课时达标检测10 夹角问题(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时达标检测(十)　夹角问题 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 基础达标 一、单项选择题 1.两异面直线l1,l2的方向向量分别是v1,v2,若v1与v2所成的角为θ,直线l1,l2所成的角为α,则(D) A.α=θ B.α=π-θ C.cos θ=|cos α| D.cos α=|cos θ| 解析　α=θ或α=π-θ,且α∈,因而cos α=|cos θ|。 2.设直线l与平面α相交,且l的方向向量为a,α的法向量为n,若<a,n>=,则l与α所成的角为(C) A. B. C. D. 解析　因为线面角的范围是,又<a,n>=,则l与α所成的角为。 3.若平面α的一个法向量为n1=(1,0,1),平面β的一个法向量是n2=(-3,1,3),则平面α与β所成的角等于(D) A.30° B.45° C.60° D.90° 解析　因为n1·n2=(1,0,1)·(-3,1,3)=0,所以α⊥β,即平面α与β所成的角等于90°。 4.在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,M,N分别为AD,C1D1的中点,O为侧面BCC1B1的中心,则异面直线MN与OD1所成角的余弦值为(A) A. B. C.- D.- 解析　如图,以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系。设正方体的棱长为2,则M(1,0,0),N(0,1,2),O(1,2,1),D1(0,0,2),所以=(-1,1,2),=(-1,-2,1)。则cos<,。所以异面直线MN与OD1所成角的余弦值为。故选A。 5.已知正四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于(A) A. B. C. D. 解析　 建立如图所示的空间直角坐标系,设AA1=2AB=2,则B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),C1(0,1,2),故=(1,1,0),=(0,1,2),=(0,1,0)。设平面BDC1的法向量为n=(x,y,z),则令z=1,则y=-2,x=2,所以平面BDC1的一个法向量为n=(2,-2,1)。设直线CD与平面BDC1所成的角为θ,则sin θ=|cos<n,。故选A。 6.已知正方形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,若PA=AB,则平面PAB与平面PCD的夹角为(B) A.30° B.45° C.60° D.90° 解析　 如图所示,建立空间直角坐标系,设PA=AB=1,则A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1)。于是=(0,1,0),取PD的中点E,连接AE,则E,所以,易知是平面PAB的一个法向量,是平面PCD的一个法向量,所以cos<,,所以平面PAB与平面PCD的夹角为45°。 7. 如图,已知四棱锥P⁃ABCD的底面ABCD是等腰梯形,AB∥CD,且AC⊥BD,AC与BD交于点O,PO⊥底面ABCD,PO=2,AB=2,E,F分别是AB,AP的中点。则平面FOE与平面OEA夹角的余弦值为(B) A.- B. C.- D. 解析　 由题意,以O为原点,OB,OC,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,由题意知,OA=OB=2,则A(0,-2,0),B(2,0,0),P(0,0,2),所以E(1,-1,0),F(0,-1,1),所以=(1,-1,0),=(0,-1,1),设平面OEF的法向量为m=(x,y,z),则令x=1,可得m=(1,1,1)为平面OEF的一个法向量,易知平面OEA的一个法向量为n=(0,0,1),则cos<m,n>=,设平面FOE与平面OEA的夹角为θ,则cos θ=|cos<m,n>|=。 二、填空题 8.如图,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,M是C1C的中点,O是底面ABCD的中心,P是A1B1上的任意一点,则直线BM与OP所成的角为  。  解析　建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体棱长为2,A1P=x,则O(1,1,0),P(2,x,2),B(2,2,0),M(0,2,1),=(1,x-1,2),=(-2,0,1)。因为·=0,所以直线BM与OP所成的角为。 9.已知在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,AB=1,BC=2,AA1=4,E是侧棱CC1的中点,则直线AE与平面A1ED所成角的正弦值为  。  解析　 在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,AB=1,BC=2,AA1=4,E是侧棱CC1的中点,以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),E(0,1,2),A1(2,0,4),D(0,0,0),=(2,-1,-2),=(2,0,4),=(0,1,2),设平面A1ED的法向量为n=(x,y,z),则取z=1,得n=(-2,-2,1)为平面A1ED的一个法向量,设直线AE与平面A1ED所成角为θ,则sin θ=|cos<,n>|=。