课时达标检测24 直线与椭圆的位置关系(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

高中数学 选择性必修 第一册 A版 课时达标检测(二十四)　 直线与椭圆的位置关系 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 一、单项选择题 1.已知直线l:x+y-3=0,椭圆+y2=1,则直线与椭圆的位置关系是 A.相交 B.相切 C.相离 D.相切或相交 基 础 达 标 把y=-x+3代入椭圆方程,得5x2-24x+32=0,其中Δ=(-24)2-4×5×32<0,故直线与椭圆相离。故选C。 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 2.过椭圆x2+2y2=4的左焦点作倾斜角为的弦AB,则弦AB的长为 A. B. C. D. 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 易求直线AB的方程为y=(x+)。由消去y并整理,得7x2+12x+8=0。设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=。由弦长公式,得|AB|=·|x1-x2|=。 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 3.直线y=x-1被椭圆2x2+y2=4所截得的弦的中点坐标是 A. B. C. D. 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 由消y得2x2+(x-1)2=4,即3x2-2x-3=0,所以弦的中点的横坐标是x=,代入直线方程y=x-1中,得y=-,所以弦的中点坐标是。故选A。 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 4.已知椭圆C:=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2且斜率为1的直线l交椭圆C于A,B两点,则△F1AB的面积为 A. B. C. D. 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 设直线AB的方程为y=x-1,联立椭圆方程=1,整理可得7x2-8x-8=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=-。故弦长|AB|=·。又点F1(-1,0),直线AB:y=x-1。则点F1到直AB的距离d=,故。 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 5.若AB是过椭圆=1(a>b>0)中心的一条弦,M是椭圆上任意一点,且AM,BM与两坐标轴均不平行,kAM,kBM分别表示直线AM,BM的斜率,则是kAM·kBM= A.- B.- C.- D.- 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 设A(x1,y1),M(x0,y0),则B(-x1,-y1),kAM·kBM=·。 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 6.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则椭圆C的离心率为 A. B. C. D. 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 以线段A1A2为直径的圆的方程为x2+y2=a2,因为圆与直线bx-ay+2ab=0相切,所以=a,即2b=,所以a2=3b2。因为a2=b2+c2,所以c2=2b2,所以,所以e=。故选A。 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 二、多项选择题 7.已知直线y=3x+2被椭圆=1(a>b>0)截得的弦长为8,则下列直线中被椭圆截得的弦长也为8的有 A.y=3x-2 B.y=3x+1 C.y=-3x-2 D.y=-3x+2 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 椭圆关于原点和坐标轴对称,从而与直线y=3x+2关于原点和坐标轴对称的直线被椭圆截得的弦长也为8,直线y=3x+2关于原点对称的直线为y=3x-2,关于x轴对称的直线为y=-3x-2,关于y轴对称的直线为y=-3x+2,故A、C、D满足条件。 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 8.设椭圆的方程为=1,斜率为k的直线不经过原点O,而且与椭圆相交于A,B两点,M为线段AB的中点。下列结论正确的是 A.直线AB与OM垂直 B.若点M坐标为(1,1),则直线方程为2x+y-3=0 C.若直线方程为y=x+1,则点M坐标为 D.若直线方程为y=x+2,则|AB|= 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 因为在椭圆中,根据椭圆的中点弦的性质kAB·kOM=-=-2≠-1,所以A不正确;根据kAB·kOM=-2,所以kAB=-2,所以直线方程为y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0,所以B正确;若直线方程为y=x+1,点M,则kAB·kOM=1×4=4≠-2,所以C不正确;若直线方程为y=x+2,与椭圆方程=1联立,得到2x2+(x+2)2-4=0,整理得3x2+4x=0,解得x1=0,x2=-,所以|AB|=,所以D正确。 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 三、填空题 9.已知斜率为2的直线l被椭圆=1截得的弦长为,则直线l的方程为 。  