第45讲 抛物线及其性质（精讲）-【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用） 第45讲 抛物线及其性质（精讲） 题型目录一览 ①抛物线的定义及焦半径公式的应用 ②抛物线的标准方程 ③抛物线的性质 ④与抛物线有关的距离和最值问题 一、知识点梳理 一、抛物线的定义 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 二、抛物线的方程、图形及性质 图形 标准 方程 顶点 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 三、抛物线的其他性质 1.点与抛物线的关系 （1）在抛物线内（含焦点）． （2）在抛物线上． （3）在抛物线外． 2.焦半径：抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，． 3.的几何意义：为焦点到准线的距离 4.焦点弦：①若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论： （1）． （2）． ②焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）． 5.抛物线的弦 若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则 （1）弦长公式： （2） （3）直线AB的方程为 （4）线段AB的垂直平分线方程为 【常用结论】 1.切线方程和切点弦方程 抛物线的切线方程为，为切点 切点弦方程为，点在抛物线外 与中点弦平行的直线为，此直线与抛物线相离，点（含焦点）是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果． 2.抛物线的通径 过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径． 对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为． 3.弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系： 4.焦点弦的常考性质 已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足． （1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切； （2）， （3）； （4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上 二、题型分类精讲 题型一 抛物线的定义及焦半径公式的应用 策略方法 抛物线定义的应用 (1)利用抛物线的定义解决问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”． (2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋． 【典例1】（单选题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为3，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【典例2】（单选题）O为坐标原点，F为抛物线的焦点，M为C上一点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D．8 【题型训练】 一、单选题 1．（2023·海南省直辖县级单位·嘉积中学校考模拟预测）已知抛物线上的点到其焦点的距离为4，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2023·江西·统考模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则点到轴的距离为（    ） A．4 B． C． D．3 3．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为F，是C上一点，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2023秋·福建福州·高三福建省福州第八中学校考阶段练习）已知的顶点在抛物线上，若抛物线的焦点恰好是的重心，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（2023·吉林长春·统考模拟预测）已知抛物线C：的顶点为O，经过点，且F为抛物线C的焦点，若，则p＝（    ） A． B．1 C． D．2 6．（2023·陕西西安·西安市第三十八中学校考模拟预测）若抛物线（）上一点到焦点的距离是，则（    ） A． B． C． D． 7．（2023秋·上海嘉定·高三上海市嘉定区第一中学校考阶段练习）已知点是抛物线的焦点，点，且点为抛物线上任意一点，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）设为抛物线的焦点，点在上，点，若，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 9．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）涪江三桥又名绵阳富乐大桥，跨越了涪江和芙蓉溪，是继东方红大桥、涪江二桥之后在涪江上修建的第三座大桥，于2004年国庆全线通车．大桥的拱顶可近似地看作抛物线的一段，若有一只鸽子站在拱顶的某个位置，它到抛物线焦点的距离为10米，则鸽子到拱顶的最高点的距离为（    ） A．6 B． C． D． 10．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，准线为l，与x轴平行的直线与l和抛物线C分别交于A，B两点，且，则（    ） A．2 B． C． D．4 11．（20