2.2.1 直线的点斜式方程(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

2.2　直线的方程 2.2.1　直线的点斜式方程 情境导入 课程标准 　　 斜拉桥又称斜张桥,桥身简约刚毅,力感十足。若以桥面所在直线为x轴,桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系,那么斜拉索可看成过桥塔上同一点的直线。 根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线的点斜式方程。 自主预习明新知 1.直线的点斜式方程 (1)定义:如图①所示,直线l经过点P0(x0,y0),且斜率为k,则方程y-y0=k(x-x0)叫做直线l的点斜式方程,简称点斜式。 (2)如图②所示,过点P0(x0,y0),倾斜角是90°的直线没有点斜式,其方程是x-x0=0,即x=x0。 　　　 ① ② 2.直线的斜截式方程 定义:如图所示,直线l的斜率为k,且与y轴的交点为P0(0,b),其中纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距。则方程y=kx+b叫做直线l的斜截式方程,简称斜截式。 当倾斜角是直角的直线没有斜截式方程。 微提醒 1.经过点P0(x0,y0)的直线有无数条,可以分为两类: (1)斜率存在的直线,方程为y-y0=k(x-x0); (2)斜率不存在的直线,方程为x-x0=0,即x=x0。 2.应用斜截式方程的前提是直线的斜率存在。 3.纵截距不是距离,它是直线与y轴交点的纵坐标,所以可取一切实数,即可为正数、负数或零。 微思考 1.直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢? 提示:不能。有斜率的直线才能写成点斜式方程,凡是垂直于x轴的直线,其方程都不能用点斜式表示。 2.直线在y轴上的截距和直线与y轴交点到原点的距离是一回事吗? 提示:不是,直线在y轴上的截距是它与y轴交点的纵坐标,截距是一个实数,可正、可负、可为0。当截距非负时,它等于直线与y轴交点到原点的距离;当截距为负时,它等于直线与y轴交点到原点距离的相反数。 合作探究攻重难 　　　　　　　　　　　　　　 类型一　求直线的点斜式方程 　　【例1】　若直线l过点(2,1),分别求l满足下列条件时的直线方程。 (1)倾斜角为135°; (2)平行于x轴; (3)平行于y轴; (4)过原点。 解　(1)直线的斜率k=tan 135°=-1,所以由点斜式方程得y-1=-1×(x-2),即方程为y-1=-(x-2)。 (2)平行于x轴的直线的斜率k=0,故所求的直线方程为y=1。 (3)过点(2,1)且平行于y轴的直线方程为x=2。 (4)过点(2,1)与点(0,0)的直线的斜率k=,故所求的直线方程为y=x。 　　已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标,均可用直线的点斜式方程表示,直线的点斜式方程应在直线斜率存在的条件下使用,当直线的斜率不存在时,直线方程为x=x0。 　　【变式训练】　(1)已知直线的方程是y+2=-x-1,则(C) A.直线经过点(-1,2),斜率为-1 B.直线经过点(2,-1),斜率为-1 C.直线经过点(-1,-2),斜率为-1 D.直线经过点(-2,-1),斜率为1 解析　直线方程y+2=-x-1可化为y-(-2)=-[x-(-1)],故直线经过点(-1,-2),斜率为-1。 (2)经过点P(2,-3),且倾斜角为45°的直线方程为(D) A.x+y+1=0 B.x+y-1=0 C.x-y+5=0 D.x-y-5=0 解析　倾斜角为45°的直线的斜率为tan 45°=1,又该直线经过点P(2,-3),所以用点斜式求得直线的方程为y+3=x-2,即x-y-5=0。 类型二　求直线的斜截式方程 　　【例2】　根据条件写出下列直线的斜截式方程: (1)倾斜角为60°,与y轴的交点到坐标原点的距离为3; (2)与直线y=2x+1垂直,且在y轴上的截距为4; (3)在y轴上的截距为-6,且与y轴夹角为60°。 解　(1)因为直线的倾斜角为60°,所以斜率k=tan 60°=。因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3,所以直线在y轴上的截距b=3或b=-3,故所求直线的斜截式方程为y=x+3或y=x-3。 (2)直线y=2x+1的斜率k=2,则与直线y=2x+1垂直的直线的斜率k'=-,故所求直线的斜截式方程为y=-x+4。 (3)与y轴相交夹角为60°的直线倾斜角为30°或150°,所以斜率k为tan 30°或tan 150°,即k=±,故所求直线的斜截式方程为y=±x-6。 　　斜截式方程的特点及应用 (1)若能求得直线的斜率,且直线在y轴上的截距已知,可选用直线的斜截式方程直接求解直线方程。 (2)根据k,b的正负判断斜率和截距的几何意义时,k>0⇔直线呈上升趋势;k<0⇔直线呈下降趋势;k=0⇔直线呈水平状态。