课时达标检测8 空间中直线、平面的垂直(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时达标检测(八)　空间中直线、平面的垂直 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 基础达标 一、单项选择题 1.设直线l1的一个方向向量为a=(2,1,-2),直线l2的一个方向向量为b=(2,2,m),若l1⊥l2,则m=(D) A.1 B.-2 C.-3 D.3 解析　因为l1⊥l2,所以a⊥b,所以a·b=2×2+1×2+(-2)·m=0,所以m=3。 2.已知平面α的一个法向量为a=(1,2,-2),平面β的一个法向量为b=(-2,-4,k),若α⊥β,则k=(D) A.4 B.-4 C.5 D.-5 解析　因为α⊥β,所以a⊥b,所以a·b=-2-8-2k=0。所以k=-5。 3.已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若,=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则实数x,y,z分别为(B) A.,-,4 B.,-,4 C.,-2,4 D.4,,-15 解析　因为,所以·=0,即3+5-2z=0,得z=4,又BP⊥平面ABC,所以,,则 4.在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,若E为A1C1的中点,则直线CE垂直于(B) A.AC B.BD C.A1D D.AA1 解析　 如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz。设正方体的棱长为2,则C(0,2,0),A1(2,0,2),D(0,0,0),E(1,1,2),A(2,0,0),B(2,2,0),=(1,-1,2),=(-2,2,0),=(-2,-2,0),=(-2,0,-2),=(0,0,2)。因为·=-2-2+0=-4≠0,所以CE与AC不垂直,因为·=1×(-2)+(-1)×(-2)+2×0=0,所以CE⊥BD。因为·=1×(-2)+(-1)×0+2×(-2)=-6≠0,所以CE与A1D不垂直。因为·=1×0+(-1)×0+2×2=4≠0,所以CE与AA1不垂直。 5. 如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,E为CD的中点,F是AD上一点,当BF⊥PE时,=(B) A. B.1 C.2 D.3 解析　建立如图所示空间直角坐标系,设正方形ABCD的边长为1,PA=a,则B(1,0,0),E,P(0,0,a)。设F(0,y,0),则=(-1,y,0),。因为BF⊥PE,所以·=(-1)×+y=0,解得y=,即F是AD的中点,故=1。故选B。 6. 如图所示,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,且A1E=A1D,AF=AC,则(B) A.EF至多与A1D,AC之一垂直 B.EF⊥A1D,EF⊥AC C.EF与BD1相交 D.EF与BD1异面 解析　分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴正半轴建立空间直角坐标系,不妨设正方体的棱长为1,则D(0,0,0),A1(1,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),E,F,=(-1,0,-1),=(-1,1,0),=(-1,-1,1),,所以·=0,·=0,,所以EF⊥A1D,EF⊥AC,BD1∥EF。 二、多项选择题 7.已知点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),点D满足条件:DB⊥AC,DC⊥AB,AD=BC,则点D的坐标可以为(AD) A.(1,1,1) B.(-1,-1,-1) C. D. 解析　设D(x,y,z),则=(x,y-1,z),=(x,y,z-1),=(x-1,y,z),=(-1,0,1),=(-1,1,0),=(0,-1,1)。又DB⊥AC⇔-x+z=0　①,DC⊥AB⇔-x+y=0　②,AD=BC⇔(x-1)2+y2+z2=2　③,联立①②③得x=y=z=1或x=y=z=-,所以点D的坐标为(1,1,1)或。 8. 在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,M,N分别是棱DD1,D1C1的中点,则直线OM(AC) A.和AC垂直 B.和AA1垂直 C.和MN垂直 D.与AC,MN都不垂直 解析　以D为原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)。设正方体的棱长为2a,则D(0,0,0),D1(0,0,2a),M(0,0,a),A(2a,0,0),C(0,2a,0),O(a,a,0),N(0,a,2a)。所以=(-a,-a,a),=(0,a,a),=(-2a,2a,0)。因为·=0,·=0,所以OM⊥AC,OM⊥MN。OM和AA1显然不垂直。 三、填空题 9.已知u=(a+b,a-b,2)是直线l的一个方向向量,n=(2,3,1)是平面α的一个法向量,若l⊥α,则a,b的值分别为 5,-1 。  