1.4.1 第2课时 空间中直线、平面的平行(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

第2课时　空间中直线、平面的平行 情境导入 课程标准 　　 观察图片,旗杆底部的平台和地面平行,旗杆所在的直线和护旗战士所在的直线平行。旗杆所在直线的方向向量和护旗战士所在直线的方向向量有什么关系? 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系。 2.能用向量的方法证明有关直线、平面的平行关系。 自主预习明新知 1.两直线平行的判定方法 设u1,u2分别是直线l1,l2的方向向量,则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R,使得u1=λu2。 2.直线和平面平行的判定方法 设u是直线l的方向向量,n是平面α的法向量,l⊄α,则l∥α⇔u⊥n⇔u·n=0。 3.平面和平面平行的判定方法 设n1,n2分别是平面α,β的法向量,则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R,使得n1=λn2。 微提醒 用向量方法证明线线平行时,必须说明两直线不重合;证明线面平行时,必须说明直线不在平面内;证明面面平行时,必须说明两个平面不重合。 微思考 1.若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量,则这两向量满足哪些条件可以说明直线与平面平行? 提示:直线的方向向量与平面的法向量垂直时,可以说明直线与平面平行。 2.两个平面平行,两个平面的法向量有什么关系? 提示:平行。 合作探究攻重难 　　　　　　　　　　　　　　 类型一　证明直线与直线平行 　　【例1】　在长方体OAEB⁃O1A1E1B1中,OA=3,OB=4,OO1=2,点P在棱AA1上,且AP=2PA1,点S在棱BB1上,且SB1=2BS,点Q,R分别是棱O1B1,AE的中点。求证:PQ∥RS。 证明　 如图,建立空间直角坐标系,则A(3,0,0),B(0,4,0),O1(0,0,2),A1(3,0,2),B1(0,4,2),E(3,4,0)。易求得P,Q(0,2,2),R(3,2,0),S,于是,,所以。因为R∉PQ,所以PQ∥RS。 　　向量法证明线线平行的思路 要证明线线平行,只需取两直线的方向向量a,b,证得a∥b即可。具体方法有如下两种:(1)坐标法,根据图形特征,建立适当的空间直角坐标系,求出两直线方向向量的坐标,证明它们共线;(2)基向量法,取空间一个基底,用基底表示两直线的方向向量,证得它们共线。 　　【变式训练】　如图所示,在四棱锥P⁃ABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥平面ABCD,E为CP的中点,N为DE的中点,DM=DB,DA=DP=1,CD=2。求证:MN∥AP。 证明　 证法一:由题意知,直线DA,DC,DP两两垂直,如图所示,以D为原点,DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,2,0),P(0,0,1),E,N,M,所以=(-1,0,1),,所以,故MN∥AP。 证法二:由题意可得()=()=,所以MN∥AP。 类型二　证明直线与平面平行 　　【例2】　在如图所示的多面体中,EF⊥平面AEB,AE⊥EB,AD∥EF,EF∥BC,BC=2AD=4,EF=3,AE=BE=2,G是BC的中点,求证:AB∥平面DEG。 证明　因为EF⊥平面AEB,AE⊂平面AEB,BE⊂平面AEB,所以EF⊥AE,EF⊥BE。又因为AE⊥EB,所以EB,EF,EA两两垂直。 以点E为原点,EB,EF,EA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系。由已知得,A(0,0,2),B(2,0,0),D(0,2,2),G(2,2,0),所以=(0,2,2),=(2,2,0),=(2,0,-2)。设平面DEG的法向量为n=(x,y,z),则令y=1,得z=-1,x=-1,则n=(-1,1,-1)是平面DEG的一个法向量,所以·n=-2+0+2=0,即⊥n。因为AB⊄平面DEG,所以AB∥平面DEG。 　　利用空间向量证明线面平行的方法 (1)利用共面向量法:证明直线的方向向量p与平面内的两个不共线向量a,b是共面向量,即满足p=xa+yb(x,y∈R),则p,a,b共面,从而可证直线与平面平行。 (2)利用共线向量法:证明直线的方向向量p与该平面内的某一向量共线,再结合线面平行的判定定理即可证明线面平行。 (3)利用法向量法:求出直线的方向向量与平面的法向量,证明方向向量与法向量垂直,从而证明直线与平面平行。 　　【变式训练】　如图,在四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB⊥AC,AB=1,AC=AA1=2,AD=CD=,且点M和N分别为B1C和D1D的中点。求证:MN∥平面ABCD。 证明　 如图,以A为原点建立空间直角坐标系,依题意可得A(0,0,0),C(2,0,0),D(1,-2,0),B1(0,1,2),D1(1,-2,2)。因为M,N分别为B1C,D1D的中点,所以M,N(1,-2,1)。依题意,可得n=(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量,又,则·n=0,又直线MN⊄平面ABCD,所以MN∥平面ABCD。 类型三　证明平面与平面平行 　　【例3】　已知正方体ABCD⁃A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,求证:平面ADE∥平面B1C1F。 证明　 建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(2,0,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),所以=(0,2,1),=(2,0,0),=(0,2,1),=(2,0,0),设n1=(x1,y1,z1)是平面ADE的法向量,则n1⊥,n1⊥,即令z1=2,则y1=-1,所以平面ADE的一个法向量为n1=(0,-1,2)。