课时达标检测27 抛物线及其标准方程(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

高中数学 选择性必修 第一册 A版 课时达标检测(二十七)　 抛物线及其标准方程 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 一、单项选择题 1.在平面内,“点P到某定点的距离等于到某定直线的距离”是“点P的轨迹为抛物线”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 基 础 达 标 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 当定点在定直线上时,点P的轨迹是过该定点且与定直线垂直的直线;若点P的轨迹为抛物线,由抛物线的定义知点P到某定点的距离等于其到某定直线的距离。故选B。 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 2.过点A(3,0)且与y轴相切的圆的圆心轨迹为 A.圆 B.椭圆 C.直线 D.抛物线 由题意可知,动圆的圆心到点A的距离与到y轴的距离相等,满足抛物线的定义,故应选D。 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 3.抛物线y=ax2(a≠0)的准线方程是y=2,则a的值为 A. B.- C.8 D.-8 因为y=ax2(a≠0),化为标准方程为x2=y,其准线方程为y=2,所以2=,所以a=-。故选B。 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 4.顶点在坐标原点,对称轴为坐标轴,又过点(-2,3)的抛物线方程是 A.y2=x B.x2=y C.y2=-x或x2=-y D.y2=-x或x2=y 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 因为点(-2,3)在第二象限,所以设抛物线方程为y2=-2px(p>0)或x2=2p'y(p'>0)。又点(-2,3)在抛物线上,所以9=4p,p=或4=6p',p'=,从而所求抛物线方程为y2=-x或x2=y。故选D。 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 5.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则抛物线C的方程为 A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 因为抛物线C的方程为y2=2px(p>0),所以焦点F。设M(x,y),由抛物线的定义,知|MF|=x+=5,得x=5-。因为圆心是MF的中点,所以根据中点坐标公式,可得圆心的横坐标为。由已知,得圆的半径也为,所以该圆与y轴相切于点(0,2),故圆心的纵坐标为2,则点M的纵坐标为4,即M,代入抛物线方程,得p2-10p+16=0,解得p=2或p=8。所以抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x。故选C。 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 6. 为响应国家“节能减排,开发清洁能源”的号召,小华制作了一个太阳灶,如图所示。集光板由抛物面(抛物线绕对称轴旋转得到)形的反光镜构成,已知镜口圆的直径为2 m,镜深0.25 m,为达到最佳吸收太阳光的效果,容器灶圈应距离集光板顶点 A.0.5 m B.1 m C.1.5 m D.2 m 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 若使吸收太阳光的效果最好,容器灶圈应在 抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处,如图, 画出抛物面的轴截面,并建立坐标系,设抛物 线方程为x2=2py(p>0),集光板端点A(1,0.25), 代入抛物线方程可得2×0.25p=1,p=2,所以抛 物线方程为x2=4y,故焦点坐标是F(0,1)。所 以容器灶圈应距离集光板顶点1 m。 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 二、多项选择题 7.经过点P(4,-2)的抛物线的标准方程可以为 A.y2=x B.x2=8y C.x2=-8y D.y2=-8x 若抛物线的焦点在x轴上,设抛物线的方程为y2=2px(p>0),又因为抛物线经过点P(4,-2),所以(-2)2=2p×4,解得p=,所以抛物线的方程为y2=x。若抛物线的焦点在y轴上,设抛物线的方程为x2=-2py(p>0),又因为抛物线经过点P(4,-2),所以42=-2p×(-2),解得p=4,所以抛物线的方程为x2=-8y。 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 8.对标准形式的抛物线给出下列条件,其中满足抛物线方程为y2=10x的是 A.焦点在y轴上 B.焦点在x轴上 C.抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6 D.由原点向过焦点的某直线作垂线,垂足坐标为(2,1) 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 抛物线y2=10x的焦点在x轴上,B满足,A不满足;设M(1,y0)是y2=10x上一点,则|MF|=1+≠6,所以C不满足;由于抛物线y2=10x的焦点为,过该焦点的直线方程为y=k,若由原点向该直线作垂 线,垂足为(2,1)时,则k=-2,此时满足条件的直线存在,所以D满足。故选BD。 