所以直线AE与平面A1ED所成角的正弦值为。 10.在空间中,已知平面α过A(3,0,0)和B(0,4,0)及z轴上一点P(0,0,a)(a>0),如果平面α与平面Oxy的夹角为45°,则a=  。  解析　平面Oxy的一个法向量为n=(0,0,1)。设平面α的法向量为u=(x,y,z),因为=(-3,4,0),=(-3,0,a),则即3x=4y=az,取z=1,则u=为平面α的一个法向量。因为|cos<n,u>|=,且a>0,所以a=。 三、解答题 11.如图所示,在四面体ABCD中,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=。求异面直线AB与CD所成角的余弦值。 解　取BD的中点O,连接OA,OC。由题意知OA,OC,BD两两垂直。以O为原点建立空间直角坐标系,如图所示,则B(1,0,0),D(-1,0,0),C(0,,0),A(0,0,1),所以=(-1,0,1),=(-1,-,0),所以cos<,。所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为。 12.如图,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,E为BB1的中点。 (1)求证:BC1∥平面AD1E; (2)求直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值。 解　(1)证明:在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,ABDC,D1C1DC,所以ABD1C1,所以四边形ABC1D1为平行四边形,BC1∥AD1。又AD1⊂平面AD1E,BC1⊄平面AD1E,所以BC1∥平面AD1E。 (2)设正方体ABCD⁃A1B1C1D1的棱长为2,以A为原点,AD,AB,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),A1(0,0,2),D1(2,0,2),E(0,2,1),=(0,0,2),=(2,0,2),=(0,2,1)。设平面AD1E的法向量为n=(x,y,z),由令z=-2,则x=2,y=1,所以n=(2,1,-2)为平面AD1E的一个法向量。设直线AA1与平面AD1E所成的角为θ,则sin θ=|cos<,n>|=。 13.如图,在直三棱柱ABC⁃A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点,AA1=AC=CB=AB。 (1)证明:BC1∥平面A1CD; (2)求平面A1CD与平面A1CE的夹角的正弦值。 解　(1)证明:连接AC1,交A1C于点F,连接DF,则F为AC1的中点。又因为D是AB的中点,所以BC1∥DF。因为DF⊂平面A1CD,BC1⊄平面A1CD,所以BC1∥平面A1CD。 (2) 由AC=CB=AB,得AC⊥BC。以C为原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系。设CA=2,则D(1,1,0),E(0,2,1),A1(2,0,2),=(1,1,0),=(0,2,1),=(2,0,2)。设n=(x1,y1,z1)是平面A1CD的法向量,则可取n=(1,-1,-1)为平面A1CD的一个法向量。同理,设m=(x2,y2,z2)是平面A1CE的法向量,则可取m=(2,1,-2)为平面A1CE的一个法向量。从而cos<n,m>=,故sin<n,m>=,即平面A1CD与平面A1CE的夹角的正弦值为。 素养提升 14.如图,四棱锥P⁃ABCD的底面为正方形,PD⊥底面ABCD。设平面PAD与平面PBC的交线为l。 (1)证明:l⊥平面PDC; (2)已知PD=AD=1,Q为l上的点,求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值。 解　(1)证明:因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥AD。又底面ABCD为正方形,所以AD⊥DC。又DC∩PD=D,因此AD⊥平面PDC。因为AD∥BC,AD⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,所以AD∥平面PBC。又AD⊂平面PAD,平面PAD∩平面PBC=l,所以l∥AD。因此l⊥平面PDC。 (2) 以D为原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),P(0,0,1),=(0,1,0),=(1,1,-1)。由(1)可设Q(a,0,1),则=(a,0,1)。设n=(x,y,z)是平面QCD的法向量,则可取n=(-1,0,a)为平面QCD的一个法向量。所以cos<n,。设PB与平面QCD所成角为θ,则sin θ=,当且仅当a=1时取等号,所以PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为。 学科网（北京）股份有限公司 $$