课时达标检测28 抛物线的简单几何性质(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

高中数学 选择性必修 第一册 A版 课时达标检测(二十八)　 抛物线的简单几何性质 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 一、单项选择题 1.以x轴为对称轴,顶点为坐标原点,焦点与原点之间的距离为2的抛物线方程是 A.y2=8x B.y2=-8x C.y2=8x或y2=-8x D.x2=8y或x2=-8y 基 础 达 标 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 依题意设抛物线方程为y2=±2px(p>0)。因为焦点与原点之间的距离为2,所以=2,所以2p=8,所以抛物线方程为y2=8x或y2=-8x。故选C。 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 2.若抛物线y2=2mx的焦点与圆x2+y2-4x=0的圆心重合,则m的值为 A.-2 B.2 C.-4 D.4 由抛物线方程y2=2mx可知其焦点为,将圆的方程变形为(x-2)2+y2=4可知其圆心为(2,0),根据题意可得=2,所以m=4。故选D。 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 3.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,且|AB|=8,那么抛物线方程为 A.y2=2x B.y2=4x C.y2=8x D.y2=6x 因为直线AB过焦点F,所以|AB|=x1+x2+p=6+p=8,所以p=2,所以抛物线方程为y2=4x。 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 4.若直线y=2x+与抛物线x2=2py(p>0)相交于A,B两点,则|AB|等于 A.5p B.10p C.11p D.12p 将直线方程代入抛物线方程,可得x2-4px-p2=0。设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4p,所以y1+y2=9p。因为直线过抛物线的焦点,所以|AB|=y1+y2+p=10p。故选B。 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 5.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与曲线x2+y2-4x-5=0相切,则p的值为 A.2 B.1 C. D. 曲线的方程可化为(x-2)2+y2=9,其表示圆心为(2,0),半径为3的圆,又抛物线的准线方程为x=-,所以由抛物线的准线与圆相切得2+=3。解得 p=2。 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 6.设O为坐标原点,F为抛物线y2=4x的焦点,A是抛物线上一点,若=-4,则点A的坐标是 A.(2,±2) B.(1,±2) C.(1,2) D.(2,2) 由题意知F(1,0),设A,则,,由·=-4得y0=±2,所以点A的坐标为(1,±2)。 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 二、多项选择题 7.点M(1,1)到抛物线y=ax2的准线的距离为2,则a的值可以为 A. B.- C. D.- 抛物线y=ax2的准线方程为y=-,因为点M(1,1)到抛物线y=ax2的准线的距离为2,所以|1+|=2,解得a=或a=-。 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 8.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过F的直线l交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点(点A在第一象限),则下列结论中正确的是 A.x1x2= B. C.若直线l的倾斜角为,则=3 D.若直线l的倾斜角为,则|AB|=4p 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为x=-, 当斜率不存在时,则过焦点的直线的方程为x=, 则A,B,此时x1x2=, ,故B错误;当斜率存在时,设过焦点的直线方 程为y=k,联立直线与抛物线方程得消去y得 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 k2x2-(k2p+2p)x+=0,由根与系数的关系可得x1x2=,x1+x2=,故A正确;若直线l的倾斜角为,则k=,所以x1+x2==7p,所以|AB|=x1+x2+p=8p,故D错误;过A,B分别作准线的垂线,垂足分别为M,N,作BE⊥AM,垂足为E,设|AF|=m,|BF|=n,则由抛物线的定义得|AM|=|AF|=m,|BN|=|BF|=n,|AB|=m+n,|AE|=m-n,因为∠EAB=60°,于是,解得m=3n,则=3,故C正确。综上,正确的有AC。 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 三、填空题 9.已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px(p>0)的准线上,记抛物线C的焦点为F, 则直线AF的斜率为 。  - 因为点A(-2,3)在抛物线C的准线上,所以=2,所以p=4。所以抛物线的方程为y2=8x,则焦点F的坐标为(2,0)。又A(-2,3),根据斜率公式得kAF=。 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 10.已知P是抛物线C:y2=2px(p>0)上的一点,F是抛物线C的焦点,O为坐标原点,若|PF|=2,∠PFO=,则抛物线C的方程为 。  y2=6x 过P向x轴作垂线,设垂足为Q(图略),因为∠PFO=,|PF|=2,所以|PQ|=,|QF|=1,P,将P点的坐标代入y2=2px,得p=3(负值舍去),故抛物线C的方程为y2=6x。 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 11.F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,过点F且倾斜角为60°的直线交抛物线于A,B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点E,若|EF|=4,则p= 。  3 因为F是抛物线y2=2px的焦点,所以F,因为直线过点F且倾斜角为60°,所以直线方程为y=,联立整理得3x2-5px+=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,线段AB中点的横坐标为,纵坐 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 标为,线段AB的垂直平分线的方程为y-,因为线段AB的垂直平分线交x轴于点E,所以E,因为|EF|=4,所以=4,解得p=3。 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 四、解答题 12.若抛物线的顶点在原点,开口向上,F为焦点,M为准线与y轴的交点,A为抛物线上一点,且|AM|=,|AF|=3,求此抛物线的标准方程。 设所求抛物线的标准方程为x2=2py(p>0),设A(x0,y0),由题意知M,因为|AF|=3,所以y0+=3,因为|AM|=,所以=17,所以=8,代入方程=2py0,得8=2p,解得p=2或p=4。所以所求抛物线的标准方程为x2=4y或x2=8y。 解 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 13.已知抛物线C的顶点在原点,焦点F在x轴的正半轴上,设A,B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴),且|AF|+|BF|=8,线段AB的垂直平分线恒经过点Q(6,0),求抛物线的方程。 设抛物线的方程为y2=2px(p>0),则其准线方程为x=-。设A(x1,y1),B(x2,y2),因为|AF|+|BF|=8,所以x1+=8,即x1+x2=8-p。因为Q(6,0)在线段AB的中垂线上,所以|QA|=|QB|,即,又=2px1,=2px2,所 解 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 以(x1-x2)(x1+x2-12+2p)=0。因为AB与x轴不垂直,所以x1≠x2。故x1+x2-12+2p=8-p-12+2p=0,即p=4。从而抛物线方程为y2=8x。 解 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 14.如图所示,抛物线C的顶点为坐标原点O,焦 点F在y轴上,准线l与圆x2+y2=1相切。 (1)抛物线C的标准方程为 ;  x2=4y (1)依题意,可设抛物线C的方程为x2=2py(p>0),其准线l的方程为y=-,因为准线l与圆x2+y2=1相切,所以圆心(0,0)到准线l的距离d=0-=1,解得p=2。故抛物线C的标准方程为x2=4y。 解析 素 养 提 升 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 (2)若点A,B都在抛物线C上,且,则点A的坐标为 。   或 (2)设A(x1,y1),B(x2,y2)。则由题意得F(0,1),所以=(x2,y2-1),=(x1,y1)。因为,所以(x2,y2-1)=2(x1,y1)=(2x1,2y1),即 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 代入②得4=8y1+4,即=2y1+1,又=4y1,所以4y1=2y1+1,解得y1=,x1=±,即点A的坐标为。 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 15.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,引两条互相垂直的弦AC和BD,求四边形ABCD面积的最小值。 依题意,知直线AC的斜率存在且不为0,设为k,则直线AC的方程为y=k消去y,得4k2x2-4p(k2+2)x+p2k2=0。设A(x1,y1),C(x2,y2),由抛物线的定义,得|AC|=x1+x2+p=。同理(用-代换k),可得|BD|=2p(k2+1)。于是,四边形ABCD的面积 解 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 S=|AC|·|BD|=≥8p2,当且仅当k2=,即k=±1时等号成立。所以四边形ABCD面积的最小值是8p2。 解 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 $$