课时达标检测5 空间向量运算的坐标表示(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时达标检测(五)　空间向量运算的坐标表示 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 基础达标 一、单项选择题 1.已知向量a=(1,-2,1),a-b=(-1,2,-1),则向量b等于(A) A.(2,-4,2) B.(-2,4,-2) C.(-2,0,-2) D.(2,1,-3) 解析　b=a-(a-b)=(1,-2,1)-(-1,2,-1)=(2,-4,2)。 2.已知点A(-3,-3,-3),B(1,1,1),则线段AB的长为(A) A.4 B.2 C.4 D.3 解析　AB=|。 3.已知a=(1,2,-y),b=(x,1,2),且(a+2b)∥(2a-b),则(A) A.x=,y=-4 B.x=,y=4 C.x=2,y=- D.x=1,y=-1 解析　因为a+2b=(1+2x,4,4-y),2a-b=(2-x,3,-2y-2),且(a+2b)∥(2a-b),所以3(1+2x)=4(2-x)且3(4-y)=4(-2y-2),解得x=,y=-4。 4.若△ABC中,∠C=90°,点A(1,2,-3k),B(-2,1,0),C(4,0,-2k),则k的值为(D) A. B.- C.2 D.± 解析　因为=(-6,1,2k),=(-3,2,-k),∠C=90°,则·=(-6)×(-3)+2+2k×(-k)=-2k2+20=0,所以k=±。 5.已知点A(1-t,1-t,t),B(2,t,t),则A,B两点间的距离的最小值为(C) A. B. C. D. 解析　因为点A(1-t,1-t,t),B(2,t,t),所以||2=(1+t)2+(2t-1)2+(t-t)2=5t2-2t+2,由二次函数易知,当t=时,取得最小值为,所以||的最小值为。 6. 如图,已知边长为6的正方形ABCD和正方形ADEF所在平面互相垂直,O是BE的中点,,则线段OM的长为(B) A.3 B. C.2 D. 解析　由题意可建立以D为原点,DA,DC,DE所在直线分别为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系(图略),则E(0,0,6),B(6,6,0),M(6,0,4),O(3,3,3),所以|,即线段OM的长为。故选B。 二、多项选择题 7.若向量a=(1,2,0),b=(-2,0,1),则 (AD) A.cos<a,b>=- B.a⊥b C.a∥b D.|a|=|b| 解析　因为向量a=(1,2,0),b=(-2,0,1),所以|a|=,|b|=,a·b=1×(-2)+2×0+0×1=-2,所以cos<a,b>=。故B,C不正确,A,D正确。 8.已知点P是△ABC所在的平面外一点,若=(-2,1,4),=(1,-2,1),=(4,2,0),则(AC) A.AP⊥AB B.AP⊥BP C.BC= D.AP∥BC 解析　因为·=0,故A正确;=(3,-3,-3),·=3+6-3=6≠0,故B不正确;=(6,1,-4),|,故C正确;=(1,-2,1),=(6,1,-4),各个对应分量的比值不同,故D不正确。 三、填空题 9.已知点A(-1,3,1),B(-1,3,4),若,则点P的坐标是 (-1,3,3) 。  解析　设点P(x,y,z),则由,得(x+1,y-3,z-1)=2(-1-x,3-y,4-z),则即P(-1,3,3)。 10.如图,将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱,的长为,的长为,其中B1与C在平面AA1O1O的同侧。则异面直线B1C与AA1所成角的大小为  。  解析　 以O为原点,OA,OO1所在直线分别为y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,则A(0,1,0),A1(0,1,1),B1,C=(0,0,1),=(0,-1,-1),则·=02+0×(-1)+1×(-1)=-1,所以cos<,。因此,异面直线B1C与AA1所成角为。 11.已知点A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则在上的投影向量的长度为 4 。  解析　因为=(5,-6,2)-(1,-1,2)=(4,-5,0),=(1,3,-1)-(1,-1,2)=(0,4,-3),所以cos<,,上的投影向量的长度为||·|cos<,|×|-|=4。 四、解答题 12.已知点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=,b=。 (1)若|c|=3,c∥,求c; (2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求实数k。 解　(1)因为=(-2,-1,2),且c∥,所以设c=λ=(-2λ,-λ,2λ),得|c|==3|λ|=3,解得λ=±1。即c=(-2,-1,2)或c=(2,1,-2)。 (2)因为a==(1,1,0),b==(-1,0,2),所以ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4)。又因为(ka+b)⊥(ka-2b),所以(ka+b)·(ka-2b)=0。即(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=2k2+k-10=0。解得k=2或k=-。故所求k的值为2或-。 13.在棱长为1的正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,E,F,G分别是DD1,BD,BB1的中点。 (1)求证:EF⊥CF; (2)求与所成角的余弦值; (3)求CE的长。 解　 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz。则D(0,0,0),E,C(0,1,0),F,G,所以,,,。 (1)证明:因为·×0=0,所以,即EF⊥CF。 (2)因为·,|,|,所以cos<,。 (3)CE=|。 素养提升 14.在正四面体ABCD中,AO⊥平面BCD,垂足为O,设M是线段AO上一点,且满足∠BMC=,则= 1 。  解析　 依题意建立如图所示的空间直角坐标系,设AB=3,则A(0,0,0),B(3,0,3),C(3,3,0),D(0,3,3)。因为AO⊥平面BCD,所以O是△BCD的重心,即O(2,2,2),线段AO上的点M可设为M(t,t,t)(0≤t≤2),所以=(t-3,t,t-3),=(t-3,t-3,t)。由∠BMC=,得·=(t-3)2+t(t-3)+(t-3)t=0,解得t=1或t=3(舍去),所以M(1,1,1),故=1。 15. 如图所示,在四棱锥P⁃ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA⊥底面ABCD,AB=,BC=1,PA=2,E为PD的中点。 (1)求AC与PB所成角的余弦值; (2)在侧面PAB内找一点N,使NE⊥平面PAC,求N点的坐标。 解　 (1)由题意,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),B(,0,0),C(,1,0),D(0,1,0),P(0,0,2),E,从而=(,1,0),=(,0,-2)。设AC与PB的夹角为θ,则cos θ=。所以AC与PB所成角的余弦值为。 (2)由于N点在侧面PAB内,故可设N点坐标为(x,0,z),则,由NE⊥平面PAC可得,即N点的坐标为时,NE⊥平面PAC。 学科网（北京）股份有限公司 $$