1.4.1 第3课时 空间中直线、平面的垂直(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

第3课时　空间中直线、平面的垂直 情境导入 课程标准 　　 观察图片,图中旗杆所在直线和地面垂直,那么旗杆所在直线的方向向量与地面的法向量有什么关系呢?如何判定直线、平面的垂直关系是今天我们所要学习的内容。 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系。 2.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面垂直关系的判定定理。 自主预习明新知 1.直线与直线垂直的判定方法 如图,设直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2,则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2=0。 2.直线与平面垂直的判定方法 如图,设直线l的方向向量为u,平面α的法向量为n,则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R,使得u=λn。 3.平面与平面垂直的判定方法 如图,设平面α,β的法向量分别为n1,n2,则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2=0。 微思考 1.怎样用语言叙述利用直线的方向向量与平面的法向量判断垂直关系? 提示:一般地,直线与直线垂直,就是两直线的方向向量垂直;直线与平面垂直,就是直线的方向向量与平面的法向量平行;平面与平面垂直,就是两平面的法向量垂直。 2.证明直线、平面的垂直关系有哪些方法? 提示:方法一:(几何法)利用线、面垂直的判定定理与性质定理证明直线、平面的垂直关系;方法二:(向量法)利用直线的方向向量与平面的法向量的平行关系证明直线、平面的垂直关系。 合作探究攻重难 　　　　　　　　　　　　　　 类型一　证明线线垂直 　　【例1】　(1)设l1的方向向量为a=(1,2,-2),l2的方向向量为b=(-2,3,m),若l1⊥l2,则m=(C) A. B.1 C.2 D.3 解析　由题意可得a⊥b,所以a·b=0,所以1×(-2)+2×3+(-2)×m=0,所以m=2。 (2) 如图,在四棱锥P⁃ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E,F分别是AB,PB的中点。求证:EF⊥CD。 证明　 以DA,DC,DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图),设AD=a,则D(0,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),E,P(0,0,a),F,所以,=(0,a,0),因为··(0,a,0)=0,所以EF⊥DC。 　　利用向量证明线线垂直的方法 (1)坐标法:建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,求出两直线方向向量的坐标,然后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于0,从而证明两条直线互相垂直。 (2)基向量法:利用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律,结合图形,将两直线的方向向量用基向量表示,然后根据数量积的运算律证明两直线的方向向量的数量积等于0,从而证明两条直线互相垂直。 　　【变式训练】　在正三棱柱ABC⁃A1B1C1中,B1C⊥A1B。求证:AC1⊥A1B。 证明　 如图,建立空间直角坐标系,设AB=a,CC1=b。则A1,B(0,a,b),B1(0,a,0),C(0,0,b),A,C1(0,0,0)。于是,=(0,-a,b),。因为B1C⊥A1B,所以·+b2=0,所以·-b2=0,所以,即AC1⊥A1B。 类型二　证明线面垂直 　　【例2】　如图所示,正三棱柱ABC⁃A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点。求证:AB1⊥平面A1BD。 证明　如图所示,取BC的中点O,连接AO,因为△ABC为正三角形,所以AO⊥BC。因为在正三棱柱ABC⁃A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1, 平面ABC∩平面BCC1B1=BC,所以AO⊥平面BCC1B1。取B1C1的中点O1,以O为原点,以,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),D(-1,1,0),A1(0,2,),A(0,0,),B1(1,2,0)。所以=(1,2,-),=(-1,2,),=(-2,1,0)。 证法一:因为·=1×(-1)+2×2+(-)×=0,·=1×(-2)+2×1+(-)×0=0。所以,,即AB1⊥BA1,AB1⊥BD。又因为BA1∩BD=B,BA1,BD⊂平面A1BD,所以AB1⊥平面A1BD。 证法二:设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),则有n⊥,n⊥,故令x=1,则y=2,z=-,故n=(1,2,-)为平面A1BD的一个法向量,而=(1,2,-)=n,所以∥n,故AB1⊥平面A1BD。 　　用坐标法证明线面垂直的方法及步骤 方法一:(1)建立空间直角坐标系。 (2)将直线的方向向量用坐标表示。 (3)找出平面内两条相交直线,并用坐标表示它们的方向向量。 (4)分别计算两组向量的数量积,得到数量积为0。 方法二:(1)建立空间直角坐标系。 (2)将直线的方向向量用坐标表示。 (3)求出平面的法向量。 (4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行。 提醒:用坐标证明垂直问题,关键是根据题目中的垂直关系建立适当的坐标系。 　　【变式训练】　如图,在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,点P为DD1的中点,求证:直线PB1⊥平面PAC。 