课时达标检测9 距离问题(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时达标检测(九)　距离问题 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 基础达标 一、单项选择题 1.已知直线l的方向向量n=(1,0,2),点A(0,1,1)在直线l上,则点P(1,2,2)到直线l的距离为(A) A. B. C. D.2 解析　取a==(-1,-1,-1),u=,则a2=3,a·u=-,所以点P到直线l的距离为。 2.已知正方体ABCD⁃A1B1C1D1的棱长为a,则点A1到对角线BC1所在的直线的距离为(A) A.a B.a C.a D. 解析　建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(a,0,a),B(a,a,0),C1(0,a,a)。 所以取a==(0,a,-a),u=,则a2=2a2,a·u=-。所以点A1到BC1的距离为a。 3.已知平面α的一个法向量为n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在平面α内,则点P(-2,1,4)到平面α的距离为(D) A.10 B.3 C. D. 解析　由=(-1,-2,4),得点P到平面α的距离为。 4.已知棱长为1的正方体ABCD⁃EFGH,若点P在正方体内部且满足,则点P到直线AB的距离为(A) A. B. C. D. 解析　 建立如图所示的空间直角坐标系,则(1,0,0)+(0,1,0)+(0,0,1)=。取a=,u==(1,0,0),则a2=,a·u=。所以点P到AB的距离为。 5.在正三棱柱ABC⁃A1B1C1中,若AB=2,AA1=1,则点A到平面A1BC的距离为(B) A. B. C. D. 解析　 建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(0,1,0),B(0,-1,1),C(,0,1),A(0,1,1),=(0,0,1),=(0,-2,1),=(,-1,1),设平面A1BC的法向量为n=(x,y,z),由取z=1,则n=为平面A1BC的一个法向量,所以点A到平面A1BC的距离为。 6. 如图,已知直三棱柱ABO⁃A1B1O1中,∠AOB=,AO=2,BO=6,D为A1B1的中点,且异面直线OD与A1B垂直,则直线A1B1到平面ABO的距离为(C) A.2 B.3 C.4 D.6 解析　 由直棱柱的性质,知直线A1B1到平面ABO的距离为棱柱的高,不妨设为t(t>0)。以O为原点,OA,OB,OO1所在的直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则O(0,0,0),B(0,6,0),A1(2,0,t),B1(0,6,t),D(1,3,t),所以=(-2,6,-t),=(1,3,t),因为A1B⊥OD,所以·=-2+18-t2=0,所以t=4。故选C。 7.已知正方体ABCD⁃A1B1C1D1的棱长为a,则平面AB1D1与平面BDC1的距离为(D) A.a B.a C.a D.a 解析　 由正方体的性质,易得平面AB1D1∥平面BDC1,则两平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离。以D为原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(a,0,0),B(a,a,0),A1(a,0,a),C(0,a,0),=(a,-a,a),=(0,-a,0),连接A1C,则A1C⊥B1D1,A1C ⊥AB1,又B1D1∩AB1=B1,B1D1,AB1⊂平面AB1D1,所以A1C⊥平面AB1D1,得平面AB1D1的一个法向量为n=(1,-1,1),则两平面间的距离a。 二、填空题 8. 如图,在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点F,G分别是AB,CC1的中点,则点D1到直线GF的距离为  。  解析　 如图,以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则D1(0,0,2),F(1,1,0),G(0,2,1),于是有=(1,-1,-1),=(0,-2,1),取a==(0,-2,1),u=,则a2=5,a·u=,所以点D1到直线GF的距离为。 9.在空间直角坐标系Oxyz中,平面OAB的一个法向量为n=(2,-2,1)。已知点P(-1,3,2),则点P到平面OAB的距离d= 2 。  解析　d==2。 10.已知正四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1中,AB=2,CC1=2,E为CC1的中点,则直线AC1到平面BDE的距离为 1 。  解析　以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),E(0,2,),=(2,2,0),=(0,2,),易知AC1∥平面BDE。设n=(x,y,z)是平面BDE的法向量。则取y=1,则n=(-1,1,-)为平面BDE的一个法向量。又因为=(2,0,0),所以直线AC1到平面BDE的距离=1。 三、解答题 11.在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,E,F分别是C1C,D1A1的中点,求点A到直线EF的距离。 解　 以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz,如图。设DA=2,则A(2,0,0),E(0,2,1),F(1,0,2),=(1,-2,1),=(1,0,-2)。取a==(1,0,-2),u=,则a2=5,a·u=-,所以点A到直线EF的距离为。 12. 如图所示的多面体是由底面为矩形ABCD的长方体被截面AEC1F所截得到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1,AEC1F为平行四边形。 (1)求BF的长; (2)求点C到平面AEC1F的距离。 解　 (1)建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(2,4,0),A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3),设F(0,0,z)。因为四边形AEC1F为平行四边形,所以由,得(-2,0,z)=(-2,0,2),所以z=2。所以F(0,0,2)。所以=(-2,-4,2)。于是|,即BF的长为2。 (2)设n为平面AEC1F的法向量,显然n不垂直于平面ADF,故可设n=(x,y,1),因为=(0,4,1),=(-2,0,2),得n=为平面AEC1F的一个法向量。又=(0,0,3),所以点C到平面AEC1F的距离为。 素养提升 13.在棱长为2的正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,BB1的中点,M为棱A1B1上的一点,且A1M=λ(0<λ<2),设点N为ME的中点,则点N到平面D1EF的距离为(D) A.λ B. C.λ D. 解析　以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系(图略),则M(2,λ,2),D1(0,0,2),E(2,0,1),F(2,2,1),=(-2,0,1),=(0,2,0),=(0,λ,1)。设平面D1EF的法向量为n=(x,y,z),则取x=1,得n=(1,0,2)为平面D1EF的一个法向量,所以点M到平面D1EF的距离为。因为N为EM的中点,所以N到平面D1EF的距离为。故选D。 14. 如图所示,在直三棱柱ABC⁃A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,点E在线段BB1上,且EB1=1,D,F,G分别为CC1,C1B1,C1A1的中点。 (1)求证:B1D⊥平面ABD; (2)求证:平面EFG∥平面ABD; (3)求平面EFG与平面ABD的距离。 解　 (1)证明:如图所示,由条件知,BA,BC,BB1两两互相垂直,以B为原点,BA,BC,BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Bxyz。则B(0,0,0),D(0,2,2),B1(0,0,4),设BA=a,则A(a,0,0)。所以=(a,0,0),=(0,2,2),=(0,2,-2)。因为·= 0,·=0+4-4=0,所以B1D⊥BA,B1D⊥BD,又因为BD∩BA=B,BD,BA⊂平面ABD,所以B1D⊥平面ABD。 (2)证明:由题意知E(0,0,3),G,F(0,1,4)。所以,=(0,1,1)。因为·=0+2-2=0,·=0+2-2=0,所以B1D⊥EG,B1D⊥EF,又EG∩EF=E,EG,EF⊂平面EFG,所以B1D⊥平面EFG,结合(1)可知,平面EFG∥平面ABD。 (3)由(1)(2)知,=(0,2,-2)是平面ABD的一个法向量,又=(0,1,4),所以点F到平面ABD的距离为。由(2)知,平面EFG与平面ABD的距离等于点F到平面ABD的距离,所以两平面间的距离为。 学科网（北京）股份有限公司 $$