2.5.1 直线与圆的位置关系(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

高中数学 选择性必修 第一册 A版 赢在微点 轻松课堂 数学 第二章 直线和圆的方程 2.5　直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.1　直线与圆的位置关系 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.5 2.5.1　直线与圆的位置关系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 从海上日出整个情景中,你能得到直线与圆的几种位置关系? 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 课程标准 1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系。 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题。 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.5 2.5.1　直线与圆的位置关系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 自主预习·明新知 稳健启程，新知初步构建 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.5 2.5.1　直线与圆的位置关系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 1.直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 个 个 个 判断方法 几何法: 设圆心到直线的距离为d= . . . 代数法: 由 消元得到一元二次方程,可得方程的根的判别式Δ . . . 2 1 0 d<r d=r d>r Δ>0 Δ=0 Δ<0 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.5 2.5.1　直线与圆的位置关系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 2.直线与圆的方程的应用 用坐标法解决平面几何问题的“三步骤” 第一步:建立 平面直角坐标系,用 表示问题中的几何元素,如点、直线、圆,把平面几何问题转化为 ; 第二步:通过代数运算,解决 ; 第三步:把 “翻译”成几何结论。 适当的 坐标和方程 代数问题 代数问题 代数运算的结果 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.5 2.5.1　直线与圆的位置关系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 微提醒 对直线与圆位置关系的判断的三点说明 (1)判断直线与圆的位置关系的方法:代数法和几何法。 (2)几何法比代数法要简便,一般选择几何法。 (3)当已知位置关系,求参数的值时,选择代数法就是转化成方程的根的问题;选择几何法就是解不等式的问题。 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.5 2.5.1　直线与圆的位置关系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 微思考 利用几何法、代数法都可以判断直线与圆的位置关系,哪种方法简单? 提示:一般几何法较简单。 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.5 2.5.1　直线与圆的位置关系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 微思考 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 提示:①是实数an的n次方根,是一个恒有意义的式子,不受n的奇偶限制,但这个式子的值受n的奇偶限制。其算法是对a先乘方,再开方 (都是n次),结果不一定等于a,当n为奇数时,=a;当n为偶数时, 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.5 2.5.1　直线与圆的位置关系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 合作探究·攻重难 细研深究，萃取知识精华 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.5 2.5.1　直线与圆的位置关系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 类型一　直线与圆相交问题 　(1)直线l:mx-y+1-m=0与圆C:x2+(y-1)2=5的位置关系是 A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 例1 解法一:直线l:mx-y+1-m=0过定点(1,1),因为点(1,1)在圆x2+(y-1)2=5的内部,所以直线l与圆相交。 解法二:(几何法)由题意知,圆心(0,1)到直线l的距离d=,故直线l与圆相交。 解析 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.5 2.5.1　直线与圆的位置关系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 (2)求直线l:3x+y-6=0被圆C:x2+y2-2y-4=0截得的弦长。 解法一:圆C:x2+y2-2y-4=0可化为x2+(y-1)2=5,其圆心坐标为(0,1),半径r=。点(0,1)到直线l的距离为d=,弦长为2,所以截得的弦长为。 　　解法二:设直线l与圆C交于A,B两点。由得交点A(1,3),B(2,0),所以弦AB的长为|AB|=。 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.5 2.5.1　直线与圆的位置关系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 　　判断直线与圆的位置关系应注意的问题 (1)利用几何法比利用代数法能更简捷地判断出直线与圆的位置关系。 (2)在解决直线与圆的位置关系问题时,应注意联系圆的几何性质,利用有关图形的几何特征,尽可能简化运算。 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.5 2.5.1　直线与圆的位置关系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 变式训练 　(1)若直线x-y+1=0与圆(x-a)2+y2=2有公共点,则实数a的取值范围是 A.[-3,-1] B.[-1,3] C.[-3,1] D.(-∞,-3]∪[1,+∞) 由题意可得,圆的圆心坐标为(a,0),半径为,所以,即|a+1|≤2,解得-3≤a≤1。 解析 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.5 2.5.1　直线与圆的位置关系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 (2)过点(3,1)作圆(x-2)2+(y-2)2=4的弦,其中最短弦的长为 。  设点A(3,1),易知圆心C(2,2),半径r=2。