1.4.2 第1课时 距离问题(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时　距离问题 情境导入 课程标准 　　如图,在蔬菜大棚基地有一条笔直的公路,某人要在点A处修建一个蔬菜存储库。 如何在公路上选择一个点,修一条公路到达A点,要想使这个路线长度理论上最短,应该如何设计? 能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题,并能描述解决这一类问题的程序,体会向量方法在研究几何问题中的作用。 自主预习明新知 1.直线外一点P到直线l的距离 如图,直线l的单位方向向量为u,A是直线l上的定点,P是直线l外一点。设=a,则向量在直线l上的投影向量=(a·u)u。在Rt△APQ中,由勾股定理,得点P到直线l的距离为PQ=。 2.平面外一点P到平面α的距离 如图,已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点。过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则n是直线l的方向向量,且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影的长度。 因此PQ=||=||=。 微提醒 1.点到直线的距离,即点到直线的垂线段的长度,由于直线与直线外一点确定一个平面,所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题。 2.点面距离实质是转化为平面的斜线段在平面法向量的投影向量的长度。 微思考 1.怎样求平行线之间的距离? 提示:转化为点线距离。 2.怎样求线面、面面之间的距离? 提示:转化为点面距离。 合作探究攻重难 　　　　　　　　　　　　　　 类型一　求点到直线的距离 　　【例1】　如图,在空间直角坐标系中有长方体ABCD⁃A'B'C'D',AB=1,BC=2,AA'=3,求点B到直线A'C的距离。 解　因为AB=1,BC=2,AA'=3,所以A'(0,0,3),C(1,2,0),B(1,0,0),所以=(1,2,-3)。取a==(0,2,0),u=,则a2=4,a·u=,所以点B到直线A'C的距离为。 　　用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系。 (2)求直线的单位方向向量u。 (3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量a。 (4)利用公式PQ=计算点到直线的距离。 　　【变式训练】　已知直三棱柱ABC⁃A1B1C1中,AA1=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求点B到直线A1C1的距离。 解　以B为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(4,0,1),C1(0,3,1),所以直线A1C1的方向向量为=(-4,3,0),取a==(0,3,1),u=,则a2=10,a·u=,所以点B到直线A1C1的距离为。 类型二　求点到平面的距离 　　【例2】　在三棱锥S⁃ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=2,M,N分别为AB,SB的中点,如图所示。求点B到平面CMN的距离。 解　取AC的中点O,连接OS,OB。因为SA=SC,AB=BC,所以AC⊥SO,AC⊥BO。因为平面SAC⊥平面ABC,平面SAC∩平面ABC=AC,所以SO⊥平面ABC。又BO⊂平面ABC,所以SO⊥BO。 如图所示,分别以OA,OB,OS所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Oxyz,则B(0,2,0),C(-2,0,0),A(2,0,0),S(0,0,2),M(1,,0),N(0,,)。所以=(3,,0),=(-1,0,),=(-1,,0)。设n=(x,y,z)为平面CMN的法向量,则取z=1,则x=,y=-,所以n=(,-,1)为平面CMN的一个法向量。所以点B到平面CMN的距离为。 　　求点到平面的距离的主要方法 (1)作点到平面的垂线,点到垂足的距离即为点到平面的距离。 (2)在三棱锥中用等体积法求解。 (3)向量法:点M到平面α的距离为(n为平面α的法向量,A为平面α上一点,MA为过点A的斜线段)。 　　【变式训练】　在直三棱柱中,AA1=AB=BC=3,AC=2,D是AC的中点。 (1)求证:B1C∥平面A1BD; (2)求点B1到平面A1BD的距离。 解　(1)证明:连接AB1交A1B于点E,连接DE。因为DE∥B1C,DE⊂平面A1BD,B1C⊄平面A1BD,所以B1C∥平面A1BD。 (2) 如图建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),B1(0,2,3),B(0,2,0),A1(-1,0,3),=(0,2,3),=(0,2,0),=(-1,0,3)。设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),则取x=3,则z=1,所以n=(3,0,1)为平面A1BD的一个法向量。