1.1.2 空间向量的数量积运算(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

1.1.2　空间向量的数量积运算 情境导入 课程标准 　　在平面向量中已经学过两个平面向量的数量积运算,由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量,因此,两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义。 1.掌握空间向量数量积的定义及性质。 2.掌握投影向量的定义及空间向量数量积的运算律。 3.能利用空间向量数量积解决简单的立体几何问题。 自主预习明新知 1.空间向量数量积的概念及性质 (1)空间向量的夹角。 已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a,=b,则∠AOB叫做向量a,b的夹角,记作<a,b>。 如果<a,b>=,那么向量a,b互相垂直,记作a⊥b。 (2)空间向量数量积的定义。 已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos<a,b>叫做a,b的数量积,记作a·b。即a·b=|a||b|cos<a,b>。 特别地,零向量与任意向量的数量积为0。 (3)空间向量数量积的性质 由向量的数量积定义,可以得到: a⊥b⇔a·b=0; a·a=|a||a|cos<a,a>=|a|2。 2.空间向量的投影向量及运算律 (1)投影向量。 如图①,在空间,向量a向向量b投影,由于它们是自由向量,因此可以先将它们平移到同一个平面α内,进而利用平面上向量的投影,得到与向量b共线的向量c,c=|a|cos<a,b>,向量c称为向量a在向量b上的投影向量。类似地,可以将向量a向直线l投影(图②)。 　　　 ①　　　　　　　②　　　　　　　③ 如图③,向量a向平面β投影,就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线,垂足分别为A',B',得到向量,向量称为向量a在平面β上的投影向量。这时,向量a,的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角。 (2)空间向量的数量积满足的运算律。 (λa)·b=λ(a·b),λ∈R; a·b=b·a(交换律); (a+b)·c=a·c+b·c (分配律)。 微提醒 1.(1)向量的夹角与直线夹角范围的区别:两向量夹角的范围为[0,π],两直线夹角的范围为。 (2)当<a,b>=0时,a与b同向;当<a,b>=π时,a与b反向;当<a,b>=时,a与b垂直。 2.空间向量的数量积不满足结合律。 微思考 1.<a,b>,<-a,b>,<a,-b>,<-a,-b>,它们有什么关系? 提示:<-a,b>=<a,-b>=π-<a,b>;<-a,-b>=<a,b>。 2.由a·b=a·c能得到b=c吗? 提示:不能。 3.对于三个均不为0的数a,b,c,若ab=c,则a=。对于向量a,b,若a·b=k,能不能写成a=的形式? 提示:不能,向量没有除法运算。 合作探究攻重难 　　　　　　　　　　　　　　 类型一　空间向量的数量积运算 　　【例1】　如图,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F分别是AB,AD的中点,计算: (1); (2); (3)。 解　(1)··|·cos<,,所以·。 (2)··,,所以·。 (3)··,,所以·。 　　求空间向量的数量积的步骤 (1)将待求数量积的两向量的模长及它们的夹角理清; (2)利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角余弦值的乘积; (3)代入a·b=|a||b|cos<a,b>求解。 　　【变式训练】　(1)已知a=3p-2q,b=p+q,p和q是相互垂直的单位向量,则a·b=(A) A.1 B.2 C.3 D.4 解析　因为p⊥q且|p|=|q|=1,所以a·b=(3p-2q)·(p+q)=3p2+p·q-2q2=3+0-2=1。 (2)已知棱长为1的正方体ABCD⁃A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1,则的值为(C) A.-1 B.0 C.1 D.2 解析　()=(),,则·(||2)=1。故选C。 类型二　利用空间向量的数量积求夹角 　　【例2】　已知BB1⊥平面ABC,且△ABC是∠B=90°的等腰直角三角形,四边形ABB1A1和BB1C1C都是正方形,若AB=a,求异面直线BA1与AC所成的角。 