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 三、填空题 9.抛物线方程为7x+4y2=0,则焦点坐标为 。    抛物线方程化为y2=-x,所以抛物线开口向左,2p=,,故焦点坐标为。 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 10.以椭圆+y2=1的右焦点为焦点的抛物线的标准方程为 。  y2=4x 由+y2=1,得右焦点为(,0),所以抛物线的标准方程为y2=4x。 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 11.设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,若=0,则||= 。  6 设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),又F(1,0)。由=0知(x1-1)+(x2-1)+(x3-1)=0,即x1+x2+x3=3,|p=6。 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 四、解答题 12.已知抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线=1(a>0,b>0)的一个焦点,且这条准线与双曲线的两个焦点的连线互相垂直,又抛物线与双曲线交于点,求抛物线和双曲线的方程。 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 设抛物线的方程为y2=2px(p>0),根据点在抛物线上可得()2=2p·,解得p=2。故所求抛物线方程为y2=4x,抛物线的准线方程为x=-1。因为抛物线的准线过双曲线的一个焦点,所以c=1,即a2+b2=1。故双曲线方程为=1。因为点在双曲线上,所以=1,解得a2=或a2=9(舍去)。同时b2=,故所求双曲线的方程为4x2-y2=1。 解 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 13. 如图,已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛 物线上横坐标为4,且位于x轴上方的点,点A到抛物 线准线的距离等于5,过点A作AB垂直于y轴,垂足为 点B,OB的中点为M。 (1)求抛物线的方程; (1)抛物线y2=2px的准线方程为x=-,于是4+=5,p=2,所以抛物线的方程为y2=4x。 解 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 (2)过点M作MN⊥FA,垂足为N,求点N的坐标。 (2)由题意得A(4,4),B(0,4),M(0,2)。又F(1,0),所以kAF=,则直线FA的方程为y=(x-1)。因为MN⊥FA,所以kMN=-,则直线MN的方程为y=-x+2。解方程组所以N。 解 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 14.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线l与x轴的交点为M,点P在抛物线上,且|PM|=|PF|,则△PMF的面积为 A.4 B.8 C.16 D.32 素 养 提 升 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 如图所示,易得F(2,0),过点P作PN⊥l,垂足为 N。因为|PM|=|PF|,|PF|=|PN|,所以|PM|= |PN|。所以|MN|=|PN|。设P,则|t|= +2,解得t=±4,所以△PMF的面积为 ·|t|·|MF|=×4×4=8。 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 15. 如图所示,A地在B地东偏北45°方向,相距2 km处,B地与东西走向的高铁线(近似看成直线)l相距4 km。已知曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离,现要在公路旁建造一个变电房M(变电房与公路之间的距离忽略不计),分别向A地、B地送电。 (1)试建立适当的直角坐标系,求环形公路PQ所在曲线的轨迹方程; 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 (1)如图,以经过点B且垂直于l(垂足为K)的直线为y轴,线段BK的中点O为原点,建立直角坐标系Oxy,则B(0,2),A(2,4)。因为曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离,所以PQ所在的曲线是以B(0,2)为焦点,l:y=-2为准线的抛物线。设抛物线方程为x2=2py(p>0),则p=4,故曲线形公路PQ所在曲线的方程为x2=8y。 解 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 (2)问变电房M应建在相对A地的什么位置(方位和距离),才能使得架设电路所用电线长度最短?并求出最短长度。 (2) 要使架设电路所用电线长度最短,即 |MA|+|MB|值最小。如图所示,过M作 MH⊥l,垂足为H,依题意得|MB|=|MH|, 所以|MA|+|MB|=|MA|+|MH|,故当A,M,H 三点共线时,|MA|+|MH|取得最小值,即 解 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 |MA|+|MB|取得最小值时,M。变电房M建在A地正南方向且与A地相距 km处时,所用电线长度最短,最短长度为6 km。 解 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 $$