故点B1到平面A1BD的距离为。 类型三　其他距离的求法 　　【例3】　设正方体ABCD⁃A1B1C1D1的棱长为2。 (1)求直线B1C到平面A1BD的距离; (2)求平面A1BD与平面B1CD1间的距离。 解　 (1)如图建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(2,2,0),A1(2,0,2),B1(2,2,2),C(0,2,0),所以=(2,0,2),=(2,0,2),=(2,2,0),所以,即CB1∥DA1,又CB1⊄平面A1BD,DA1⊂平面A1BD,所以B1C∥平面A1BD,所以直线B1C到平面A1BD的距离等于点B1到平面A1BD的距离。设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),则令x=1,则n=(1,-1,-1)为平面A1BD的一个法向量,又=(0,2,0),所以点B1到平面A1BD的距离,即直线B1C到平面A1BD的距离为。 (2)由(1)知B1C∥平面A1BD,同理,D1B1∥平面A1BD,B1C∩D1B1=B1,所以平面A1BD∥平面B1CD1,即平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点B1到平面A1BD的距离。由(1)知,点B1到平面A1BD的距离为。所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离为。 　　用向量法求线面距、面面距时,一般要转化为点面距。 　　【变式训练】　 如图,已知正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点。 (1)求点D到平面PEF的距离; (2)求直线AC到平面PEF的距离。 　　解　 (1)建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),P(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),E,F,则,。设平面PEF的法向量为n=(x,y,z),则令y=2,则n=(2,2,3)为平面PEF的一个法向量,又=(0,0,1),所以点D到平面PEF的距离为。 (2)由于E,F分别是AB,BC的中点,所以EF∥AC,又EF⊂平面PEF,AC⊄平面PEF,所以AC∥平面PEF,所以A点到平面PEF的距离即为直线AC到平面PEF的距离。由于,又由(1)知平面PEF的一个法向量为n=(2,2,3),所以点A到平面PEF的距离为,即直线AC到平面PEF的距离为。 当堂检测提素养 1.已知直线l过定点A(2,3,1),且n=(0,1,1)为其一个方向向量,则点P(4,3,2)到直线l的距离为(A) A. B. C. D. 解析　取a==(-2,0,-1),u=,则a2=5,a·u=-,所以点P到直线l的距离为。 2.已知△ABC的顶点A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则AC边上的高BD的长等于(C) A.3 B.4 C.5 D.6 解析　因为=(4,-5,0),=(0,4,-3),则=4,又|,所以AC边上的高BD==5。 3.已知向量n=(2,0,1)为平面α的法向量,点A(-1,2,1)在α内,则点P(1,2,-2)到α的距离为(A) A. B. C.2 D. 解析　因为=(-2,0,3),所以点P到平面α的距离为。 4. 如图所示,在直二面角D⁃AB⁃E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,△AEB是等腰直角三角形,其中∠AEB=90°,则点D到平面ACE的距离为  。  解析　取AB的中点O,以O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(0,-1,0),E(1,0,0),D(0,-1,2),C(0,1,2),从而=(0,0,2),=(1,1,0),=(0,2,2)。设平面ACE的法向量为n=(x,y,z),则令y=1,则x=-1,z=-1,所以n=(-1,1,-1)为平面ACE的一个法向量。故点D到平面ACE的距离为。 5.如图, 在直棱柱ABCD⁃A1B1C1D1中,底面为直角梯形,AB∥CD,且∠ADC=90°,AD=1,CD=,BC=2,AA1=2,E是CC1的中点,求直线A1B1与平面ABE的距离。 解　如图,以D为原点,分别以DA,DC,DD1所以直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz,则A1(1,0,2),A(1,0,0),E(0,,1),C(0,,0)。过点C作AB的垂线交AB于点F,易得BF=,所以B(1,2,0),所以=(0,2,0),=(-1,-,1)。设平面ABE的法向量为n=(x,y,z),则不妨取n=(1,0,1)为平面ABE的一个法向量。因为=(0,0,2),所以点A1到平面ABE的距离为。由直棱柱的性质可得A1B1∥AB,因为A1B1⊄平面ABE,AB⊂平面ABE,所以直线A1B1∥平面ABE,所以直线A1B1与平面ABE的距离等于点A1到平面ABE的距离,所以直线A1B1与平面ABE的距离为。 学科网（北京）股份有限公司 $$