解析　因为l⊥α,所以u∥n。所以,所以a=5,b=-1。 10.已知A(0,1,0),B(-1,0,-1),C(2,1,1),P(x,0,z),若PA⊥平面ABC,则点P的坐标为 (-1,0,2) 。  解析　由题意得=(-x,1,-z),=(-1,-1,-1),=(2,0,1),由PA⊥平面ABC,得,,即·=x-1+z=0,·=-2x-z=0,解得故点P的坐标为(-1,0,2)。 11. 如图,在四棱锥P⁃ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD是正方形,AB=2,E是PB的中点,cos<,。 (1)建立适当的空间直角坐标系,则点E的坐标是 (1,1,1) ;  (2)在底面ABCD内求一点F,使EF⊥平面PCB,则点F的坐标是 (1,0,0) 。  解析　(1)以D为原点,DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略),由已知ABCD是边长为2的正方形,设DP=t(t>0),则P(0,0,t),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),E,=(0,0,t),。故cos<,。由已知,得,解得t=2,故E(1,1,1)。(答案不唯一,建系不同,坐标不同) (2)设F(m,n,0),则=(m-1,n-1,-1)。又=(-2,0,0),=(0,2,-2),由题意得故F(1,0,0)。(答案不唯一,建系不同,坐标不同) 四、解答题 12. 如图,在四棱锥P⁃ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E是CD的中点。求证:CD⊥平面PAE。 证明　 如图,以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系。设PA=h,则A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0),E(2,4,0),P(0,0,h)。易知=(-4,2,0),=(2,4,0),=(0,0,h)。因为·=-8+8+0=0,·=0,所以CD⊥AE,CD⊥AP。因为AP∩AE=A,AP,AE⊂平面PAE,所以CD⊥平面PAE。 13. 三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示,截面为A1B1C1,∠BAC=90°,A1A⊥平面ABC,A1A=,AB=AC=2A1C1=2,D为BC的中点。证明:平面A1AD⊥平面BCC1B1。 证明　如图建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,),C1(0,1,),因为D为BC的中点,所以D点坐标为(1,1,0),所以=(0,0,),=(1,1,0),=(-2,2,0),=(0,-1,),设平面A1AD的法向量为n1=(x1,y1,z1),平面BCC1B1的法向量为n2=(x2,y2,z2)。由令y1=-1得x1=1,z1=0,可得n1=(1,-1,0)为平面A1AD的一个法向量。由令y2=1,得x2=1,z2=,此时n2=为平面BCC1B1的一个法向量。因为n1·n2=1-1+0=0,所以n1⊥n2。所以平面A1AD⊥平面BCC1B1。 素养提升 14.在棱长为1的正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,E为CC1的中点,P,Q是正方体表面上相异两点,满足BP⊥A1E,BQ⊥A1E。 (1)若P,Q均在平面A1B1C1D1内,则PQ与BD的位置关系是 平行 ;  (2)||的最小值为  。  解析　 (1)以D为原点,以DA,DC,DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示,A1(1,0,1),E,B(1,1,0),若P,Q均在平面A1B1C1D1内,设P(a,b,1),Q(m,n,1),则,=(a-1,b-1,1),=(m-1,n-1,1)。因为BP⊥A1E,BQ⊥A1E,所以=(m-a,n-b,0)=(n-b,n-b,0),又=(-1,-1,0),所以PQ与BD的位置关系是平行。 (2)由(1)可知b-a=,所以|,当a=时,||有最小值,最小值为。 15. 如图,在三棱锥P⁃ABC中,AB⊥BC,AB=BC=kPA,点O,D分别是AC,PC的中点,OP⊥底面ABC。 (1)求证:OD∥平面PAB; (2)当k取何值时,O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心? 解　 连接OB,因为OP⊥平面ABC,OA,OB⊂平面ABC,O为AC的中点,AB=BC,所以OA⊥OB,OA⊥OP,OB⊥OP,以O为原点,射线OP为z轴,建立空间直角坐标系(如图)。设AB=a,则A,B,C。设OP=h,则P(0,0,h)。 (1)证明:因为D为PC的中点,所以,又,所以,所以,即OD∥PA,又OD⊄平面PAB,PA⊂平面PAB,所以OD∥平面PAB。 (2)因为△PBC的重心G,所以,因为OG⊥平面PBC,所以,又,所以·h2=0,所以h=a,所以|=a,即k=1,所以,当k=1时,三棱锥O⁃PBC为正三棱锥,此时O在平面PBC内的射影为△PBC的重心。 学科网（北京）股份有限公司 $$