1.4.2 第2课时 夹角问题(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

第2课时　夹角问题 情境导入 课程标准 　　 地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”,在地球公转的同时自身也绕“地轴”自转,地轴与地球的赤道面垂直,黄道面与赤道面的交角称为“黄赤交角”,黄赤交角约为23°26'。 1.理解直线与平面所成角的概念。 2.会用向量法求线线、线面、面面夹角。 3.能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系。 自主预习明新知 1.两条异面直线所成的角 设异面直线l1,l2所成的角为θ,其方向向量分别为u,v,则cos θ=|cos<u,v>|=||=。 2.直线与平面所成的角 直线AB与平面α相交于B,设直线AB与平面α所成的角为θ,直线AB的方向向量为u,平面α的法向量为n,则sin θ=|cos<u,n>|=||=。 3.平面与平面的夹角 (1)两平面的夹角:平面α与平面β相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角。 (2)两平面夹角的计算:若平面α,β的法向量分别是n1,n2,设平面α与平面β的夹角为θ,则cos θ=|cos<n1,n2>|=||=。 微思考 1.两条异面直线所成的角与两条直线的方向向量所成的角是什么关系? 提示:相等或互补。 2.直线与平面所成的角等于直线的方向向量与该平面法向量的夹角吗? 提示:不等于,直线与平面所成的角和直线的方向向量与该平面法向量夹角(或其补角)互余。 3.两个平面所成的二面角就是两个平面的法向量的夹角吗? 提示:不一定,是法向量的夹角或其补角。 合作探究攻重难 　　　　　　　　　　　　　　 类型一　直线与直线所成的角 　　【例1】　如图所示,在三棱柱ABC⁃A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,点E,F分别是棱AB,BB1的中点,试求直线EF和BC1所成角的大小。 解　分别以直线BC,BA,BB1为x,y,z轴 ,建立空间直角坐标系(如图)。设AB=1,则B(0,0,0),E,F,C1(1,0,1),所以, =(1,0,1)。于是cos<,,所以直线EF和BC1所成角的大小为60°。 　　利用向量法求两条异面直线所成角的步骤: (1)确定两条异面直线的方向向量; (2)确定两个向量夹角的余弦值; (3)比较余弦值与0的大小,以确定向量夹角的范围; (4)确定异面直线所成的角与向量夹角的关系,得出两条异面直线所成的角。 　　【变式训练】　正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,E,F分别是A1D1,A1C1的中点,则异面直线AE与CF所成角的余弦值是  。  解析　 不妨设正方体棱长为2,分别取DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,2,0),E(1,0,2),F(1,1,2),则=(-1,0,2),=(1,-1,2),所以|,|,·=-1+0+4=3。所以cos<,。所以异面直线AE与CF所成角的余弦值为。 类型二　直线与平面所成的角 　　【例2】　如图,在四棱锥P⁃ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M,N分别为PC,PB的中点。 (1)求证:PB⊥DM; (2)求BD与平面ADMN所成角的大小。 解　 如图,以点A为原点建立空间直角坐标系,设BC=1,则A(0,0,0),P(0,0,2),B(2,0,0),D(0,2,0),C(2,1,0),M=(2,0,-2),,=(0,2,0),=(2,-2,0)。 (1)证明:因为·=(2,0,-2)·=0,所以PB⊥DM。 (2)因为·=(2,0,-2)·(0,2,0)=0,所以PB⊥AD。又因为PB⊥DM,AD∩DM=D,所以PB⊥平面ADMN,即为平面ADMN的一个法向量,则cos<,,设直线BD和平面ADMN所成的角为θ,所以sin θ=|cos<,,所以BD和平面ADMN所成的角为。 　　利用法向量求直线与平面所成角的步骤 (1)建立空间直角坐标系; (2)求直线的方向向量; (3)求平面的法向量n; (4)计算:设线面角为θ,则sin θ=。 　　【变式训练】　如图所示,在直四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1中,AD∥BC,∠BAD=90°,AB=,BC=1,AD=AA1=3。 (1)证明:AC⊥B1D; (2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值。 解　 (1)证明:以A为原点,以,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),C(,1,0),B1(,0,3),D(0,3,0),C1(,1,3),D1(0,3,3)。易知=(,1,0),=(-,3,-3),所以·=0,所以AC⊥B1D。 (2)设平面ACD1的法向量为m=(x,y,z),=(,1,0),=(0,3,3),则令x=1,则y=-,z=,所以平面ACD1的一个法向量为m=(1,-,)。设直线B1C1与平面ACD1所成的角为θ,因为=(0,1,0),所以sin θ=,所以直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为。 类型三　两平面的夹角 　　【例3】　如图,四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1的所有棱长都相等,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形。 (1)证明:O1O⊥底面ABCD; (2)若∠CBA=60°,求平面C1OB1与平面DOB1的夹角的余弦值。 解　(1)证明:因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形,所以CC1⊥AC,DD1⊥BD,又CC1∥DD1∥OO1,所以OO1⊥AC,OO1⊥BD,因为AC∩BD=O,所以O1O⊥底面ABCD。 (2)因为四棱柱的所有棱长都相等,所以四边形ABCD为菱形,AC⊥BD,又O1O⊥底面ABCD,所以OB,OC,OO1两两垂直。如图,以O为原点,分别以OB,OC,OO1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系。设棱长为2,因为∠CBA=60°,所以OB=,OC=1,所以O(0,0,0),B1(,0,2),C1(0,1,2),=(,0,2),=(0,1,2),平面DOB1的一个法向量为n=(0,1,0),设平面C1OB1的法向量为m=(x,y,z),则m⊥,m⊥,所以取z=-,则x=2,y=2,所以m=(2,2,-)为平面C1OB1的一个法向量,所以|cos<m,n>|=。所以平面C1OB1与平面DOB1的夹角的余弦值为。 　　利用向量方法求两个平面夹角的大小时,多采用法向量的方法,即求出两个平面的法向量,然后通过法向量的夹角得到两个平面夹角的大小,这种方法思路简单,但运算量大,所以求解时需特别注意仔细运算。 　　【变式训练】　如图,在正方体ABCD⁃A'B'C'D'中,M,N分别为AB',BD的中点,求平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值。 解　设正方体棱长为1,以B为原点,BA,BC,BB'所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Bxyz,则M,N,A(1,0,0),B(0,0,0)。 解法一:取MN的中点G,连接BG,AG,则G。 因为AM=AN=BM=BN,所以△AMN,△BMN为等腰三角形,所以AG⊥MN,BG⊥MN,故∠AGB(或其补角)为两平面的夹角。又因为,,所以cos<,,故所求两平面的夹角的余弦值为。 解法二:设平面AMN的一个法向量为n1=(x,y,z)。由于,,则令x=1,解得y=1,z=1,于是n1=(1,1,1)是平面AMN的一个法向量。同理可求得平面BMN的一个法向量为n2=(1,-1,-1),所以cos<n1,n2>=,设平面MNA与平面MNB的夹角为θ,则cos θ=|cos<n1,n2>|=。 当堂检测提素养 　　　　　　　　　　　　　　 1.平面α的斜线l与它在这个平面上的投影l'的方向向量分别为a=(1,0,1),b=(0,1,1),则斜线l与平面α所成的角为(C) A.30° B.45° C.60° D.90° 解析　l与α所成的角即为a与b所成的角(或其补角),因为cos<a,b>=,所以<a,b>=60°,斜线l与平面α所成的角为60°。 2.已知向量m,n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量,若cos<m,n>=-,则l与α所成的角为(A) A.30° B.60° C.120° D.150° 解析　由已知得直线l的方向向量和平面α的法向量的夹角为120°,因此l与α所成的角为30°。 3. 在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,M,N分别为棱BC和棱CC1的中点,则异面直线AC和MN所成的角为(D) A.30° B.45° C.90° D.60° 解析　以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在的直线为x轴、y轴、 z轴建立空间直角坐标系,设正方体ABCD⁃A1B1C1D1的棱长为2,因为M,N分别为棱BC和棱CC1的中点,所以M(1,2,0),N(0,2,1),A(2,0,0),C(0,2,0),=(-1,0,1),=(-2,2,0),设异面直线AC和MN所成的角为θ,则cos θ=,又θ是锐角,所以θ=60°。所以异面直线AC和MN所成的角为60°。 4. 在三棱锥P⁃ABC中,AB⊥BC,AB=BC=PA,O,D分别是AC,PC的中点,OP⊥底面ABC,则直线OD与平面PBC所成角的正弦值为  。  解析　以O为原点,射线OA,OB,OP为x,y,z轴正半轴建立空间直角坐标系,如图,设AB=a,则OP=a,,可求得平面PBC的一个法向量为n=,所以cos<,n>=,设与平面PBC所成的角为θ,则sin θ=。 5. 如图,在四棱锥P⁃ABCD中,PB⊥底面ABCD,CD⊥PD,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,AB⊥BC,AB=AD=PB=3。点E在棱PA上,且PE=2EA。求平面ABE与平面DBE夹角的余弦值。 解　 以B为原点,以直线BC,BA,BP分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系。则P(0,0,3),A(0,3,0),D(3,3,0)。设平面DBE的一个法向量为n1=(x,y,z),因为=(0,0,3)+(0,3,-3)=(0,2,1),=(3,3,0),由取z=1,所以于是n1=是平面DBE的一个法向量。又因为平面ABE的一个法向量为n2=(1,0,0),所以cos<n1,n2>=。设平面ABE与平面DBE的夹角为θ,则cos θ=|cos<n1,n2>|=,故所求夹角的余弦值为。 学科网（北京）股份有限公司 $$