2.1.1 倾斜角与斜率(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

第二章　直线和圆的方程 　　▶导语:直线和圆是平面几何中已经研究过的图形,本章用解析几何的方法进行再研究,可以使我们体会解析几何方法的特点。本章首先在平面直角坐标系中,探索确定直线的位置和圆的几何要素,然后用代数方法刻画直线的斜率、两点间的距离。在此基础上,建立直线和圆的方程;用方程研究两条直线的位置关系、交点坐标、点到直线的距离以及直线与圆、圆与圆的位置关系;解决简单的数学问题和实际问题,初步感悟平面解析几何蕴含的数学思想。 要点精准概括 3种重要方程:直线的方程,圆的标准方程,圆的一般方程 3种直线位置判定:平行,垂直,相交 3种位置关系:点与圆,直线与圆,圆与圆 5个常用公式:斜率公式,两点间距离公式,点线距公式,线线距公式,圆的弦长公式 1种重要方法:坐标法 第二章　直线和圆的方程 2.1　直线的倾斜角与斜率 2.1.1　倾斜角与斜率 情境导入 课程标准 　　 泰山为五岳之首,其十八盘更有名。十八盘岩层陡立,坡角70°~80°,在不足1 km的距离内升高400米,明人祈承赋《十八盘》诗:“拔地五千丈,冲霄十八盘,径从穷初见,天向隙中观,重累行如画,孤悬峻若竿,生平饶胜具,此日骨尤寒。”泰山之雄伟,尽在十八盘,泰山之壮观,尽在攀登中。你能用怎样的数学语言来描述泰山之雄伟呢? 1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素。 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握用代数方法刻画直线斜率的过程和过两点的直线斜率的计算公式。 自主预习明新知 1.直线的倾斜角 (1)直线倾斜角的定义。 当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角。 (2)直线倾斜角的取值范围 直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α<180°,并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°。 2.直线的斜率 (1)斜率的定义。 我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率。斜率常用小写字母k表示,即k=tan α。倾斜角是90°的直线没有斜率,倾斜角不是90°的直线都有斜率。  (2)斜率公式。 如果直线经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2),可得斜率公式为k=。 在平面直角坐标系中,倾斜角和斜率分别从形和数两个角度刻画了直线相对于x轴的倾斜程度。 3.直线的方向向量 设P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1≠x2)是直线l上的两点,则向量=(x2-x1,y2-y1)以及与它平行的非零向量都是直线的方向向量。若直线l的斜率为k,它的一个方向向量的坐标为(x,y),则k=。 微思考 1.每一条直线都有一个确定的倾斜角吗?每一条直线都有斜率吗? 提示:每一条直线都有一个确定的倾斜角,但不一定都有斜率,当直线的倾斜角是90°时,没有斜率。 2.斜率的正负与倾斜角范围有什么联系? 提示:当k=tan α<0时,倾斜角α是钝角;当k=tan α>0时,倾斜角α是锐角;当k=tan α=0时,倾斜角α是0°。 3.利用过两点的直线的斜率公式能求任意一条直线的斜率吗?为什么? 提示:不能,当直线与x轴垂直时,k=无意义。 4.直线不与x轴垂直时,k是其斜率,则其一个方向向量是什么? 提示:(1,k)(答案不唯一)。 合作探究攻重难 　　　　　　　　　　　　　　 类型一　直线倾斜角的概念 　　【例1】　(1)(多选)若直线l向上的方向与y轴的正方向成30°角,则直线l的倾斜角为(BC) A.30° B.60° C.120° D.150° 解析　如图,直线l有两种情况,故l的倾斜角为60°或120°。 (2)(多选)设直线l过原点,其倾斜角为α,将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°,得到直线l1,则直线l1的倾斜角可能为(AC) A.α+45° B.45°-α C.α-135° D.135°-α 解析　如图①所示,当0°≤α<135°时,l1的倾斜角是α+45°。如图②所示,当135°≤α<180°时,结合图形和倾斜角的概念,即可得到l1的倾斜角为α-135°。 　　求直线倾斜角的关键及两点注意 (1)关键:依据平面几何的知识判断直线向上的方向与x轴正向之间所成的角。 (2)注意:①当直线与x轴平行或重合时,倾斜角为0°;当直线与x轴垂直时,倾斜角为90°。