y=2x± 设直线l的方程为y=2x+m,与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,由消去y并整理得14x2+12mx+3(m2-2)=0,所以x1+x2=- 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 m,x1x2=(m2-2)。由弦长公式得|AB|=,解得m=±,所以直线l的方程为y=2x±。 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 10.若直线mx+ny=4与圆x2+y2=4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆=1的交点个数为 。  2 因为直线mx+ny=4与圆x2+y2=4没有交点,所以>2,所以m2+n2<4,即点P(m,n)在以原点为圆心,以2为半径的圆内(不包含边界),所以点P(m,n)在椭圆=1的内部,故过点P(m,n)的直线与椭圆=1有两个交点。 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 11.已知F1为椭圆C:+y2=1的左焦点,直线l:y=x-1与椭圆C交于A,B两点, 那么|F1A|+|F1B|的值为 。    设A(x1,y1),B(x2,y2),由消y得3x2-4x=0,可知A(0,-1),B,又F1(-1,0),所以|F1A|+|F1B|=。 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 四、解答题 12.已知椭圆=1(a>b>0)截直线y=x+1所得弦的长度为,且离心率为,求这个椭圆的方程。 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 因为e=,所以 ,所以a2=4b2。代入椭圆方程,得4x2+y2-4b2=0。将y=x+1代入,得5x2+2x+1-4b2=0(*)。设直线与椭圆的两个交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2为方程(*)的两个相异实根,所以Δ=4-20(1-4b2)>0,即b2>。x1+x2=-,x1x2=,解得b2=,所以a2=1,所以所求椭圆的方程为4x2+y2=1。 解 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 13.已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,P是C上一点,F1,F2是C的两个焦点,且|PF1|+|PF2|=4。 (1)求椭圆C的方程; (1)因为|PF1|+|PF2|=4,所以2a=4,即a=2。因为e=,所以c=,所以b2=a2-c2=2,即椭圆C的方程为=1。 解 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 (2)设直线y=x+n交椭圆C于A,B两点,O为坐标原点,求△OAB面积的最大值。 (2)设点A的坐标为(x1,y1),点B的坐标为(x2,y2),将y=x+n代入椭圆C的方程,整理得5x2+4nx+2n2-4=0,Δ=32n2-20(2n2-4)>0,所以n2<10,所以x1+x2=-,x1x2=,所以|AB|=··,点O到直线AB的距离d=,所以S△OAB= 解 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 ×(10-n2+n2)=,当且仅当10-n2=n2,即n2=5时取等号,所以△OAB面积的最大值为。 解 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 14.椭圆C:+y2=1,过点A(0,2)作直线l与椭圆C交于M,N两点,O为坐标原点,若△AOM与△AON的面积之比为5∶3,则直线l的斜率为 A.1 B. C.±1 D.±2 由题意,设M(x1,y1),N(x2,y2),由题意知,直线l的斜率存在且不为0,设直线 解析 素 养 提 升 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 l:y=kx+2,由消去y,整理得(1+4k2)x2+16kx+12=0,由Δ=256k2-48(1+4k2)>0,解得k2>根据椭圆的对称性可知,M,N在y轴的同一侧,即x1,x2同号;又△AOM与△AON的面 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 积之比为5∶3,即,则x1=x2,代入x1+x2=-,可得,即x2=-,所以x1=-,又x1x2=,所以·,解得k2=1,即k=±1。 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 15.椭圆的两个焦点坐标分别为F1(-,0)和F2(,0),且椭圆过点。 (1)求椭圆方程; (1)由题意设椭圆方程为=1(a>b>0),将c=,a2=b2+c2,代入椭圆方程得=1,又因为椭圆过点,得=1,解得b2=1,所以a2=4。所以椭圆的方程为+y2=1。 解 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 (2)过点作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M,N两点,A为椭圆的左顶点,试判断∠MAN的大小是否为定值,并说明理由。 设直线MN的方程为x=ky-,联立直线MN和椭圆的方程得(k2+4)y2-=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),A(-2,0),y1y2=- 解 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 ,y1+y2=,则·=(x1+2,y1)·(x2+2,y2)=(k2+1)y1y2+k(y1+y2)+=0,所以∠MAN=。 解 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 $$