2.1.2 两条直线平行和垂直的判定(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 情境导入 课程标准 　　 过山车是一种富有刺激性的游乐设施。实际上,过山车的运动包含了许多数学、物理学原理。过山车的两条铁轨是永远平行的轨道,它们依靠一根根巨大且垂直于地面的钢筋支撑着。你能感受到过山车中的平行和垂直吗?两条直线的平行与垂直又用什么来刻画呢? 能根据直线的斜率判定两条直线的位置关系。 自主预习明新知 两条不重合的直线l1,l2的斜率分别为k1,k2 (1)定理。 平行 垂直 等价条件 l1∥l2⇔k1=k2 l1⊥l2⇔k1k2=-1 (2)本质:从数的角度刻画两条直线的位置关系。 微提醒 在判断两条直线位置关系时,要注意两条直线是否重合以及斜率不存在这种特殊情况。 微思考 1.如果两条直线平行,则这两条直线的斜率一定相等吗? 提示:不一定,当两条直线都没有斜率时两条直线也可能平行。 2.如果两条直线垂直,则它们的斜率的积一定等于-1吗? 提示:不一定,它们可能是一条直线斜率为0,另一条没有斜率。 合作探究攻重难 　　　　　　　　　　　　　　 类型一　两条直线平行的判定及应用 　　【例1】　根据下列给定的条件,判断直线l1与直线l2是否平行。 (1)l1经过点A(2,1),B(-3,5),l2经过点C(3,-3),D(8,-7); (2)l1经过点E(0,1),F(-2,-1),l2经过点G(3,4),H(2,3); (3)l1的倾斜角为60°,l2经过点M(1,),N(-2,-2); (4)l1平行于y轴,l2经过点P(0,-2),Q(0,5)。 解　(1)由题意知,k1=,k2=,所以直线l1与直线l2平行或重合,又kBC=,故l1∥l2。 (2)由题意知,k1==1,k2==1,所以直线l1与直线l2平行或重合,kFG==1,故直线l1与直线l2重合。 (3)由题意知,k1=tan 60°=,k2=,k1=k2,所以直线l1与直线l2平行或重合。 (4)由题意知,l1的斜率不存在,且不是y轴,l2的斜率也不存在,恰好是y轴。所以l1∥l2。 　　判断两条不重合直线是否平行的步骤 首先看两条直线的斜率,若都不存在,则平行;若都存在斜率,则看斜率是否相等,若相等,则平行,若不相等,则不平行。 　　【变式训练】　(1)经过两点C(3,1),D(-2,0)的直线l1,与经过点M(1,-4)且斜率为的直线l2的位置关系为(A) A.平行 B.垂直 C.重合 D.无法确定 解析　因为,所以。又因为kMD=,所以l1与l2不重合,所以l1与l2平行。 (2)在△ABC中,顶点A(0,3),B(2,-1),E,F分别为边AC,BC的中点,则直线EF的斜率为 -2 。  解析　因为E,F分别为边AC,BC的中点,所以EF∥AB。所以kEF=kAB==-2。 类型二　两条直线垂直的判定及应用 　　【例2】　(1)直线l1经过点A(3,2),B(3,-1),直线l2经过点M(1,1),N(2,1),判断l1与l2是否垂直。 解　(1)直线l1的斜率不存在,直线l2的斜率为0,所以l1⊥l2。 (2)已知直线l1经过点A(3,a),B(a-2,3),直线l2经过点C(2,3),D(-1,a-2),若l1⊥l2,求a的值。 解　由题意,知直线l2的斜率k2一定存在,直线l1的斜率可能不存在。当直线l1的斜率不存在时,3=a-2,即a=5,此时k2=0,则l1⊥l2,满足题意。当直线l1的斜率k1存在时,a≠5,由斜率公式,得k1=,k2=。由l1⊥l2,知k1k2=-1,即=-1,解得a=0。综上所述,a的值为0或5。 　　两直线垂直的判断方法 两条直线垂直需判定k1k2=-1,使用它的前提条件是两条直线的斜率都存在。若其中一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为零,此时两直线也垂直。 　　【变式训练】　(1)若直线l经过点(a-2,-1)和(-a-2,1),且与经过点(-2,1)斜率为-的直线垂直,则实数a的值为(A) A.- B.- C. D. 解析　易知a=0不符合题意。当a≠0时,直线l的斜率k=,由-·=-1,得a=-。故选A。 (2)以A(-1,1),B(2,-1),C(1,4)为顶点的三角形是(C) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.