 1.直线的交点与直线的方程组成的方程组的解的关系 (1)两直线的交点。 点P的坐标既满足直线l1的方程A1x+B1y+C1=0,也满足直线l2的方程A2x+B2y+C2=0,即点P的坐标是方程组的解,解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标。 (2)两直线的位置关系。 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 2.两点间的距离公式 条件 点P1(x1,y1),P2(x2,y2) 结论 |P1P2|= 特例 点P(x,y)到原点O(0,0)的距离|OP|= 微提醒 1.如果两条直线相交,则交点坐标分别适合两条直线的方程,即交点坐标是两直线方程所组成方程组的解。 2.(1)两点间的距离与这两点的先后顺序无关,即上述公式也可写成|P1P2|=。 (2)①当P1P2∥x轴(y1=y2)时,|P1P2|=|x2-x1|。 ②当P1P2∥y轴(x1=x2)时,|P1P2|=|y1-y2|。 微思考 1.仅用直线的斜率能判断两直线的位置关系吗? 提示:不能。 2.式子的几何意义是什么? 提示:两点(x,y),(a,b)间的距离。 合作探究攻重难 　　　　　　　　　　　　　　 类型一　两条直线的交点问题 　　【例1】　(1)直线4x+2y-2=0与直线3x+y-2=0的交点坐标是(C) A.(2,2) B.(2,-2) C.(1,-1) D.(1,1) 解析　解方程组所以交点坐标为(1,-1)。 (2)经过两直线l1:3x+4y-2=0和l2:2x+y+2=0的交点且过原点的直线l的方程是 x+y=0 。  解析　解法一:由方程组即l1与l2的交点坐标为(-2,2)。因为直线过原点,所以其斜率k==-1。故直线方程为y=-x,即x+y=0。 解法二:因为l2不过原点,所以可设l的方程为3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0(λ∈R),即(3+2λ)x+(4+λ)y+2λ-2=0。将原点(0,0)代入上式,得λ=1,所以直线l的方程为5x+5y=0,即x+y=0。 　　两条直线相交的判定方法 方法一:联立直线方程解方程组,若有一解,则两直线相交。 方法二:两直线斜率都存在且斜率不等。 方法三:两直线的斜率一个存在,另一个不存在。 　　【变式训练】　(1)直线l经过原点,且经过另两条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0的交点,则直线l的方程为(B) A.2x+y=0 B.2x-y=0 C.x+2y=0 D.x-2y=0 解析　设所求直线方程为2x+3y+8+λ(x-y-1)=0,即(2+λ)x+(3-λ)y+8-λ=0,因为l过原点,所以λ=8,则所求直线l的方程为2x-y=0。 (2)三条直线ax+2y+7=0,4x+y=14和2x-3y=14相交于一点,求a的值。 解　解方程组所以两条直线的交点坐标为(4,-2)。由题意知点(4,-2)在直线ax+2y+7=0上,将(4,-2)代入,得a×4+2×(-2)+7=0,解得a=-。 类型二　两点间的距离公式及应用 　　【例2】　(1)已知点A(-3,4),B(2,),在x轴上找一点P,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值。 解　设点P的坐标为(x,0),则有|PA|=,|PB|=。由|PA|=|PB|,得x2+6x+25=x2-4x+7,解得x=-。故所求点P的坐标为。|PA|=。 (2)已知△ABC的三顶点坐标A(-3,1),B(3,-3),C(1,7),试判断△ABC的形状。 解　因为kAC=,kAB=,则kAC·kAB=-1,所以AC⊥AB。又|AC|=,|AB|=,所以|AC|=|AB|,所以△ABC是等腰直角三角形。 　　(1)对于任意两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2),则|P1P2|=。 (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况,可直接利用距离公式的特殊情况求解。 　　【变式训练】　试在直线x-y+4=0上求一点P,使它到点M(-2,-4),N(4,6)的距离相等。 解　由直线x-y+4=0,得y=x+4,点P在该直线上,所以可设P点的坐标为(a,a+4)。由已知|PM|=|PN|,所以,即。所以(a+2)2+(a+8)2=(a-4)2+(a-2)2。解得a=-,从而a+4=-。所以P。 类型三　坐标法的应用 　　【例3】　求证:三角形的中位线长度等于第三边长度的一半。 