3.1.1 椭圆及其标准方程(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

高中数学 选择性必修 第一册 A版 赢在微点 轻松课堂 数学 第三章 圆锥曲线的方程 　 ▶导语:本章将在“直线和圆的方程”的基础上,通过行星运行轨 道、抛物线形运动轨迹等,使我们了解圆锥曲线的背景与应用;帮助学生在平面直角坐标系中,认识椭圆、双曲线、抛物线的几何特征,建立它们的标准方程;运用代数方法进一步认识圆锥曲线的性质以及它们的位置关系;运用平面解析几何方法解决简单的数学问题和实际问题,感悟平面解析几何中蕴含的数学思想;提升学生的直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理和数学抽象等数学学科核心素养。 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 要点精准概括 3个重要概念:椭圆,双曲线,抛物线 3类标准方程:椭圆的标准方程,双曲线的标准方程,抛物线的标准方程 5种重要性质:范围,对称性,顶点,渐近线,离心率 2种重要方法:坐标法,待定系数法 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 3.1　椭圆 3.1.1　椭圆及其标准方程 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　2.1　2.1.1　倾斜角与斜率 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 取一条定长的细绳,把它的两端都固定在图板的同一点,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆。如果把细绳的两端拉开一段距离,分别固定在图板的两点F1,F2(如图),套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,就画出一个椭圆的图形。 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 课程标准 1.了解圆锥曲线的实际背景,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。 2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程,掌握椭圆的定义、标准方程。 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　2.1　2.1.1　倾斜角与斜率 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 自主预习·明新知 稳健启程，新知初步构建 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　2.1　2.1.1　倾斜角与斜率 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 1.椭圆的定义 平面内与两个定点F1,F2的 的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的 , 叫做椭圆的焦距。 距离的和等于常数(大于|F1F2|) 焦点 两焦点间的距离 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　2.1　2.1.1　倾斜角与斜率 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 2.椭圆的标准方程 a2-b2   焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 图形 焦点坐标 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) a,b,c的关系 c2= 。 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　2.1　2.1.1　倾斜角与斜率 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 微提醒 1.椭圆的标准方程是指当椭圆在标准位置时的方程,所谓标准位置,就是指椭圆的中心在坐标原点,椭圆的对称轴为坐标轴。 2.两种椭圆=1,=1(a>b>0)的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有a>b>0,a2=b2+c2;不同点是:两个椭圆的位置不同,它们的焦点坐标也不同。 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　2.1　2.1.1　倾斜角与斜率 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 微思考 1.定义中,将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数,其他条件不变,点的轨迹还是椭圆吗? 提示:不是,是线段或不存在。 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　2.1　2.1.1　倾斜角与斜率 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 微思考 2.从椭圆的标准方程如何判断椭圆焦点的位置? 提示:判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些,即“谁大在谁上”。 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　2.1　2.1.1　倾斜角与斜率 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 合作探究·攻重难 细研深究，萃取知识精华 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　2.1　2.1.1　倾斜角与斜率 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 类型一　椭圆的定义及应用 　命题方向1:定义的直接应用 　　 (1)下列说法正确的是 A.已知两点F1(-4,0),F2(4,0),到F1,F2的距离之和大于8的点的轨迹是椭圆 B.已知两点F1(-4,0),F2(4,0),到F1,F2的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C.到点F1(-4,0),F2(4,0)的距离之和等于从点(5,3)到F1,F2的距离之和的点的轨迹是椭圆 D.到点F1(-4,0),F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆 例1 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　2.1　2.1.1　倾斜角与斜率 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 选项A中虽满足到两定点的距离之和大于8,但未指明到两定点距离之和是常数,故轨迹不是椭圆;选项B中这样的点的轨迹不存在;选项C中,点(5,3)到F1,F2的距离之和为4>|F1F2|,适合该条件的点的轨迹是椭圆;选项D中,点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线。 解析 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　2.1　2.1.1　倾斜角与斜率 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 (2)椭圆=1上一点P到一个焦点的距离为5,则P到另一个焦点的距离为 。  