解　如图所示。因为,,所以·=()·()=····。因为AB⊥BC,BB1⊥AB,BB1⊥BC,所以·=0,·=0,·=0且·=-a2。所以·=-a2。又·|·|,>,所以cos<,。又因为<,>∈[0,π],所以<,>=120°,又因为异面直线所成的角是锐角或直角,所以异面直线BA1与AC所成的角为60°。 　　利用向量的数量积,求异面直线所成角的方法 (1)根据题设条件在所求的异面直线上分别取两个向量。 (2)将求异面直线所成角的问题转化为求向量夹角问题。 (3)利用向量的数量积求角的大小。 　　【变式训练】　已知空间四边形ABCD中,∠ACD=∠BDC=90°,且AB=2,CD=1,则AB与CD所成的角是(C) A.30° B.45° C.60° D.90° 解析　因为∠ACD=∠BDC=90°,所以··=0,所以·=()···|2=1,所以cos<,,所以AB与CD所成的角为60°。 类型三　垂直问题 　　【例3】　如图所示,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,O为AC与BD的交点,G为CC1的中点,求证:A1O⊥平面GBD。 证明　设=a,=b,=c,则a·b=0,b·c=0,a·c=0,|a|=|b|=|c|。因为()=c+a+b,=b-a,()+a+b-c,所以··(b-a)=c·b-c·a+a·b-a2+b2-b·a=(b2-a2)=(|b|2-|a|2)=0。所以,即A1O⊥BD。同理可证,即A1O⊥OG。又BD∩OG=O,所以A1O⊥平面GBD。 　　利用空间向量解决垂直问题的方法 (1)证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量,看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直。 (2)证明与空间向量a,b,c有关的向量m,n垂直应先用向量a,b,c表示向量m,n,再求解向量m,n的数量积并判断是否为0。 　　【变式训练】　已知空间四边形ABCD中,AB⊥CD,AC⊥BD,求证:AD⊥BC。 证明　 因为AB⊥CD,AC⊥BD,所以·=0,·=0。所以·=()·()=······()=·=0。所以,从而AD⊥BC。 类型四　距离问题 【例4】　在正四面体ABCD中,棱长为a,M,N分别是棱AB,CD上的点,且MB=2AM,CN=ND,求MN。 解　因为+()+()=-·····a2。故|a。即|MN|=a。 　　求两点间的距离或线段长度的方法 (1)将此线段用向量表示; (2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量; (3)利用|a|=,通过计算求出|a|,即得所求距离。 　　【变式训练】　如图,已知一个60°的二面角的棱上有两点A,B,AC,BD分别是在这两个面内且垂直于AB的线段。又知AB=4,AC=6,BD=8,求CD的长。 解　因为CA⊥AB,BD⊥AB,所以<,>=120°。因为,且·=0,·=0,所以|·=()·()=|···,=68,所以|,故CD的长为2。 当堂检测提素养 　　　　　　　　　　　　　　 1.在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,下列各对向量夹角为45°的是(A) A.与 B.与 C.与 D.与 解析　四个选项中两个向量的夹角依次是45°,135°,90°,180°。故选A。 2.在棱长为1的正四面体ABCD中,E,F分别是BC,AD的中点,则=(D) A.0 B. C.- D. 解析　·()·(··)=。 3.在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,E是上底面A1B1C1D1的中心,则AC1与CE的位置关系是(C) A.重合 B.平行 C.垂直 D.无法确定 解析　设正方体的棱长为1,,(),于是·=()·+1-0-0=0,故,即AC1与CE垂直。 4.如图,四面体ABCD的每条棱长都等于2,点E,F分别为棱AB,AD的中点,则||=  ,与所成的角为  。  解析　,·=2,故|·×4=3。故|(),故··()=(··)=0,因为<,>∈[0,π],所以<,。 5. 如图,在空间四边形OABC中,OA,OB,OC两两成60°角,且OA=OB=OC=2,E为OA的中点,F为BC的中点,试求E,F间的距离。 解　()=[()+()]=-,所以···=2。所以|,即E,F间的距离为。 学科网（北京）股份有限公司 $$