证明　根据题意,以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则C(1,0,0),P(0,0,1),A(0,1,0),B1(1,1,2)。于是=(-1,1,0),=(-1,0,1),=(1,1,1),所以·=(-1,1,0)·(1,1,1)=0,·=(-1,0,1)·(1,1,1)=0,故,,即PB1⊥CP,PB1⊥CA,又CP∩CA=C,且CP⊂平面PAC,CA⊂平面PAC,故直线PB1⊥平面PAC。 类型三　证明面面垂直 　　【例3】　如图,在正三棱锥P⁃ABC中,三条侧棱两两互相垂直,G是△PAB的重心,E,F分别为BC,PB上的点,且BE∶EC=PF∶FB=1∶2。求证:平面GEF⊥平面PBC。 证明　证法一:如图,以三棱锥的顶点P为原点,以PA,PB,PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系。令PA=PB=PC=3,则A(3,0,0),B(0,3,0),C(0,0,3),E(0,2,1),F(0,1,0),G(1,1,0),P(0,0,0),于是=(3,0,0),=(1,0,0), 故,所以PA∥FG。而PA⊥平面PBC,所以FG⊥平面PBC。又FG⊂平面EFG,所以平面EFG⊥平面PBC。 证法二:同证法一,建立空间直角坐标系,则E(0,2,1),F(0,1,0),G(1,1,0)。所以=(0,-1,-1),=(1,-1,-1)。设平面GEF的法向量是n=(x,y,z),则有n⊥,n⊥令y=1,得z=-1,x=0,即n=(0,1,-1)是平面GEF的一个法向量。显然=(3,0,0)是平面PBC的一个法向量。又n·=0,所以n⊥,即平面PBC的法向量与平面GEF的法向量互相垂直,所以平面GEF⊥平面PBC。 　　证明面面垂直的两种方法 (1)常规法:利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明。 (2)法向量法:证明两个平面的法向量互相垂直。 　　【变式训练】　如图,在四棱锥E⁃ABCD中,AB⊥平面BCE,CD⊥平面BCE,AB=BC=CE=2CD=2,∠BCE=120°,求证:平面ADE⊥平面ABE。 证明　取BE的中点O,连接OC,因为AB⊥平面BCE,所以以O为原点建立空间直角坐标系(如图所示)。 则有C(1,0,0),B(0,,0),E(0,-,0),D(1,0,1),A(0,,2)。于是=(0,-2,-2),=(-1,,1)。设平面ADE的法向量为n=(a,b,c),则令b=1,则a=0,c=-,所以n=(0,1,-)为平面ADE的一个法向量。又AB⊥平面BCE,OC⊂平面BCE,所以AB⊥OC。因为BE⊥OC,AB∩BE=B,AB,BE⊂平面ABE,所以OC⊥平面ABE。所以平面ABE的一个法向量为m=(1,0,0)。因为n·m=(0,1,-)·(1,0,0)=0,所以n⊥m,所以平面ADE⊥平面ABE。 当堂检测提素养 　　　　　　　　　　　　　　 1.已知三条直线l1,l2,l3的一个方向向量分别为a=(4,-1,0),b=(1,4,5),c=(-3,12,-9),则(A) A.l1⊥l2,但l1与l3不垂直 B.l1⊥l3,但l1与l2不垂直 C.l2⊥l3,但l2与l1不垂直 D.l1,l2,l3两两互相垂直 解析　因为a·b=(4,-1,0)·(1,4,5)=4-4+0=0,a·c=(4,-1,0)·(-3,12,-9)=-12-12+0=-24≠0,b·c=(1,4,5)·(-3,12,-9)=-3+48-45=0,所以a⊥b,a与c不垂直,b⊥c,所以l1⊥l2,l2⊥l3,但l1不垂直于l3。 2.(多选)给出下列命题,其中是真命题的是(AD) A.若直线l的方向向量为a=(1,-1,2),直线m的方向向量为b=,则l与m垂直 B.若直线l的方向向量为a=(0,1,-1),平面α的法向量为n=(1,-1,-1),则l⊥α C.若平面α,β的法向量分别为n1=(0,1,3),n2=(1,0,2),则α⊥β D.若平面α经过三点A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面α的一个法向量,则u+t=1 解析　对于A,a·b=1×2-1×1+2×=0,则a⊥b,所以直线l与m垂直,故A是真命题。对于B,a·n=0,则a⊥n,所以l∥α或l⊂α,故B是假命题。对于C,n1·n2=6,所以α⊥β不成立,故C是假命题。对于D,易得=(-1,1,1),=(-1,1,0),因为向量n=(1,u,t)是平面α的一个法向量,所以得u+t=1,故D是真命题。 3. 如图,在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,AB=2,AA1=,AD=2,P为C1D1的中点,M为BC的中点,则AM与PM的位置关系为(C) A.平行 B.异面 C.垂直 D.以上都不对 解析　 以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,依题意可得D(0,0,0),P(0,1,),A(2,0,0),M(,2,0),所以=(,2,0)-(0,1,)=(,1,-),=(,2,0)-(2,0,0)=(-,2,0),所以·=(,1,-)·(-,2,0)=0,所以PM⊥AM。 4.已知a=(0,1,1),b=(1,1,0),c=(1,0,1)分别是平面α,β,γ的法向量,则α,β,γ三个平面中互相垂直的有 0 对。  解析　因为a·b=(0,1,1)·(1,1,0)=1≠0,a·c=(0,1,1)·(1,0,1)=1≠0,b·c=(1,1,0)·(1,0,1)=1≠0,所以a,b,c中任意两个向量都不垂直,即α,β,γ中任意两个平面都不垂直。 5. 如图,四棱锥P⁃ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC=2,E是PC的中点。求证: (1)CD⊥AE; (2)PD⊥平面ABE。 证明　 (1)以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,,0),D,P(0,0,2),E,所以,,所以·+0×1=0,所以CD⊥AE。 (2)由(1),得,=(2,0,0),,设向量n=(x,y,z)是平面ABE的法向量,则取y=2,则n=(0,2,-),所以n,所以∥n,所以PD⊥平面ABE。 学科网（北京）股份有限公司 $$