5 由椭圆方程=1知a=5,设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,令|PF1|=5,由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=10,所以|PF2|=5。 解析 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　2.1　2.1.1　倾斜角与斜率 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 　　椭圆定义的双向运用 判断 符合定义中到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离)这一条件的点的轨迹为椭圆 求值 椭圆上的点一定满足定义中的条件即到两定点的距离之和为2a 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　2.1　2.1.1　倾斜角与斜率 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 变式训练 　(1)椭圆=1上的一点M到左焦点F1的距离为2,N是MF1的中点,则|ON|等于 。  设椭圆的右焦点F2,则由|MF1|+|MF2|=8,知|MF2|=8-2=6。又因为点O为F1F2的中点,点N为MF1的中点,所以|ON|=|MF2|=3。 解析 3 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　2.1　2.1.1　倾斜角与斜率 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 (2)已知椭圆=1(a>b>0),F1,F2是它的焦点。过F1的直线AB与椭圆交于A,B两点,求△ABF2的周长。 如图,因为|AF1|+|AF2|=2a,|BF1|+|BF2|=2a,所以△ABF2的周长=|AB|+|BF2|+|AF2|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4a。 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　2.1　2.1.1　倾斜角与斜率 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 　　命题方向2:焦点三角形 已知点P是椭圆=1上的一点,F1,F2分别是椭圆的两个焦点,且∠F1PF2=30°,求△F1PF2的面积。 例2 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　2.1　2.1.1　倾斜角与斜率 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 由椭圆方程=1,可得a=,b=2,c==1。在△PF1F2中,由余弦定理,得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|-2|PF1|·|PF2|·cos 30°,所以4=(2)2-(2+)|PF1|·|PF2|,所以|PF1|·|PF2|=16(2-)。所以|PF1|·|PF2|·sin 30°=8-4。 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　2.1　2.1.1　倾斜角与斜率 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 　　在椭圆中,由椭圆上的点与两个焦点组成的焦点三角形引出的问题有很多。这就需要我们在解题时,要充分理解题意,分析条件,利用椭圆定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式之间的联系建立三角形中的边角之间的关系。在解题中,经常把|PF1|·|PF2|看作一个整体来处理。 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　2.1　2.1.1　倾斜角与斜率 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 变式训练 　 已知两定点F1(-1,0),F2(1,0),动点P满足|PF1|+|PF2|=2|F1F2|。 (1)求点P的轨迹方程; (1)依题意知|F1F2|=2,|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4>2=|F1F2|,所以点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,且2a=4,2c=2,所以a=2,c=1,b=,故所求点P的轨迹方程为=1。 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　2.1　2.1.1　倾斜角与斜率 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 (2)若∠F1PF2=120°,求△PF1F2的面积。 (2)设m=|PF1|,n=|PF2|,则m+n=2a=4。在△PF1F2中,由余弦定理,得|F1F2|2=m2+n2-2mncos∠F1PF2,所以4=(m+n)2-2mn(1+cos 120°),解得mn=12。所以。 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　2.1　2.1.1　倾斜角与斜率 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 类型二　椭圆的标准方程 　求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0); 例3 (1)因为椭圆的焦点在y轴上,所以设它的标准方程为=1(a>b>0)。又椭圆经过点(0,2)和(1,0),所以 +x2=1。 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　2.1　2.1.1　倾斜角与斜率 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 (2)两个焦点的坐标分别是(0,-2),(0,2),并且椭圆经过点; (2)因为椭圆的焦点在y轴上,所以设它的标准方程为=1(a>b>0),由椭圆的定义知,2a=,即a=,又c=2,所以b2=a2-c2=6,所以所求椭圆的标准方程为=1。 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　2.1　2.1.1　倾斜角与斜率 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 (3)经过点P,Q。 (3)解法一:①当椭圆焦点在x轴上时,可设椭圆的标准方程为=1(a>b>0)。依题意,有由a>b>0,知不 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　2.1　2.1.1　倾斜角与斜率 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 符合题意,故舍去;②当椭圆焦点在y轴上时,可设椭圆的标准方程为=1(a>b>0)。依题意,有 =1。 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　2.1　2.1.1　倾斜角与斜率 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 解法二:设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)。则所以所求椭圆的方程为5x2+4y2=1,故椭圆的标准方程为=1。 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　2.1　2.1.1　倾斜角与斜率 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 　　待定系数法求椭圆标准方程的步骤 (1)作判断:依据条件判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上,还是在两个坐标轴上都有可能。 