1.2 空间向量基本定理(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

1.2　空间向量基本定理 情境导入 课程标准 　　“道生一,一生二,二生三,三生万物”这句话出自老子《道德经》,它表示“道”生万物从少到多, 从简单到复杂的一个过程。 联系到我们学过的平面向量基本定理,可以概括为给出一个二维的基底可以生成平面中所有的向量;推广到三维空间,为给出一个三维的基底可以生成空间中的所有向量。 1.了解空间向量基本定理及其意义。 2.掌握空间向量的正交分解。 自主预习明新知 1.空间向量基本定理 如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc。其中{a,b,c}叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做基向量。 2.空间向量的正交分解 (1)单位正交基底。 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底,常用{i,j,k}表示。 (2)对空间中的任意向量a,均可以分解为三个向量xi,yj,zk,使a=xi+yj+zk。把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解。 微提醒 由空间向量基本定理可知,如果把三个不共面的向量作为空间的一个基底,那么所有空间向量都可以用三个基向量表示出来。进一步地,所有空间向量间的运算都可以转化为基向量间的运算,这为解决问题带来了方便。 微思考 1.零向量能不能作为一个基向量?为什么? 提示:不能。因为0与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面。 2.空间向量的正交分解式是唯一的吗? 提示:基底选定后,空间的所有向量均可由基底唯一表示,所以如果选用不同的正交基底,同一向量的正交分解式也会不同。 合作探究攻重难 　　　　　　　　　　　　　　 类型一　用基底表示空间向量 　　【例1】　如图,在平行六面体ABCD⁃A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量: (1); (2); (3)。 解　(1)因为P是C1D1的中点,所以=a+=a+c+=a+c+b。 (2)因为N是BC的中点,所以=-a+b+=-a+b+=-a+b+c。 (3)因为M是AA1的中点,所以a+a+b+c。又c+a,所以a+b+c。 　　(1)空间中,任一向量都可以用一个基底表示,且只要基底确定,则表示形式是唯一的。 (2)用基底表示空间向量时,一般要结合图形,运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则,以及数乘向量的运算法则,逐步向基向量过渡,直至全部用基向量表示。 (3)在空间几何体中选择基底时,通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底,例如,在正方体、长方体、平行六面体、四面体中,一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底。 　　【变式训练】　如图,M,N分别是四面体OABC的棱OA,BC的中点,P,Q是MN的三等分点。用向量,,表示和。 解　()=()=。 类型二　证明空间位置关系 　　【例2】　如图所示,正方体ABCD⁃A1B1C1D1的棱长为1,E,F,G,G1分别是棱CC1,BC,CD,A1B1的中点。求证: (1)AD1⊥G1G; (2)AD1∥EF。 证明　设=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|=1且a·b=b·c=a·c=0。 (1)因为=b+c,a-c+b+a=b-c,所以·=(b+c)·(b-c)=b2-c2=0,所以,所以AD1⊥G1G。 (2)因为=b+c,b-c,所以,所以AD1∥EF。 　　(1)要证两直线垂直,由数量积的性质a⊥b⇔a·b=0可知,可构造与两直线分别平行的向量,只要证明这两个向量的数量积为0即可。 (2)要证两直线平行,可构造与两直线分别平行的非零向量,只要证明这两个向量满足a=λb即可。 　　【变式训练】　在空间四边形OABC中,OB=OC,∠AOB=∠AOC=,求证:OA⊥BC。 证明　如图所示,因为··()=··|·cos∠AOC-||·cos∠AOB=0,所以,所以OA⊥BC。 类型三　求夹角与模长 　　【例3】　在直三棱柱ABC⁃A'B'C'中,AC=BC=AA',∠ACB=90°,D,E分别为AB,BB'的中点。 (1)求证:CE⊥A'D; (2)求异面直线CE与AC'所成角的余弦值。 解　设=a,=b,=c,根据题意得|a|=|b|=|c|,a·b=b·c=c·a=0。 (1)证明:易知=b+c,=-c+b-a,所以·c2+b2=0。所以,即CE⊥A'D。 (2)易知=-a+c,所以||a|,又=b+c,所以||a|,因为·=(-a+c)·c2=|a|2,cos<,,即异面直线CE与AC'所成角的余弦值为。 　　求空间向量的夹角及模长问题,首先选好基底,用基底表示相应向量,利用夹角公式及模长公式计算。 　　【变式训练】　在棱长为2的正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,E,F分别是DD1,BD的中点,点G在棱CD上,且CG=CD。 (1)证明:EF⊥B1C; (2)求EF与C1G所成角的余弦值。 解　(1)证明:设=i,=j,=k,这三个向量不共面,且两两垂直,{i,j,k}构成空间的一个正交基底。所以k+()=i+j-k,=-i-k,所以··(-i-k)=-|i|2+|k|2=0,所以EF⊥B1C。 (2)i+j-k,=-k-j,||i|2+|j|2+|k|2=3,|,|=|k|2+|j|2=4+,|,所以cos<,。即EF与C1G所成角的余弦值为。 当堂检测提素养 　　　　　　　　　　　　　　 1.长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,若=3i,=2j,=5k,则=(C) A.i+j+k B.i+j+k C.3i+2j+5k D.3i+2j-5k 解析　=3i+2j+5k。 2.已知正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,若F是侧面CC1D1D的中心,且,则m,n的值分别为(A) A.,- B.-,- C.-, D., 解析　因为()=,所以m=,n=-。 3.如图, 在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,M,N分别为AB,B1C的中点,若AB=a,则MN= a 。  解析　,|MN|2=(||2)=a2,所以|a,即MN=a。 4.在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,直线AC1与BC所成角的余弦值为  。  解析　设正方体棱长为1,则,|,所以cos<,,即直线AC1与BC所成角的余弦值为。 5. 如图,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,P是DD1的中点,O是底面ABCD的中心。求证:OB1⊥平面PAC。 证明　如图,连接BD,则BD过点O,令=a,=b,=c,则{a,b,c}构成空间的一个正交基底。设|a|=|b|=|c|=1,因为=a+b,()+a-b+c。所以·=(a+b)·|a|2+a·b-a·b-|b|2+a·c+b·c==0。所以,即AC⊥OB1。又=b+c,所以··a·b-|b|2+c·b+a·c-b·c+|c|2=-=0,所以,即OB1⊥AP。又AC∩AP=A,AC,AP⊂平面PAC,所以OB1⊥平面PAC。 学科网（北京）股份有限公司 $$