课时达标检测6 空间中点、直线和平面的向量表示(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时达标检测(六)　空间中点、直线和平面的向量表示 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 基础达标 一、单项选择题 1.已知向量a=(2,-1,3)和b=(-4,2x2,6x)都是直线l的方向向量,则x的值是(A) A.-1 B.1或-1 C.-3 D.1 解析　由题意得a∥b,所以解得x=-1。 2.已知平面内的两个向量a=(2,3,1),b=(5,6,4),则该平面的一个法向量为(C) A.(1,-1,1) B.(2,-1,1) C.(-2,1,1) D.(-1,1,-1) 解析　显然a与b不平行,设平面的法向量为n=(x,y,z),则有令z=1,得x=-2,y=1。所以n=(-2,1,1)。 3.已知直线l1的一个方向向量a=(2,4,x),直线l2的一个方向向量b=(2,y,2),若|a|=6,且a⊥b,则x+y的值是(A) A.-3或1 B.3或-1 C.-3 D.1 解析　因为|a|==6,所以x=±4。又a⊥b,所以a·b=2×2+4y+2x=0,所以y=-1-x。当x=4时,y=-3;当x=-4时,y=1,所以x+y的值为-3或1。 4.已知点A(1,1,0),B(1,0,1),C(0,1,1),则平面ABC的一个单位法向量是(B) A.(1,1,1) B. C. D. 解析　设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),又=(0,-1,1),=(-1,1,0),则所以x=y=z,又因为单位向量的模为1,故只有B正确。 5.在菱形ABCD中,若是平面ABCD的法向量,则以下关系中可能不成立的是(C) A. B. C. D. 解析　因为PA⊥平面ABCD,所以BD⊥PA。又AC⊥BD,PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,所以BD⊥平面PAC,所以PC⊥BD。故选项B成立,选项A和D显然成立。故选C。 6.已知点A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),D(1,1,x),若AD⊂平面ABC,则实数x的值是(B) A.-1 B.0 C.1 D.2 解析　易求得平面ABC的一个法向量为u=(0,0,1),而=(1,1,x),所以当AD⊂平面ABC时,·u=0,所以1×0+1×0+x=0,所以x=0。 二、多项选择题 7.如图, 在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,E为棱CC1上不与C1,C重合的任一点,则能作为直线AA1的方向向量的是(ABD) A. B. C. D. 解析　由定义知,一个向量对应的有向线段所在的直线与直线AA1平行或重合,则这个向量就称为直线AA1的一个方向向量。故选ABD。 8.已知P是平行四边形ABCD所在平面外的一点,如果=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1),则下列结论正确的是(ABC) A.AP⊥AB B.AP⊥AD C.是平面ABCD的一个法向量 D. 解析　因为·=0,·=0,所以AB⊥AP,AD⊥AP,则A,B正确;又不平行,所以是平面ABCD的一个法向量,则C正确;由于=(2,3,4),=(-1,2,-1),所以不平行,故D错误。 三、填空题 9.已知直线l1的一个方向向量为(-5,3,2),另一个方向向量为(x,y,8),则x= -20 ,y= 12 。  解析　因为同一直线的各个方向向量相互平行,所以,所以x=-20,y=12。 10. 棱长为1的正方体ABCD⁃A1B1C1D1在空间直角坐标系中的位置如图所示,则直线DB1的一个方向向量为 (1,1,1)(答案不唯一) 。  解析　由题意知D(0,0,0),B1(1,1,1),所以=(1,1,1),即直线DB1的一个方向向量是(1,1,1)。 11.已知向量b=(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2),若在直线AB上,存在一点E,使得⊥b(O为原点),则E点的坐标为  。  解析　=(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t),因为⊥b,所以·b=0,所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得t=。因此存在点E,使得⊥b,此时E点的坐标为。 四、解答题 12. 如图所示,在三棱锥A⁃BCD中,E,F分别是AD,BC的中点,设=a,=b,=c,以{a,b,c}为空间的一个基底,求直线EF的一个方向向量。 解　()-a-b-c。故直线EF的一个方向向量为a-b-c。 13.正方体ABCD⁃A1B1C1D1的棱长为1,G,E,F分别为棱AA1,AB,BC的中点,求平面GEF的一个法向量。 解　 如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系。则E,F,G,。设平面GEF的法向量为n=(x,y,z)。由n⊥,n⊥,可得令y=1,则x=1,z=1,即平面GEF的一个法向量为n=(1,1,1)。 素养提升 14.(多选)已知平面α内有一点A(2,-1,2),平面α的一个法向量为n=,则下列四个点中在平面α内的是(AB) A.P1 B.P2 C.P3 D.P4 解析　对于选项A中的点P1,,·n=0,A成立。对于选项B中的点P2 ,,·n=0,B成立。同理C,D不正确。故选AB。 15.已知点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5)。 (1)求平面ABC的一个法向量; (2)证明:向量a=(3,-4,1)与平面ABC平行。 解　(1)因为A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),所以=(-2,-1,3),=(1,-3,2)。设n=(x,y,z)为平面ABC的一个法向量,则令y=1,则x=1,z=1,所以平面ABC的一个法向量为n=(1,1,1)。 (2)证法一:设存在实数m,n使a=m·+n·,即(3,-4,1)=m(-2,-1,3)+n(1,-3,2),则所以a=-,又不共线,所以向量a与平面ABC平行。 证法二:因为a·n=(3,-4,1)·(1,1,1)=3-4+1=0,所以a⊥n,所以向量a与平面ABC平行。 学科网（北京）股份有限公司 $$