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　2.1　2.1.1　倾斜角与斜率 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 (2)设方程。 ①依据上述判断设方程为=1(a>b>0)或=1(a>b>0); ②在不能确定焦点位置的情况下也可设mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n)。 (3)找关系:依据已知条件,建立关于a,b,c或m,n的方程组。 (4)得方程:解方程组,将a,b,c或m,n代入所设方程即为所求。 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　2.1　2.1.1　倾斜角与斜率 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 变式训练 　(1)(多选)已知方程=1表示焦点在x轴上的椭圆,则m的取值可以是 A.3 B.- C.1 D.- 由题知m2>m+2>0,得-2<m<-1或m>2,故选AD。 解析 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　2.1　2.1.1　倾斜角与斜率 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 (2)求经过两点(2,-),的椭圆的标准方程。 (待定系数法)设椭圆的方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B)。将两点(2,-),代入,得 =1。 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　2.1　2.1.1　倾斜角与斜率 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 类型三　与椭圆有关的轨迹问题 　已知B,C是两个定点,|BC|=8,且△ABC的周长等于18。求这个三角形的顶点A的轨迹方程。 例4 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　2.1　2.1.1　倾斜角与斜率 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 以过B,C两点的直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系xOy,如图所示。由|BC|=8可知点B(-4,0),C(4,0)。由|AB|+|AC|+|BC|=18得|AB|+|AC|=10>8=|BC|,因此,点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆,这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a=10,但点A不在x轴上。由a=5,c=4,得b2=a2-c2=25-16=9。 所以点A的轨迹方程为=1(y≠0)。 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　2.1　2.1.1　倾斜角与斜率 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 　　利用椭圆的定义求轨迹方程,是先由题意找到动点所满足的条件,看其是否符合椭圆的定义,再确定椭圆的方程。 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　2.1　2.1.1　倾斜角与斜率 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 变式训练 　已知圆A:(x+3)2+y2=100,圆A内一定点B(3,0),圆P过点B且与圆A内切,求圆心P的轨迹方程。 如图,设圆P的半径为r,又圆P过点B,所以|PB|=r。又因为圆P与圆A内切,圆A的半径为10,所以两圆的圆心距|PA|=10-r,即|PA|+|PB|=10(大于|AB|=6)。所以圆心P的轨迹是以A,B为 焦点的椭圆。所以2a=10,2c=|AB|=6。所以 a=5,c=3,所以b2=a2-c2=25-9=16。所以圆心 P的轨迹方程为=1。 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　2.1　2.1.1　倾斜角与斜率 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 当堂检测·提素养 即时训练，巩固当堂所学 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　2.1　2.1.1　倾斜角与斜率 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 1.已知F1,F2为两定点,|F1F2|=6,动点M满足|MF1|+|MF2|=16,则动点M的轨迹是 A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段 因为|MF1|+|MF2|=16>|F1F2|,所以动点M的轨迹是椭圆。故选A。 解析 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　2.1　2.1.1　倾斜角与斜率 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 2.椭圆的两个焦点分别为F1(-8,0),F2(8,0),且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20,则此椭圆的标准方程为 A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 由c=8,a=10,所以b=6,故标准方程为=1。故选C。 解析 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　2.1　2.1.1　倾斜角与斜率 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 3.椭圆=1的焦点坐标是 。  因为a2=5,b2=4,所以c2=a2-b2=1。故椭圆=1的焦点坐标是(-1,0),(1,0)。 解析 (-1,0),(1,0) 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　2.1　2.1.1　倾斜角与斜率 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 4.若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是 。  因为方程x2+ky2=2,即=1表示焦点在y轴上的椭圆,所以>2,故0<k<1。 解析 (0,1) 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　2.1　2.1.1　倾斜角与斜率 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 5.求以椭圆9x2+5y2=45的焦点为焦点,且经过点M(2,)的椭圆的标准方程。 由9x2+5y2=45,得=1,其焦点F1(0,-2),F2(0,2),设所求椭圆的标准方程为=1(a>b>0)。因为点M(2,)在椭圆上,所以=1　①。又a2-b2=4　②,解①②得a2=12,b2=8。故所求椭圆的标准方程为=1。 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　2.1　2.1.1　倾斜角与斜率 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 $$