b>0⇔直线与y轴的交点在x轴上方;b<0⇔直线与y轴的交点在x轴下方;b=0⇔直线过原点。 　　【变式训练】　(1)直线y=2x-3在y轴上的截距是(D) A.3 B.2 C.-2 D.-3 解析　对于直线y=2x-3,当x=0时,y=-3,因此直线y=2x-3在y轴上的截距为-3。 (2)一条直线过点A(0,2),它的倾斜角等于直线y=x的倾斜角的2倍,则这条直线的方程是(B) A.y=x+2 B.y=x+2 C.y=x-2 D.y=x-2 解析　解法一:因为直线y=x的斜率为,所以其倾斜角为30°,所以所求直线的倾斜角为60°,斜率k=。直线过点A(0,2),即直线在y轴上的截距为2。由斜截式易得这条直线的方程为y=x+2。 解法二:所求直线斜率为,过点A(0,2),则点斜式方程为y-2=(x-0),即y=x+2。 (3)(多选)已知k+b=0,k≠0,则直线y=kx+b的位置可能是(BD) ABCD 解析　因为直线方程为y=kx+b,且k≠0,k+b=0,即b=-k,所以y=kx-k=k(x-1),令y=0,得x=1,所以直线与x轴的交点坐标为(1,0)。 类型三　点斜式、斜截式方程的应用 　　【例3】　(1)当a为何值时,直线l1:y=-x+2a与直线l2:y=(a2-2)x+2平行? (2)当a为何值时,直线l1:y=(2a-1)x+3与直线l2:y=4x-3垂直? 解　(1)由题意可知,=-1,=a2-2,因为l1∥l2,所以解得a=-1。故当a=-1时,直线l1:y=-x+2a与直线l2:y=(a2-2)x+2平行。 (2)由题意可知,=2a-1,=4,因为l1⊥l2,所以4(2a-1)=-1,解得a=。故当a=时,直线l1:y=(2a-1)x+3与直线l2:y=4x-3垂直。 　　(1)两条直线平行和垂直的判定 已知直线l1:y=k1x+b1与直线l2:y=k2x+b2,两直线的斜率均存在。 ①若l1∥l2,则k1=k2,此时两直线与y轴的交点不同,即b1≠b2;反之k1=k2,且b1≠b2时,l1∥l2。所以有l1∥l2⇔k1=k2,且b1≠b2。 ②若l1⊥l2,则k1·k2=-1;反之k1·k2=-1时,l1⊥l2。所以有l1⊥l2⇔k1·k2=-1。 (2)若已知含参数的两条直线平行或垂直,求参数的值时,要注意讨论斜率是否存在,若是平行关系注意考虑b1≠b2这个条件。 　　【变式训练】　(1)已知直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,则a= -1 。  解析　由题意可知a·(a+2)=-1,解得a=-1。 (2)若直线l1:y=-与直线l2:y=3x-1互相平行,则a= - 。  解析　由题意可知解得a=-。 直线过定点问题 【典例】　已知直线l:y=kx+2k+1。 (1)求证:直线l过定点; (2)当-3<x<3时,直线上的点都在x轴上方,求实数k的取值范围。 【解】　(1)证明:由y=kx+2k+1,得y-1=k(x+2)。 由直线方程的点斜式可知,直线l过定点(-2,1)。 (2)设函数f(x)=kx+2k+1,显然其图象是一条直线,当-3<x<3时,直线上的点都在x轴上方,需满足解得-≤k≤1。 所以实数k的取值范围是。 　　定点的确定方法:把含有参数的直线方程化为点斜式的形式可得出定点坐标。 　　【变式训练】　求证:不论m为何值,直线l:y=(m-1)x+2m+1总过第二象限。 证明　证法一:直线l的方程可化为y-3=(m-1)(x+2),所以直线l过定点(-2,3)。由于点(-2,3)在第二象限,故直线l总过第二象限。 证法二:直线l的方程可化为m(x+2)-(x+y-1)=0。令所以无论m取何值,直线l总经过点(-2,3)。因为点(-2,3)在第二象限,所以直线l总过第二象限。 当堂检测提素养 　　　　　　　　　　　　　　 1.直线l的点斜式方程是y-2=3(x+1),则直线l的斜率是(C) A.2 B.-1 C.3 D.-3 解析　由直线的点斜式方程可知直线l的斜率是3。 2.倾斜角为135°,在y轴上的截距为-1的直线方程是(D) A.y=x+1 B.y=x-1 C.y=-x+1 D.y=-x-1 解析　由题意知,直线的斜率k=-1,又在y轴上的截距为-1,故直线方程为y=-x-1。故选D。 3.直线y=k(x-2)+3必过定点,该定点为(B) A.(3,1) B.(2,3) C.(2,-3) D.(-2,3) 解析　直线方程为y=k(x-2)+3,可化为y-3=k(x-2),所以过定点(2,3)。 4.已知直线l1的方程为y=-2x+3,l2的方程为y=4x-2,直线l与l1的斜率相等且与l2在y轴上的截距相同,则直线l的方程是 y=-2x-2 。  解析　由斜截式方程知直线l1的斜率k1=-2,所以l的斜率k=k1=-2。由题意知l2在y轴上的截距为-2,所以l在y轴上的截距b=-2,由斜截式可得直线l的方程为y=-2x-2。 5.求斜率为,且与两坐标轴围成的三角形面积为3的直线方程。 解　设直线方程为y=x+b,令x=0得y=b,令y=0得x=-6b,所以|b|×|-6b|=3,所以b2=1,即b=±1,所以所求的直线方程为y=x±1。 学科网（北京）股份有限公司 $$