课时达标检测25 双曲线及其标准方程(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

高中数学 选择性必修 第一册 A版 课时达标检测(二十五)　 双曲线及其标准方程 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 一、单项选择题 1.双曲线C的两焦点分别为(-6,0),(6,0),且经过点(-5,2),则双曲线的标准方程为 A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 基 础 达 标 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 2a=|,所以a=2,又c=6,所以b2=c2-a2=36-20=16。所以双曲线的标准方程为=1。 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 2.若双曲线方程为x2-2y2=1,则它的右焦点坐标为 A. B. C. D.(,0) 将双曲线方程化为标准方程为x2-=1,所以a2=1,b2=,所以c2=a2+b2=,所以c=,故右焦点坐标为。 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 3.已知方程=1表示双曲线,则m的取值范围是 A.(-1,+∞) B.(2,+∞) C.(-∞,-1)∪(2,+∞) D.(-1,2) 因为方程=1表示双曲线,所以(m-2)(m+1)<0,解得-1<m<2,所以m的取值范围是(-1,2)。 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 4.动圆与圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹是 A.双曲线的一支 B.圆 C.椭圆 D.双曲线 设动圆的圆心为M,半径为r,圆x2+y2=1与x2+y2-8x+12=0的圆心分别为O1(0,0)和O2(4,0),半径分别为1和2,由两圆外切的充要条件,得|MO1|=r+1,|MO2|=r+2。所以|MO2|-|MO1|=1,又|O1O2|=4,所以动点M的轨迹是双曲线的一支(靠近O1)。 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 5.已知在双曲线=1左支上有一点M到右焦点F2的距离为18,N是线段MF2的中点,O为坐标原点,则|ON|等于 A.4 B.2 C.1 D. 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 如图,设双曲线的左焦点为F1,连接MF1。因为O,N分别是线段F1F2,MF2的中点,所以|ON|=|MF1|。又|MF2|-|MF1|=2a=10,所以|MF1|=|MF2|-10=18-10=8,所以|ON|=4。故选A。 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 6.已知椭圆=1和双曲线-y2=1的公共焦点为F1,F2,P是两曲线的一个交点,那么cos∠F1PF2的值是 A. B. C. D. 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 不妨设点P在第一象限,F1,F2分别为左、右焦点,因为P在椭圆上,所以|PF1|+|PF2|=2。又P在双曲线上,所以|PF1|-|PF2|=2,两式联立,得|PF1|=,|PF2|=。又|F1F2|=4,所以根据余弦定理可以求得cos∠F1PF2=。故选A。 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 二、多项选择题 7.已知方程=1表示的曲线为C。给出以下判断,其中正确的是A.当1<t<4时,曲线C表示椭圆 B.当t>4或t<1时,曲线C表示双曲线 C.若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆,则1<t< D.若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线,则t>4 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 A错误,当t=时,曲线C表示圆;B正确,若C为双曲线,则(4-t)(t-1)<0,所以t<1或t>4;C正确,若曲线C为焦点在x轴上的椭圆,则4-t>t-1>0,所以1<t<;D正确,若曲线C为焦点在y轴上的双曲线,则所以t>4。故选BCD。 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 8.已知点P在双曲线C:=1上,F1,F2是双曲线C的左、右焦点,若△PF1F2的面积为20,则下列说法正确的有 A.点P到x轴的距离为 B.|PF1|+|PF2|= C.△PF1F2为钝角三角形 D.∠F1PF2= 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 因为双曲线C:=1,所以c==5。又因为·2c|yP|=·10·|yP|=20,所以|yP|=4,所以选项A错误;将|yP|=4代入C:=1得=1,即|xP|=。由对称性,不妨取P的坐标为,可知|PF2|=。由双曲线定义可知|PF1|=|PF2|+2a=,所以|PF1|+|PF2|=,所以选项B正 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 确;由对称性,对于点P,在△PF1F2中,|PF1|=。且cos∠PF2F1=<0,则∠PF2F1为钝角,所以△PF1F2为钝角三角形,选项C正确;由余弦定理得cos∠F1PF2=,∠F1PF2≠,所以选项D错误。 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 三、填空题 9.若双曲线=1的焦距为10,则m= 。  9 由题意知,a=4,b=,c=5,又由a2+b2=c2得,16+m=25,所以m=9。 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 10.设F1,F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点。若点P在双曲线上,且=0,则||的值为 。  2 由题意,知双曲线两个焦点的坐标分别为F1(-,0),F2(,0)。设点P(x,y),则=(--x,-y),=(-x,-y)。因为·=0,所以x2+y2-10=0,即x2+y2=10。所以|。 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 11.已知动点M与两定点A(-1,0),B(1,0)构成△MAB,且直线MA,MB的斜率 之积为4。设动点M的轨迹为C,则轨迹C的方程为 。  x2-=1(y≠0) 设点M的坐标为(x,y),当x=-1时,直线MA的斜率不存在;当x=1时,直线MB的斜率不存在。于是x≠1且x≠-1。此时,直线MA的斜率为,直线MB的斜率为·=4,化简得x2-=1,因为x≠1且x≠-1,即y≠0,所以轨迹C的方程为x2-=1(y≠0)。 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 四、解答题 12.求适合下列条件的双曲线的标准方程。 (1)a=2,经过点A(2,-5),焦点在y轴上; (1)因为双曲线的焦点在y轴上,所以可设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0)。由题设知,a=2,且点A(2,-5)在双曲线上,所以=1。 解 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 (2)与椭圆=1有共同的焦点,它们的一个交点的纵坐标为4。 (2)易知椭圆=1的两个焦点为F1(0,-3),F2(0,3),将交点的纵坐标代入椭圆方程可得,双曲线与椭圆的一个交点为(,4)或(-,4)。设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),则 =1。 解 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 13.如图所示,已知双曲线=1(a>0,b>0)中,c=2a,F1,F2为左、右焦点, P为双曲线上的点,∠F1PF2=60°,,求双曲线的标准方程。 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 由题意得||PF1|-|PF2||=2a,在△F1PF2中,由余弦定理得cos 60°=,所以|PF1|·|PF2|=4(c2-a2)=4b2。所以|PF1||PF2|·sin 60°=2b2·b2。所以,b2=12。由c=2a,c2=a2+b2,得a2=4。所以双曲线的标准方程为=1。 解 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 14.已知P为双曲线=1右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,M为△PF1F2的内心。若+8,则△MF1F2的面积为 A.2 B.10 C.8 D.6 素 养 提 升 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 设△PF1F2的内切圆的半径为R,由双曲线的标准方程可知a=4,b=3, c=5。因为+8,所以(|PF1|-|PF2|)R=8,即aR=8,所以R=2,所以·2c·R=10。 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 15. 已知△OFQ的面积为2,且=m,其中O为坐标原点。设以O为中心,F为其中一个焦点的双曲线经过点Q,如图所示, |OF|=c,m=c2,当||取得最小值时,求此双曲线的标准方程。 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),Q(x1,y1),则=(x1-c,y1),所以S△OFQ=|·|y1|=2,则y1=±·=m,即(c,0)·(x1-c,y1)=c2,解得x1=c,所以|,当且仅当c=4时,取等号,||最小,这时Q的坐标为(,)或(,-)。因为 解 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 =1。 解 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 $$