课时达标检测7 空间中直线、平面的平行(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时达标检测(七)　空间中直线、平面的平行 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 基础达标 一、单项选择题 1.与向量a=(1,-3,2)平行的一个向量的坐标是(C) A. B.(-1,-3,2) C. D.(,-3,-2) 解析　a=(1,-3,2)=-2。 2.若平面α,β的一个法向量分别为m=,n=,则(D) A.α∥β B.α⊥β C.α与β相交但不垂直 D.α∥β或α与β重合 解析　因为n=-3m,所以m∥n,所以α∥β或α与β重合。 3.已知平面α的一个法向量为(1,2,-2),平面β的一个法向量为(-2,-4,k),若α∥β,则k等于(C) A.2 B.-4 C.4 D.-2 解析　因为α∥β,所以,所以k=4。 4.已知平面α的一个法向量是(2,-1,1),α∥β,则下列向量可作为平面β的一个法向量的是(D) A.(4,2,-2) B.(2,0,4) C.(2,-1,-5) D.(4,-2,2) 解析　因为α∥β,所以β的法向量与α的法向量平行,又因为(4,-2,2)=2(2,-1,1)。故选D。 5.已知直线l过点P(1,0,-1)且平行于向量a=(2,1,1),平面α过直线l与点M(1,2,3),则平面α的法向量不可能是(D) A.(1,-4,2) B. C. D.(0,-1,1) 解析　=(0,2,4),直线l平行于向量a,若n是平面α的一个法向量,则必须满足把选项代入验证,只有选项D不满足。故选D。 6.已知两个不重合的平面α与平面ABC,若平面α的法向量为n1=(2,-3,1),=(1,0,-2),=(1,1,1),则(A) A.平面α∥平面ABC B.平面α⊥平面ABC C.平面α、平面ABC相交但不垂直 D.以上均有可能 解析　由题意,n1·=2×1+(-3)×0+1×(-2)=0,得n1⊥,n1·=2×1+(-3)×1+1×1=0,得n1⊥,所以n1⊥平面ABC,所以平面α∥平面ABC。 二、多项选择题 7.若n=(2,-3,1)是平面α的一个法向量,则下列向量中能作为平面α法向量的是(ABC) A.n1=(-2,3,-1) B.n2=(200,-300,100) C.n3=(2,-3,) D.n4=(-2,3,0) 解析　因为n1=-n,n2=100n,n3=n,所以n1∥n,n2∥n,n3∥n,即n1,n2,n3都能作为α的法向量。 8.若直线l的一个方向向量为d=(6,2,3),平面α的一个法向量为n=(-1,3,0),则直线l与平面α的位置关系是(BC) A.垂直 B.平行 C.直线l在平面α内 D.不能确定 解析　因为d·n=-6+2×3+0=0,所以d⊥n,所以直线l与平面α的位置关系是直线l在平面α内或平行。 三、填空题 9.已知直线l与平面α垂直,直线l的一个方向向量为u=(1,3,z),向量v=(3,-2,1)与平面α平行,则z= 3 。  解析　由已知平面α的法向量为u=(1,3,z)。又因为v与平面α平行,所以u·v=1×3+3×(-2)+z×1=0,解得z=3。 10.若两不重合平面α,β的法向量分别为u=(2,-3,5),v=,则α与β的位置关系是 平行 。  解析　因为u=-2v,所以α与β平行。 11.已知三棱锥O　⁃ABC, OA=OB=1,OC=2,OA,OB,OC两两垂直,存在一点D,使BD∥AC,DC∥AB,则D的坐标为 (-1,1,2) 。  解析　建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),设所求点D的坐标为(x,y,z),则=(x,y-1,z),=(-1,0,2),=(-x,-y,2-z),=(-1,1,0)。由BD∥AC,DC∥AB⇒,,因此,即点D的坐标为(-1,1,2)。 四、解答题 12.如图,在三棱柱ABC⁃A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,E,F分别为A1C1和BC的中点。求证:C1F∥平面ABE。 证明　如图,以B为原点,分别以BC,BA,BB1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系。设BC=a,AB=b,BB1=c,则B(0,0,0),A(0,b,0),C1(a,0,c),F,E=(0,-b,0),。设平面ABE的法向量为n=(x,y,z),则令x=2,则y=0,z=-,即n=为平面ABE的一个法向量。又,所以n·=0,又C1F⊄平面ABE,所以C1F∥平面ABE。 13. 如图所示,四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD,M,N,Q分别是PC,AB,CD的中点。求证: (1)MN∥平面PAD; (2)平面QMN∥平面PAD。 证明　(1)如图,以A为原点,以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系, 设PA=AD=d,AB=b,则B(b,0,0),D(0,d,0),P(0,0,d),C(b,d,0),因为M,N,Q分别是PC,AB,CD的中点,所以M,N,Q,所以。因为平面PAD的一个法向量为m=(1,0,0),且·m=0,所以⊥m。又MN⊄平面PAD,故MN∥平面PAD。 (2)因为=(0,-d,0),·m=0,所以⊥m,又QN⊄平面PAD,所以QN∥平面PAD。又因为MN∩QN=N,MN,QN⊂平面QMN,所以平面QMN∥平面PAD。 素养提升 14.如图所示,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,P是DD1的中点,则OP与BD1的位置关系是 平行 ;设=λ,若平面D1BQ∥平面PAO,则λ=  。  解析　如图所示,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴, 建立空间直角坐标系Dxyz,设正方体的棱长为1,则O,C(0,1,0),C1(0,1,1),P,A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1)。所以,=(-1,-1,1)。因为,所以,所以OP∥BD1。设Q(0,1,z),则=(-1,0,z)。由于OP∥BD1,故要使平面D1BQ∥平面PAO,只需,又,故z=,则Q,,由=(0,0,1)及=λ,得λ=。 15. 如图,已知在四棱锥P⁃ABCD中,底面ABCD是矩形,且AD=2,AB=1,PA⊥平面ABCD,E,F分别是线段AB,BC的中点。判断并说明在棱PA上是否存在点G,使得EG∥平面PFD。 解　 根据题意,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),F(1,1,0),D(0,2,0)。不妨令P(0,0,t),则=(1,1,-t),=(1,-1,0),设平面PFD的法向量为n=(x,y,z),由令z=1,解得x=y=,所以n=为平面PFD的一个法向量。设点G的坐标为(0,0,m),又E,则。要使EG∥平面PFD,只需·n=0,即+m×1=0,即m-=0,解得m=t,所以在棱PA上存在满足AG=AP的点G使得EG∥平面PFD。 学科网（北京）股份有限公司 $$