同理,设n2=(x2,y2,z2)是平面B1C1F的法向量。由n2⊥,n2⊥,得令z2=2,得y2=-1,所以平面B1C1F的一个法向量为n2=(0,-1,2)。因为n1=n2,即n1∥n2,所以平面ADE∥平面B1C1F。 　　面面平行问题可由以下方法去证明:①转化为相应的线线平行或线面平行;②分别求出这两个平面的法向量,然后证明这两个法向量平行。 　　【变式训练】　如图所示,平面PAD⊥平面ABCD,ABCD为正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD=2,E,F,G分别是线段PA,PD,CD的中点。求证:平面EFG∥平面PBC。 证明　因为平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形, △PAD是直角三角形,且PA=AD,所以AB,AP,AD两两垂直,以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0)。所以=(2,0,-2),=(0,-1,0),=(1,1,-1),=(0,2,0),设n1=(x1,y1,z1)是平面EFG的法向量,则n1⊥,n1⊥,即令z1=1,则x1=1,y1=0,所以平面EFG的一个法向量为n1=(1,0,1)。设n2=(x2,y2,z2)是平面PBC的法向量,则n2⊥,n2⊥,即令z2=1,得x2=1,y2=0,所以平面PBC的一个法向量为n2=(1,0,1)。因为n1=n2,所以平面EFG∥平面PBC。 平行中的探究性问题 探索性、存在性问题是条件不完备和结论不确定的问题,这类问题对学生解决问题、处理问题的能力要求较高。立体几何中的探索性、存在性问题是比较有思维层次的,对能力要求非常高。利用向量的方法,将这类问题由立体几何问题转化为代数的方程式或不等式的解的问题,降低问题的难度。 这类问题的基本形式是判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立,解决这类问题的基本策略是假设题中的数学结论成立,在这个前提下进行逻辑推理,若由此导出与已知矛盾,则否定假设,否则,给出肯定证明。 【典例】　如图所示,在底面是菱形的四棱锥P⁃ABCD中,∠ABC=60°,PA⊥平面ABCD,PA=AC=a,点E在PD上,且PE∶ED=2∶1。在棱PC上是否存在一点F,使BF∥平面AEC?证明你的结论。 【解】　 如图,以A为原点,直线AD,AP分别为y轴、z轴,过A点垂直于平面PAD的直线为x轴,建立空间直角坐标系。 由题意,知相关各点的坐标分别为A(0,0,0),B,C,P(0,0,a),E。 所以,,,。 设点F是棱PC上的点,=λ,其中0≤λ≤1,则, 令=λ1+λ2, 则 　　即 即λ=时,, 即F是PC的中点时,,,共面。 又BF⊄平面AEC, 所以当F是棱PC的中点时,BF∥平面AEC。 当堂检测提素养 　　　　　　　　　　　　　　 1.若不重合的直线l1,l2的方向向量分别为a=(1,2,-2),b=(-3,-6,6),则(A) A.l1∥l2 　　B.l1⊥l2 C.l1,l2相交但不垂直 　　D.不能确定 解析　因为,所以a∥b。又直线l1,l2不重合,所以l1,l2平行。 2.(多选)若直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,能使l∥α的是(AD) A.a=(1,0,0),n=(0,-2,0) B.a=(1,3,5),n=(1,0,1) C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1) D.a=(1,-1,3),n=(0,3,1) 解析　若l∥α,则a·n=0。而A中a·n=0,B中a·n=1+5=6,C中a·n=-1,D中a·n=-3+3=0,故选AD。 3.若平面α∥β,则下面可以是这两个平面法向量的是(D) A.n1=(1,2,3),n2=(-3,2,1) B.n1=(1,2,2),n2=(-2,2,1) C.n1=(1,1,1),n2=(-2,2,1) D.n1=(1,1,1),n2=(-2,-2,-2) 解析　因为平面α∥β,所以两个平面的法向量应该平行,只有D项符合。 4.已知直线l∥平面ABC,且l的一个方向向量为a=(2,m,1),A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),则实数m的值是 -3 。  解析　因为l∥平面ABC,所以存在实数x,y,使a=x,=(1,0,-1),=(0,1,-1),所以(2,m,1)=x(1,0,-1)+y(0,1,-1)=(x,y,-x-y),所以所以m=-3。 5.如图所示, 在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO? 解　如图所示,以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,在CC1上任取一点Q,连接BQ,D1Q。设正方体的棱长为1,则O,P,A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),设Q(0,1,m)。 解法一:因为,=(-1,-1,1),所以,于是OP∥BD1。又,=(-1,0,m),当m=时,,即,所以AP∥BQ,又OP∩AP=P,BD1∩BQ=B,所以平面PAO∥平面D1BQ,故当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO。 解法二:,。设平面PAO的法向量为n1=(x1,y1,z1),则有n1⊥,n1⊥,因此取x1=1,则n1=(1,1,2)。又因为=(-1,-1,1),=(0,-1,1-m)。设平面D1BQ的法向量为n2=(x2,y2,z2),则有n2⊥,n2⊥,因此取z2=1,则n2=(m,1-m,1)。要使平面D1BQ∥平面PAO,需满足n1∥n2,因此,解得m=,这时Q。故当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO。 学科网（北京）股份有限公司 $$