证明　 如图,以A为原点,边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,其中D,E分别为边AC和BC的中点。设A(0,0),B(c,0),C(m,n),则|AB|=|c|。又由中点坐标公式,得D,E,所以|DE|=||=||,所以|DE|=|AB|,即三角形的中位线长度等于第三边长度的一半。 　　用解析法解题时,虽然平面图形的几何性质不依赖于直角坐标系的建立,但不同的直角坐标系会使我们的计算有繁简之分,因此在建立直角坐标系时必须“避繁就简”。 　　【变式训练】　等腰梯形ABCD中,AB∥DC,对角线为AC和BD。求证:|AC|=|BD|。 解　 如图所示,建立直角坐标系。设A(0,0),B(a,0),C(b,c),则点D的坐标是(a-b,c)。所以|AC|=, |BD|=。故|AC|=|BD|。 对称问题 【典例】　(1)点P(-3,4)关于直线x+y-2=0的对称点Q的坐标是() A.(-2,1) B.(-2,5) C.(2,-5) D.(4,-3) 【解析】　设对称点坐标为(a,b),则即Q(-2,5)。故选B。 【答案】　B (2)一条光线沿直线2x-y+2=0入射到直线x+y-5=0后反射,求反射光线所在直线的方程。 【解】　取直线2x-y+2=0上一点A(0,2),设点A(0,2)关于直线x+y-5=0对称的点为B(a,b), 则所以B(3,5)。 由 所以直线2x-y+2=0与直线x+y-5=0的交点为P(1,4), 所以反射光线在经过点B(3,5)和点P(1,4)的直线上, 该直线的方程为y-4=(x-1), 整理得x-2y+7=0。 故反射光线所在直线的方程为x-2y+7=0。 　　有关对称问题的两种主要类型 (1)中心对称: ①点P(x,y)关于点(a,b)的对称点P'(x',y')满足 ②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决。 (2)轴对称: ①点A(a,b)关于直线Ax+By+C=0(B≠0)的对称点为A'(m,n),则有 ②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决。 　　【变式训练】　(1)已知不同的两点P(a,-b)与Q(b+1,a-1)关于点(3,4)对称,则ab=(C) A.-5 B.14 C.-14 D.5 解析　由题意知故ab=7×(-2)=-14。 (2)已知直线l:y=3x+3,则点P(4,5)关于l的对称点的坐标为 (-2,7) 。  解析　设点P关于直线l的对称点为P'(x',y'),则线段PP'的中点M在直线l上,且直线PP'垂直于直线l,即所以点P'的坐标为(-2,7)。 当堂检测提素养 　　　　　　　　　　　　　　 1.直线2x+y+8=0和直线x+y-1=0的交点坐标是(B) A.(-9,-10) B.(-9,10) C.(9,10) D.(9,-10) 解析　解方程组即交点坐标是(-9,10)。 2.已知直角坐标平面上连接点(-2,5)和点M的线段的中点是(1,0),那么点M到原点的距离为(B) A.41 B. C. D.39 解析　设M(x,y),由题意得所以M(4,-5)。则M到原点的距离为。 3.已知直线l1:ax+y-6=0与l2:x+(a-2)y+a-1=0相交于点P,若l1⊥l2,则点P的坐标为 (3,3) 。  解析　因为直线l1:ax+y-6=0与l2:x+(a-2)y+a-1=0相交于点P,且l1⊥l2,所以a×1+1×(a-2)=0,解得a=1,联立方程所以点P的坐标为(3,3)。 4.直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5必通过定点 (9,-4) 。  解析　将原方程按m的降幂排列,整理得(x+2y-1)m-(x+y-5)=0,此式对于m的任意实数值都成立,根据恒等式的要求,m的一次项系数与常数项均等于0,故有所以m为任意实数时,所给直线必通过定点(9,-4)。 5.求经过直线l1:3x+2y-1=0和l2:5x+2y+1=0的交点,且垂直于直线l3:3x-5y+6=0的直线l的方程。 解　解法一:解方程组得交点坐标为(-1,2)。又由直线l3的斜率为,得直线l的斜率为-,则直线l的方程为y-2=-(x+1),即5x+3y-1=0。 解法二:由于直线l⊥l3,故直线l满足5x+3y+C=0。又直线l过直线l1,l2的交点(-1,2),故5×(-1)+3×2+C=0,解得C=-1,故直线l的方程为5x+3y-1=0。 解法三:由于直线l过直线l1,l2的交点,故直线l满足3x+2y-1+λ(5x+2y+1)=0,整理,得(3+5λ)x+(2+2λ)y+(-1+λ)=0。其斜率为-,解得λ=,则直线l的方程为5x+3y-1=0。 学科网（北京）股份有限公司 $$