以A点为直角顶点的直角三角形 D.以B点为直角顶点的直角三角形 解析　如图所示,易知kAB=,kAC=,由kAB·kAC=-1知三角形是以A点为直角顶点的直角三角形。 类型三　两条直线平行与垂直的综合应用 　　【例3】　已知A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点,若顺次连接A,B,C,D四点,试判断图形ABCD的形状。 解　 A,B,C,D四点在平面直角坐标系内的位置如图。由斜率公式可得kAB=,kCD=,kAD==-3,kBC=,所以kAB=kCD,由图可知AB与CD不重合,所以AB∥CD。由kAD≠kBC,所以AD与BC不平行。又kAB·kAD=×(-3)=-1,所以AB⊥AD。故四边形ABCD为直角梯形。 　　利用两条直线平行或垂直判断图形形状的步骤 　　【变式训练】　已知▱ABCD中,顶点A(1,2),B(5,0),C(3,4)。 (1)求点D的坐标; (2)试判断▱ABCD是否为菱形? 解　(1)设D点坐标为(a,b),因为四边形ABCD为平行四边形,所以kAB=kCD,kAD=kBC,所以所以点D(-1,6)。 　　(2)因为kAC==1,kBD==-1,所以kAC·kBD=-1,所以AC⊥BD,所以▱ABCD为菱形。 两条直线平行与垂直的实际应用 【典例】　 如图,一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路,已知矩形花园长AD为5 m,宽AB为3 m,其中一条小路定为AC,另一条小路过点D,问如何在BC上找到一点M,使得两条小路所在直线AC与DM互相垂直? 【解】　如图,以点B为原点,BC,BA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系。 由AD=5(m),AB=3(m), 可得C(5,0),D(5,3), A(0,3)。 设点M的坐标为(x,0), 因为AC⊥DM, 所以kAC·kDM=-1。 所以·=-1,解得x==3.2,即BM=3.2(m)时,两条小路所在直线AC与DM互相垂直。 　　建立平面直角坐标系,通过坐标化的方法将实际问题转化为解析几何问题。 当堂检测提素养 　　　　　　　　　　　　　　 1.已知点A(2,0),B(3,3),直线l∥AB,则直线l的斜率k等于(B) A.-3 B.3 C.- D. 解析　因为l∥AB,且直线AB的斜率k==3,所以直线l的斜率k=3。 2.若点P(a,b)与Q(b-1,a+1)关于直线l对称,则l的倾斜角为(B) A.135° B.45° C.30° D.60° 解析　kPQ==-1,kPQ·kt=-1,所以l的斜率为1,倾斜角为45°。 3.已知点A(2,3),B(1,-1),C(-1,-2),点D在x轴上,则当点D坐标为 (-9,0) 时,AB⊥CD。  解析　设点D(x,0),因为kAB==4≠0,所以直线CD的斜率存在。则由AB⊥CD知,kAB·kCD=-1,所以4·=-1,解得x=-9。 4.直线l的倾斜角为30°,点P(2,1)在直线l上,直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置,若直线l1与l2平行,且l2是线段AB的垂直平分线,其中A(1,m-1),B(m,2),则实数m的值是 4+ 。  解析　由题意知直线l1的倾斜角为30°+30°=60°,所以直线l1的斜率k1=tan 60°=。当m=1时,直线AB的斜率不存在,此时l2的斜率为0,不满足l1∥l2。当m=3时,直线AB的斜率为0,此时l2的斜率不存在,不满足l1∥l2。当m≠1且m≠3时,直线AB的斜率为,所以线段AB的垂直平分线l2的斜率k2=。因为l1∥l2,所以k1=k2,即,解得m=4+。 5.已知四边形MNPQ的顶点M(1,1),N(3,-1),P(4,0),Q(2,2),求证:四边形MNPQ为矩形。 证明　因为kMN==-1,kPQ==-1,所以MN∥PQ。又因为kMQ==1,kNP==1,所以MQ∥NP,所以四边形MNPQ为平行四边形。又kMN·kMQ=-1,所以MN⊥MQ,所以四边形MNPQ为矩形。 学科网（北京）股份有限公司 $$