2.2.2 直线的两点式方程(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

2.2.2　直线的两点式方程 情境导入 课程标准 　　 某区商业中心O有通往东、西、南、北的四条大街,某公园位于东大街北侧、北大街东侧P处,如图所示。公园到东大街、北大街的垂直距离分别为1 km和4 km。现在要在公园前修建一条直线大道分别与东大街、北大街交汇于A、B两处,如何通过A,B两点的位置确定大道的位置就是今天所要学习的内容。 根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线的两点式方程。 自主预习明新知 1.直线的两点式方程 名称 已知条件 示意图 方程 使用范围 P1(x1,y1), P2(x2,y2), 其中x1≠x2, y1≠y2, = 斜率存在且 不为0 2.直线的截距式方程 名称 已知条件 示意图 方程 使用范围 在x,y轴上的截距分别为a,b且a≠0,b≠0 + =1 斜率存在 且不为0, 直线不过原点　　 微提醒 1.如果x1=x2或y1=y2,则直线P1P2没有两点式方程。 2.若a=0或b=0,则直线没有截距式方程。 微思考 1.方程和方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)的适用范围相同吗? 提示:不同。前者为分式形式方程,形式对称,但不能表示垂直于坐标轴的直线。后者为整式形式方程,适用于过任何两点的直线方程。 2.若P1(x1,y1),P2(x2,y2)中x1=x2,则直线方程怎样表示,若y1=y2呢? 提示:若x1=x2,则直线方程为x=x1;若y1=y2,则直线方程为y=y1。 3.=1是直线的截距式方程吗? 提示:不是。化为=1才是直线的截距式方程。 合作探究攻重难 　　　　　　　　　　　　　　 类型一　直线的两点式方程 　　【例1】　(1)若直线l经过点A(2,-1),B(2,7),则直线l的方程为 x=2 。  解析　由于点A与点B的横坐标相等,所以直线l没有两点式方程,所求的直线方程为x=2。 (2)若点P(3,m)在过点A(2,-1),B(-3,4)的直线上,则m= -2 。  解析　由直线方程的两点式得,即。所以直线AB的方程为y+1=-x+2,因为点P(3,m)在直线AB上,所以m+1=-3+2,得m=-2。 　　由两点式求直线方程的步骤 (1)确定直线所经过两点的坐标; (2)由直线的两点式方程写出直线的方程。 　　【变式训练】　已知△ABC的三个顶点坐标A(2,-1),B(2,2),C(4,1),求三角形三条边所在的直线方程。 解　因为点A(2,-1),B(2,2),A,B两点横坐标相同,直线AB与x轴垂直,故其方程为x=2。因为A(2,-1),C(4,1),由直线方程的两点式可得AC的方程为,即x-y-3=0。同理可由直线方程的两点式得直线BC的方程为,即x+2y-6=0。所以AB,AC,BC三边所在的直线方程分别为x=2,x-y-3=0,x+2y-6=0。 类型二　直线的截距式方程 　　【例2】　直线l过点P(-6,3),且它在x轴上的截距是它在y轴上截距的3倍,求直线l的方程。 解　①当直线在y轴上的截距为零时,直线过原点,可设直线l的方程为y=kx。因为直线l过点P(-6,3),所以3=-6k,k=-,所以直线l的方程为y=-x,即x+2y=0。 ②当直线在y轴上的截距不为零时,由题意可设直线l的方程为=1。又直线l过点P(-6,3),所以=1,解得b=1。所以直线l的方程为+y=1,即x+3y-3=0。综上所述,所求直线l的方程为x+2y=0或x+3y-3=0。 　　如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m倍(m>0)”等条件时,若采用截距式求直线方程,则一定要注意考虑“零截距”的情况。 　　【变式训练】　已知直线l经过点(3,-2),且在两坐标轴上的截距相等,则直线l的方程为 x+y-1=0或2x+3y=0 。  解析　设直线l在两坐标轴上的截距均为a。 ①若a=0,则直线l过原点,此时l的方程为2x+3y=0; ②若a≠0,则l的方程可设为=1,因为直线l过点(3,-2),知=1,即a=1,所以直线l的方程为x+y=1,即x+y-1=0。 综上可知,直线l的方程为x+y-1=0或2x+3y=0。 类型三　直线方程的应用 　　【例3】　如图,已知直线l过点P(2,1),且与x轴,y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为原点,则三角形OAB面积的最小值为 4 。  解析　设直线l为=1(a>0,b>0),因为直线l过点P(2,1),则有=1,三角形OAB的面积为S=ab。对=1,利用均值不等式得1=,即ab≥8。于是,三角形OAB的面积为S=ab≥4。当且仅当a=4,b=2时取等号。 　　计算最值问题的方法 对于三角形、四边形等图形的面积,获得对应的表达式后,可以结合式子特征,应用均值不等式、二次函数等方法,求得最大(或最小)值,需注意变量的限制条件。 　　【变式训练】　已知点A(3,0),B(0,4),直线AB上一动点P(x,y),则xy的最大值是 3 。  解析　直线AB的方程为=1,设P(x,y),则x=3-y,所以xy=3y-(-y2+4y)=[-(y-2)2+4]≤3。即当P点坐标为时,xy取得最大值3。 当堂检测提素养 　　　　　　　　　　　　　　 1.经过M(3,2)与N(6,2)两点的直线方程为(B) A.x=2 B.y=2 C.x=3 D.x=6 解析　由M,N两点的坐标可知,直线MN与x轴平行,所以直线方程为y=2。故选B。 2.直线=1在两坐标轴上的截距之和为(B) A.1 B.-1 C.7 D.-7 解析　直线=1,即=1的横截距为3,纵截距为-4,所以直线=1在两坐标轴上的截距之和为-1。 3.一条光线从点P(6,4)射出,与x轴相交于点Q(2,0),经x轴反射,则反射光线所在的直线方程为 y=-x+2 。  解析　由光学知识可得反射光线所在的直线过点Q(2,0)和P(6,4)关于x轴的对称点M(6,-4),其直线方程为,即y=-x+2。 4.直线ax+by=1(ab≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积是  。  解析　直线在两坐标轴上的截距分别为,所以直线与坐标轴围成的三角形面积为。 5.已知△ABC中,顶点A(1,-4),B(6,6),C(-2,0)。求: (1)△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的方程并化为截距式方程; (2)BC边的中线所在直线的方程并化为截距式方程。 解　(1)平行于BC边的中位线就是AB,AC中点的连线。因为线段AB,AC的中点坐标分别为,,所以平行于BC边的中位线所在直线的方程为,整理得,6x-8y-13=0,化为截距式方程为=1。 (2)因为BC边的中点为(2,3),所以BC边上的中线所在直线的方程为,即7x-y-11=0,化为截距式方程为=1。 学科网（北京）股份有限公司 $$