1.1.1 空间向量及其线性运算(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

第一章　空间向量与立体几何 　　▶导语:在必修课程学习平面向量的基础上,本章将平面向量推广到空间,学习空间向量及其运算、空间向量基本定理及空间向量及其运算的坐标表示,并运用空间向量研究立体几何中图形的位置关系和度量问题,包括用空间向量描述空间中直线、平面的平行、垂直关系,用空间向量解决空间中距离、夹角问题等。本章的研究对象是几何图形,所用的研究方法是向量方法。通过本章学习,提升学生的直观想象、数学运算、逻辑推理和数学抽象等数学学科核心素养。 要点精准概括 4个重要概念:共线(平行)向量,共面向量,直线的方向向量,平面的法向量 4种重要运算:加法运算,减法运算,数乘运算,数量积运算 3种方法:坐标法,基底法,几何法 2类重要应用:证明空间中的平行、垂直关系,研究空间中的距离、夹角问题 第一章　空间向量与立体几何 1.1　空间向量及其运算 1.1.1　空间向量及其线性运算 情境导入 课程标准 　　 章头图展示的是一个做滑翔伞运动的场景,可以想象在滑翔过程中,飞行员会受到来自不同方向大小各异的力,你能用图示法表示这些力吗?能对这些力进行力的合成吗?这就是本节我们学习的空间向量及其线性运算。 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程,了解空间向量的概念。 2.经历由平面向量的线性运算及其法则推广到空间向量的过程,了解空间向量的运算法则。 自主预习明新知 1.空间向量的概念 (1)在空间,把具有大小和方向的量叫做空间向量,空间向量的大小叫做空间向量的长度或模。空间向量用字母a,b,c,…表示。 空间向量也用有向线段表示,有向线段的长度表示空间向量的模。如图,向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可以记作,其模记为|a|或||。 (2)几类特殊的空间向量。 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量,记为0 单位向量 模为1的向量叫做单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量,叫做a的相反向量,记为-a 相等向量 方向相同且模相等的向量叫做相等向量。在空间,同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量 共线向量 (平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量 2.空间向量的加、减、数乘运算及其运算律 空 间 向 量 的 运 算 a+b=+= a-b=-= 当λ>0时,λa=λ=, 当λ=0时,λa=0, 当λ<0时,λa=λ= 线性 运算 的运 算律 (1)交换律:a+b=b+a; (2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c),λ(μa)=(λμ)a; (3)分配律:(λ+μ)a=λa+μa, λ(a+b)=λa+λb。(λ,μ∈R) 3.向量共线的充要条件 对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb。 4.直线的方向向量 在直线l上取非零向量a,把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量。 5.共面向量 (1)定义:平行于同一个平面的向量,叫做共面向量。 (2)充要条件:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb。 微思考 1.向量共面是不是向量在同一平面内? 提示:向量共面是指向量平行于同一平面,并不一定在同一平面内,可将向量平移到同一个平面内。向量共面中的向量所在的直线可能相交、平行或异面。 2.空间任意两个向量是否一定共面?三个向量呢? 提示:空间任意两个向量总是共面的,空间任意三个向量可能共面,也可能不共面。 合作探究攻重难 　　　　　　　　　　　　　　 类型一　空间向量的有关概念 　　【例1】　(1)下列命题中为真命题的是(A) A.向量与的长度相等 B.将空间中所有的单位向量移到同一个起点,则它们的终点构成一个圆 C.空间非零向量就是空间中的一条有向线段 D.不相等的两个空间向量的模必不相等 解析　对于选项B,其终点构成一个球面;对于选项C,空间非零向量能用空间中的一条有向线段表示,但不能说向量就是有向线段;对于选项D,向量a与向量b不相等,有可能它们的模相等,但方向不同。故选A。 (2)(多选)如图,在平行六面体ABCD⁃A1B1C1D1中,下列四对向量互为相反向量的是(AC) A.与 B.与 C.与 D.与 解析　,中的两向量,长度相等,方向相反,均互为相反向量;长度相等,方向不相反;长度相等,方向相同。故互为相反向量的是A,C。 　　空间向量与平面向量的一致性 在空间中,向量、向量的模、相等向量的概念与平面中向量的相关概念完全一致,两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等。两向量互为相反向量的充要条件是两个向量的模相等,方向相反。 　　【变式训练】　如图所示,以长方体ABCD⁃A1B1C1D1的8个顶点中的两点为起点和终点的向量中: (1)试写出与相等的所有向量; (2)试写出的相反向量; (3)若AB=AD=2,AA1=1,求向量的模。 解析　(1)与向量相等的所有向量(除它自身之外)有,。 (2)向量,,,。 (3)|=3。 类型二　空间向量的线性运算 　　【例2】　(1)(多选)如图,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,下列各式运算结果为的是(AB) A. B. C. D. 解析　A中,;B中,;C中,;D中,。故选AB。 (2)化简()-()= 0 。  解析　解法一:(转化为加法运算)()-()==0。 解法二:(转化为减法运算)()-()=()+()==0。 　　空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量:向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键,灵活运用相反向量可使向量首尾相接。 (2)巧用平移:利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时,务必注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果。 　　【变式训练】　如图所示,在平行六面体ABCD⁃A1B1C1D1中,O为AC的中点。 (1)化简:; (2)设E是棱DD1上的点,且,若,试求实数x,y,z的值。 解　(1)()=。 (2)()-,所以x=,y=-,z=-。 类型三　向量共线问题 　　【例3】　如图,四边形ABCD和ABEF都是平行四边形,且不共面,M,N分别是AC,BF的中点,则与是否共线? 解　解法一:因为M,N分别是AC,BF的中点,且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形,所以　①。又因为　②,①+②得2,所以,即共线。 解法二:因为M,N分别是AC,BF的中点,且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形,所以()-()-(+ )=()=()=,即共线。 　　向量共线的判定及应用 (1)判断或证明两向量a,b(b≠0)共线,就是寻找实数λ,使a=λb成立,为此常结合题目图形,运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达。 (2)判断或证明空间中的三点(如P,A,B)共线的方法:是否存在实数λ,使=λ。 　　【变式训练】　 如图所示,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,点E在A1D1上,且,点F在体对角线A1C上,且。求证:E,F,B三点共线。 证明　设=a,=b,=c。因为,,所以,,所以b,()=()=a+b-c,所以a-b-c=b-c+a=a-b-c。所以,又因为有公共点E,所以E,F,B三点共线。 当堂检测提素养 　　　　　　　　　　　　　　 1.=(C) A. B. C. D. 解析　。 2.(多选)已知正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,AC1的中点为O,则下列互为相反向量的是(ACD) A.与 B.与 C.与 D.与 解析　A中是一对相反向量;B中是一对相等向量;C中是一对相反向量;D中是一对相反向量。 3.在空间四边形ABCD中,连接BD,若△BCD是正三角形,且E为其中心,则的化简结果为 0 。  解析　连接DE并延长交BC于点F,连接AF(图略),则,所以=0。 4.在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点,则和的关系是 平行 。(填“平行”“相等”或“相反”)  解析　设G是AC的中点,连接EG,FG(图略),则(),所以2,从而∥()。 5.若对任意一点O和不共线的三点A,B,C,有,则x+y+z=1是四点P,A,B,C共面的充要条件吗?为什么? 解　是。因为P,A,B,C四点共面的充要条件是存在m,n使,即=m()+n()⇔=(1-m-n)。令x=1-m-n,y=m,z=n。则且x+y+z=1。 学科网（北京）股份有限公司 $$