当弦过点A(3,1)且与CA垂直时为最短弦,因为|CA|=,所以半弦长为。所以最短弦的长为2。 解析 2 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.5 2.5.1　直线与圆的位置关系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 (3)圆心为C(2,-1),截直线y=x-1的弦长为2的圆的方程为 。  设圆的半径为r,由条件,得圆心到直线y=x-1的距离d=。又由题意知,半弦长为,所以r2=2+2=4,得r=2。所以圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=4。 解析 (x-2)2+(y+1)2=4 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.5 2.5.1　直线与圆的位置关系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 类型二　切线问题 　已知圆C:(x-3)2+y2=1。 (1)过点P(0,1)作直线l与圆C相切,切线长为 ,直线l的方程为 ;  例2 3 y=1或3x+4y-4=0 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.5 2.5.1　直线与圆的位置关系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 (1)如图,过点P作圆C的一条切线,切点为Q,连接PC,CQ,则三角形PCQ为直角三角形,且∠CQP=90°。而|CP|2=32+12=10,|CQ|=r=1,所以|PQ|2=|PC|2-|CQ|2=10-1=9,则|PQ|=3。依题意可设直线l:y=kx+1,即kx-y+1=0,圆心C(3,0)到直线l的距离为d==1, 整理得4k2+3k=0,解得k=-或k=0,故直线l的方程 为y=1或3x+4y-4=0。 解析 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.5 2.5.1　直线与圆的位置关系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 (2)过点P(2,3)作直线l与圆C相切,则直线l的方程为 。  4x+3y-17=0或x=2 (2)当直线l的斜率存在时,设直线l:y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0,圆心C(3,0)到直线l的距离为d==1,化简整理得3k+4=0,即k=-,这时直线l的方程为4x+3y-17=0。当直线l的斜率不存在时,其方程为x=2,易知它与圆(x-3)2+y2=1相切。所以直线l的方程为4x+3y-17=0或x=2。 解析 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.5 2.5.1　直线与圆的位置关系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 　　如果所求切线过某已知点M,务必弄清该点在圆上还是在圆外。 (1)如果点M在圆上,那么圆心和点M的连线和切线垂直,从而求得切线的斜率,用直线的点斜式方程可求得切线方程。 (2)如果已知点在圆外,过这点的切线将有两条,但在设斜率解题时可能求出的切线只有一条,这是因为有一条过这点的切线的斜率不存在。 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.5 2.5.1　直线与圆的位置关系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 变式训练 　(1)圆x2+y2=4在点P(,-1)处的切线方程为 A.x+y-2=0 B.x+y-4=0 C.x-y-4=0 D.x-y+2=0 因为()2+(-1)2=4,所以点P在圆上,所以P为切点。因为切点与圆心连线的斜率为-,所以切线的斜率为,所以切线方程为y+1=(x-),即x-y-4=0。 解析 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.5 2.5.1　直线与圆的位置关系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 (2)点P是直线2x+y+10=0上的动点,PA,PB与圆x2+y2=4分别相切于A,B两点,则四边形PAOB面积的最小值为 。  8 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.5 2.5.1　直线与圆的位置关系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 如图所示,因为S四边形PAOB=2S△POA,又OA⊥AP,所以S四边形PAOB=2×|OA|·|PA|=2。为使四边形PAOB面积最小,当且仅当|OP|达到最小,又|OP|的 最小值为点O到直线2x+y+10=0的距离,即|OP|min =,故所求最小值为2=8。 解析 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.5 2.5.1　直线与圆的位置关系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 类型三　直线与圆的方程的实际应用 如图为一座圆拱桥的截面图,当水面在某位置时,拱顶离水面2 m,水面宽12 m,当水面下降1 m后,水面宽为 m。  例3 2 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.5 2.5.1　直线与圆的位置关系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 如图,以圆拱桥顶为坐标原点,以过圆拱顶点的竖直直线为y轴,建立直角坐标系。设圆心为C,圆的方程设为x2+(y+r)2=r2(r>0),水面所在弦的端点为A,B,则A(6,-2)。将A(6,-2)代入圆的方程,得r=10,则圆的方程为x2+(y+10)2=100。当水面下降1 m后,可设 点A'(x0,-3)(x0>0),将A'(x0,-3)代入圆的方程,得x0 =,所以当水面下降1 m后,水面宽为2x0= 2(m)。 解析 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.5 2.5.1　直线与圆的位置关系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 　　建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何要素,通过代数运算,解决几何问题。 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.5 2.5.1　直线与圆的位置关系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 变式训练 　一辆卡车宽1.6 m,要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m),则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过(≈0.877) A.1.4 m B.3.5 m C.3.6 m D.2.0 m 建立如图所示的平面直角坐标系,设篷顶距地面的高度为h,则A(0.8,h),半圆所在圆的方程为x2+y2=3.62,把点A 的坐标代入上式可得,0.82+h2=3.62,解得h= 4≈3.5(m)。 