1.3.2 空间向量运算的坐标表示(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

1.3.2　空间向量运算的坐标表示 情境导入 课程标准 　　 一块巨石从山顶坠落,挡住了前面的路,抢修队员紧急赶到从三个方向拉巨石。这三个力分别为F1,F2,F3,它们两两垂直,且|F1|=3 000 N,|F2|=2 000 N,|F3|=2 000 N。若以F1,F2,F3的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,则巨石所受合力F的坐标是什么? 1.掌握空间向量线性运算的坐标表示。 2.掌握空间向量数量积的坐标表示。 自主预习明新知 1.空间向量的坐标运算 (1)空间向量的坐标。 一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。 (2)设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)。则有 向量运算 坐标表示 加法 a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3) 减法 a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3) 数乘 λa=(λa1,λa2,λa3)(λ∈R) 数量积 a·b=a1b1+a2b2+a3b3 2.空间向量的平行、垂直及模和夹角 名称 满足条件 向量表示形式 坐标表示形式 a∥b a=λb(b≠0) a1=λb1,a2=λb2, a3=λb3(λ∈R) a⊥b a·b=0 a1b1+a2b2+a3b3=0 模 |a|= |a|= 夹角 cos<a,b>= cos<a,b>= 3.空间两点间的距离公式 设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则P1P2=|。 微思考 1.若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),a∥b,则一定有成立吗? 提示:不一定,当b1,b2,b3存在取0值时不成立。 2.当0<cos<a,b><1,及-1<cos<a,b><0时,夹角的范围是? 提示:当0<cos<a,b><1时,0<<a,b><,为锐角。 当-1<cos<a,b><0时,<<a,b><π,为钝角。 合作探究攻重难 　　　　　　　　　　　　　　 类型一　空间向量的坐标运算 　　【例1】　(1)已知a=(-1,2,1),b=(2,0,1),则(2a+3b)·(a-b)= -4 。  解析　易得2a+3b=(4,4,5),a-b=(-3,2,0),则(2a+3b)·(a-b)=4×(-3)+4×2+5×0=-4。 (2)若2a-b=(2,-4,3),a+2b=(1,3,-1),则cos<a,b>= - 。  解析　设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),由题设可得同理可得y1=-1,y2=2,z1=1,z2=-1,即a=(1,-1,1),b=(0,2,-1),则a·b=0-2-1=-3,|a|=,|b|=,所以cos<a,b>=。 　　关于空间向量坐标运算的两类问题 (1)直接计算问题 首先将空间向量用坐标表示出来,然后准确运用空间向量坐标运算公式计算。 (2)由条件求向量或点的坐标 首先把向量用坐标形式设出来,然后通过建立方程(组),解方程(组)求出其坐标。 　　【变式训练】　(1)已知a=(1,0,-1),b=(1,-2,2),c=(-2,3,-1),则a-b+2c= (-4,8,-5) 。  解析　a-b+2c=(1,0,-1)-(1,-2,2)+2(-2,3,-1)=(-4,8,-5)。 (2)已知a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,0,1),p=a-b,q=a+2b-c,则p·q= -1 。  解析　因为p=a-b=(1,0,-1),q=a+2b-c=(0,3,1),所以p·q=1×0+0×3+(-1)×1=-1。 类型二　利用空间向量解决平行与垂直问题 　　【例2】　如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是线段EF的中点。求证: (1)AM∥平面BDE; (2)AM⊥平面BDF。 证明　 (1)如图,建立空间直角坐标系,设AC∩BD=N,连接NE,则点N,E的坐标分别为,(0,0,1)。所以。又点A,M的坐标分别是(,,0),,所以。又NE与AM不共线,所以NE∥AM。又因为NE⊂平面BDE,AM⊄平面BDE,所以AM∥平面BDE。 (2)由(1)知。因为D(,0,0),F(,,1),所以=(0,,1),所以·=0,所以,即AM⊥DF。同理,,即AM⊥BF。又DF∩BF=F,且DF⊂平面BDF,BF⊂平面BDF,所以AM⊥平面BDF。 　　(1)判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件;已知两向量平行或垂直求参数值,则利用平行、垂直的充要条件,将位置关系转化为坐标关系,列方程(组)求解。 (2)利用向量证明直线、平面平行或垂直,则要建立恰当的空间直角坐标系,求出相关向量的坐标,利用向量平行、垂直的充要条件证明。 　　【变式训练】　如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,CE⊥AC,EF∥AC,AB=,CE=EF=1。求证: (1)AF∥平面BDE; (2)CF⊥平面BDE。 证明　(1)设AC与BD交于点G,连接EG。因为EF∥AC,且EF=1,AG=AC=1,所以四边形AGEF为平行四边形,所以AF∥EG。因为EG⊂平面BDE,AF⊄平面BDE,所以AF∥平面BDE。 (2) 因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,且CE⊥AC,所以CE⊥平面ABCD。如图,以C为原点,建立空间直角坐标系Cxyz。则C(0,0,0),A(,,0),B(0,,0),D(,0,0),E(0,0,1),F,=(0,-,1),=(-,0,1)。所以·=0-1+1=0,·=-1+0+1=0,所以,,即CF⊥BE,CF⊥DE。又BE∩DE=E,且BE⊂平面BDE,DE⊂平面BDE,所以CF⊥平面BDE。 类型三　利用空间向量计算夹角与距离问题 　　【例3】　在四棱锥P⁃ABCD中,PD⊥平面ABCD,PA与平面ABCD所成的角为60°,在四边形ABCD中,∠ADC=∠DAB=90°,AB=4,CD=1,AD=2。 (1)求BP的长; (2)求异面直线PA与BC所成角的余弦值。 解　 (1)如图,建立空间直角坐标系。因为∠ADC=∠DAB=90°,AB=4,CD=1,AD=2,所以A(2,0,0),C(0,1,0),B(2,4,0),由PD⊥平面ABCD,得∠PAD为PA与平面ABCD所成的角,所以∠PAD=60°。在Rt△PAD中,由AD=2,得PD=2。所以P(0,0,2)。所以BP=。 (2)由(1)得,=(2,0,-2),=(-2,-3,0),所以cos<,,所以异面直线PA与BC所成角的余弦值为。 　　通过分析几何体的结构特征,建立适当的坐标系,使尽可能多的点在坐标轴上,以便写出点的坐标。建立坐标系后,写出相关点的坐标,然后再写出相应向量的坐标表示,把向量坐标化,然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题。 　　【变式训练】　(1)已知△ABC的三个顶点为A(3,3,2),B(4,-3,7),C(0,5,1),则BC边上的中线长为 3 。  解析　设BC边的中点为D,则()=(-1,-2,2),所以|=3。 (2)如图,在直三棱柱ABC⁃A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,N为A1A的中点。 ①求BN的长; ②求A1B与B1C所成角的余弦值。 解　 如图,以C为原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Cxyz。 ①依题意得B(0,1,0),N(1,0,1),所以|,所以BN的长为。 ②依题意得A1(1,0,2),C(0,0,0),B1(0,1,2),所以=(-1,1,-2),=(0,-1,-2),所以·=(-1)×0+1×(-1)+(-2)×(-2)=3。又|,|,所以cos<,。又异面直线所成角为锐角或直角,故A1B与B1C所成角的余弦值为。 当堂检测提素养 　　　　　　　　　　　　　　 1.(多选)下列各组空间向量中,平行的是(ABC) A.a=(1,2,-2),b=(-2,-4,4) B.a=(1,0,0),b=(-5,0,0) C.a=(4,0,-2),b=(0,0,0) D.a=(2,5,-3),b=(-8,-20,-12) 解析　选项A中,b=-2a,所以两向量平行,同理B,C的两个向量也平行,D中两个向量不平行。 2.已知向量a=(1,0,1),b=(2,0,-2),若(ka+b)·(a+kb)=2,则k的值等于(D) A.1 B. C. D. 解析　由已知得|a|=,|b|=2,a·b=0,所以由(ka+b)·(a+kb)=2可得k|a|2+k|b|2+(k2+1)a·b=2,即2k+8k=2,解得k=。 3.若向量a=(1,-1,2),b=(2,1,-3),则|2a+b|= 3 。  解析　由于向量a=(1,-1,2),b=(2,1,-3),所以2a+b=(4,-1,1)。故|2a+b|=。 4.已知空间三点A(1,1,1),B(-1,0,4),C(2,-2,3),则与的夹角的大小是 120° 。  解析　因为=(-2,-1,3),=(-1,3,-2),所以cos<,,所以<,>=120°。 5.已知空间三点A(1,2,3),B(2,-1,5),C(3,2,-5)。 (1)求△ABC的面积; (2)求△ABC中AB边上的高。 解　(1)由已知,得=(1,-3,2),=(2,0,-8),所以|,|,·=1×2+(-3)×0+2×(-8)=-14,所以cos<,,所以sin<,。所以S△ABC=,。 (2)设AB边上的高为CD,则|,即△ABC中AB边上的高为3。 学科网（北京）股份有限公司 $$