②直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°。 　　【变式训练】　已知直线l1的倾斜角α1=15°,直线l1与l2的交点为A,直线l1和l2向上的方向之间所成的角为120°,则直线l2的倾斜角为 135° 。  解析　如图,直线l2的倾斜角为α2,结合图形及三角形外角与内角的关系可得α2=120°+α1=120°+15°=135°,故直线l2的倾斜角为135°。 类型二　求直线的斜率 　　【例2】　经过下列两点的直线的斜率是否存在?如果存在,求其斜率,并确定直线的倾斜角α。 (1)A(2,3),B(4,5); (2)C(-2,3),D(2,-1); (3)P(-3,1),Q(-3,10)。 解　(1)斜率存在。直线AB的斜率kAB==1,即tan α=1,又0°≤α<180°,所以倾斜角α=45°。 (2)斜率存在。直线CD的斜率kCD==-1,即tan α=-1,又0°≤α<180°,所以倾斜角α=135°。 (3)斜率不存在。因为xP=xQ=-3,所以直线PQ的斜率不存在,倾斜角α=90°。 　　利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项 (1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”,即直线不与x轴垂直,因为当直线与x轴垂直时,斜率是不存在的。 (2)斜率公式与两点P1,P2的先后顺序无关,也就是说公式中的x1与x2,y1与y2可以同时交换位置 。 　　【变式训练】　(1)直线经过点P(3,2),Q(-3,3),则k= - ,直线PQ的倾斜角为 钝 角(填“钝”或“锐”)。  解析　k=<0,所以直线PQ的倾斜角为钝角。 (2)过点P(-2,m),Q(m,4)两点的直线的方向向量为(1,2),则m的值为 0 。  解析　由斜率公式k==2,得m=0。 类型三　斜率公式的应用 　　【例3】　(1)已知点A(2,-3),B(-3,-2),直线l过点P(1,1),且与线段AB相交,则直线l的斜率k的取值范围是(A) A.(-∞,-4]∪ B. C. D. 解析　画出图象如图所示,由图可知,斜率k的取值范围是[kPB,+∞)∪(-∞,kPA],根据已知两点的斜率公式,有kPA=-4,kPB=,所以k的取值范围是(-∞,-4]∪。 (2)若三点A(2,-3),B(4,3),C(5,k)在同一条直线上,则实数k= 6 。  解析　因为A(2,-3),B(4,3),C(5,k)在同一条直线上,所以kAB=kAC,又kAB==3,kAC=,所以3=,即k=6。 　　(1)用斜率公式解决三点共线问题时,首先要估测三点中是否任意两点的连线垂直于x轴。当任意两点的连线垂直于x轴,且过同一点时,三点共线。否则,直线的斜率存在,只要证明过同一点的两直线的斜率相等即可。 (2)涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解。 　　【变式训练】　(1)若三点A(3,1),B(-2,b),C(8,11)在同一直线上,则实数b等于(D) A.2 B.3 C.9 D.-9 解析　因为kAB=kBC,所以,b=-9。 (2)已知点P(-1,-1),另有两点A(1,0),B(0,1),若过点P的直线l与线段AB有交点,则直线l的斜率的取值范围为  。  解析　因为A(1,0),B(0,1),又过点P的直线l与线段AB有交点,所以直线l的斜率的取值范围为。 当堂检测提素养 　　　　　　　　　　　　　　 1.(多选)下列说法正确的是(ABC) A.若α是直线l的倾斜角,则0°≤α<180° B.若k是直线的斜率,则k∈R C.任意一条直线都有倾斜角,但不一定有斜率 D.任意一条直线都有斜率,但不一定有倾斜角 2.过点A(-,)与点B(-,)的直线的倾斜角为(A) A.45° B.135° C.45°或135° D.60° 解析　kAB==1。故直线的倾斜角为45°。 3.过点P(-3,m),Q(m,4)的直线的斜率为1,那么m的值为(D) A.1或2　　B.2　　C.1或　　D. 解析　由题意知=1,得m=。 4.经过A(m,3),B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是 (0°,90°] 。(其中m≥1)  解析　当m=1时,倾斜角α=90°;当m>1时,tan α=>0,所以0°<α<90°。故0°<α≤90°。 5.一束光线从点A(-2,3)射入,经x轴上点P反射后,通过点B(5,7),求点P的坐标。 解　解法一:由光的反射原理,知kAP=-kBP,设P(x,0),则,解得x=,即点P的坐标是。 解法二:由题意知,x轴是镜面,入射点A(-2,3)关于x轴的对称点为A1(-2,-3),则点A1应在反射光线所在的直线上,设P(x,0),由A1,P,B三点共线,得=kPB,,解得x=,即点P的坐标是。 学科网（北京）股份有限公司 $$