解析 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.5 2.5.1　直线与圆的位置关系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 　 某公园有A,B两个景点,位于一条小路(直道)的同侧,分别距小路 km和2 km,且A,B景点间相距2 km,今欲在该小路上设一观景点,使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果,则观景点应设在何处? 例4 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.5 2.5.1　直线与圆的位置关系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 所选观景点应使对两景点的视角最大。由平面几何知识知,该点应是过A,B两点的圆与小路所在的直线相切时的切点。以小路所在直线为x轴,点B在y轴正半轴上建立平面直角坐标系(图略)。由题意,得A(,),B(0,2),设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=b2(b>0),由A,B两点在圆上,得 由实际意义知a=0,b=,所以圆的方程为x2+(y-)2=2,切点为(0,0),观景点应设在B景点在小路的投影处。 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.5 2.5.1　直线与圆的位置关系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 　　解决直线与圆的实际应用题的关键 利用直线与圆的有关知识解决实际问题的关键是把它转化为数学问题,通过建立平面直角坐标系求圆的方程,进而使问题得以解决。 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.5 2.5.1　直线与圆的位置关系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 变式训练 “圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题:“今有圆材,埋在壁中不知大小,以锯锯之,深一寸,锯刀长一尺,问径几何?”其意为:今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯该木材,锯口深一寸,锯刀长一尺,问这块圆柱形木材的直径是多少?现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中,截面如图所示,已知弦AB=1尺,弓形高CD=1寸,则阴影部分的面积约为(注:π≈3.14,sin 22.5°≈,1尺=10寸) A.6.33平方寸 B.6.35平方寸 C.6.37平方寸 D.6.39平方寸 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.5 2.5.1　直线与圆的位置关系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 连接OC,AO(图略),则O,D,C三点共线。设半径为r寸,AD=5寸,则OD=(r-1)寸。在Rt△OAD中,OA2=AD2+OD2,即r2=52+(r-1)2,解得r= 13。所以sin∠AOC=,所以∠AOC≈22.5°,所以∠AOB≈2×22.5°= 45°。所以扇形OAB的面积S1=≈66.33(平方寸), △OAB的面积S2=×10×12=60(平方寸),所以阴影部分的面积为S1-S2=66.33-60=6.33(平方寸)。 解析 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.5 2.5.1　直线与圆的位置关系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 当堂检测·提素养 即时训练，巩固当堂所学 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.5 2.5.1　直线与圆的位置关系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 1.直线l:x-y=1与圆C:x2+y2-4x=0的位置关系是 A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定 圆C的圆心为C(2,0),半径为2,圆心C到直线l的距离d=<2,所以圆C与直线l相交。 解析 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.5 2.5.1　直线与圆的位置关系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 2.(多选)直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则b的值可以为(BD) A.-2 B.2 C.-12 D.12 因为直线3x+4y=b与圆心为(1,1),半径为1的圆相切,所以=1,解得b=2或b=12。 解析 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.5 2.5.1　直线与圆的位置关系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 3.点A(3,5)是圆x2+y2-4x-8y-80=0的一条弦的中点,则这条弦所在直线的方程为 。  圆为(x-2)2+(y-4)2=102,圆心为B(2,4),半径为r=10。设这条弦所在直线为l,则AB⊥l,因为kAB==1,所以直线l的斜率k=-1。所以所求直线为y-5=-(x-3),即x+y-8=0。 解析 x+y-8=0 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.5 2.5.1　直线与圆的位置关系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 4.已知直线4x-y=b被圆x2+y2-2x-2y+1=0截得的弦长为2,则b的值为 。  该圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1,故该圆的圆心(1,1),半径为1,又直线被圆截得的弦长为2,所以直线必过圆心。所以4-1=b,b=3。 解析 3 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.5 2.5.1　直线与圆的位置关系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 如图,以A为原点,以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系。射线AC为∠xAy的平分线,则台风中心在射线AC上移动,点B到AC的距离为20千米。则射线AC被以B为圆心,以30千米为半径的圆截得的弦长为2=20(千米)。所以B 城市处于危险区内的时间为t==1(小时)。 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.5 2.5.1　直线与圆的位置关系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 $$