2.4.1 圆的标准方程(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

高中数学 选择性必修 第一册 A版 赢在微点 轻松课堂 数学 第二章 直线和圆的方程 2.4　圆的方程 2.4.1　圆的标准方程 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.1　圆的标准方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 直线和圆是平面几何中的两类基本图形,建立直线的方程后,我们可以运用它研究直线的平行和垂直、直线的交点及点到直线的距离等问题,类似地,为了研究圆的有关性质,解决与圆有关的问题,我们首先需要建立圆的方程。 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 课程标准 回顾确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中探索并掌握圆的标准方程。 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.1　圆的标准方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 自主预习·明新知 稳健启程，新知初步构建 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.1　圆的标准方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 1.圆的标准方程 (1)圆的定义:平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆,定点称为圆的圆心,定长称为圆的半径。 (2)标准方程:圆心为A(a,b),半径为r的圆的标准方程为 。 (3)确定圆的标准方程的几何要素:圆心、半径。 (x-a)2+(y-b)2=r2 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.1　圆的标准方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 2.点与圆的位置关系 点与圆有三种位置关系,即点在圆外、点在圆上、点在圆内。判断点与圆的位置关系有两种方法。 (1)几何法:将所给的点M与圆心A的距离跟半径r比较。 若|AM|=r,则点M在 ; 若|AM|>r,则点M在 ; 若|AM|<r,则点M在 。 圆上 圆外 圆内 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.1　圆的标准方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 (2)代数法:可利用圆A的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2来确定。 点M(m,n)在 ⇔(m-a)2+(n-b)2=r2; 点M(m,n)在 ⇔(m-a)2+(n-b)2>r2; 点M(m,n)在 ⇔(m-a)2+(n-b)2<r2。 圆A上 圆A外 圆A内 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.1　圆的标准方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 微思考 1.方程(x-a)2+(y-b)2=r2(a,b,r∈R)表示一个圆吗?为什么? 提示:未必表示圆。当r≠0时,表示圆心为(a,b),半径为|r|的圆;当r=0时,表示一个点(a,b)。 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.1　圆的标准方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 微思考 2.点A(1,1),B(4,0),C(,)同圆x2+y2=4的位置关系如何? 提示:点A在圆内,点B在圆外,点C在圆上。 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.1　圆的标准方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 合作探究·攻重难 细研深究，萃取知识精华 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.1　圆的标准方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 类型一　待定系数法求圆的标准方程 　(1)圆心为(3,4)且经过坐标原点的圆的标准方程是 。  例1 因为圆心(3,4),设半径为r,又圆过坐标原点, 所以r==5,所以圆的标准方程为(x-3)2+(y-4)2=25。 解析 (x-3)2+(y-4)2=25 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.1　圆的标准方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 (2)圆心在直线x-2y-3=0上,且过点A(2,-3),B(-2,-5)的圆的标准方程为 。  (x+1)2+(y+2)2=10 解法一:(待定系数法)设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,由题设条件知故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10。 解析 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.1　圆的标准方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 解法二:(几何性质法)线段AB的中点的坐标为(0,-4),直线AB的斜率kAB=,所以弦AB的垂直平分线的斜率为k=-2,所以弦AB的垂直平分线的方程为y+4=-2x,即2x+y+4=0。又圆心是直线2x+y+4=0与直线x-2y-3=0的交点,由所以圆心坐标为(-1,-2),所以圆的半径长r=,故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10。 解析 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.1　圆的标准方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 　　求圆的标准方程的方法 确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a,b)及半径r,其求解的方法: (1)待定系数法,建立关于a,b,r的方程组,进而求得圆的方程; (2)借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径长。一般地,在解决有关圆的问题时,有时利用圆的几何性质作转化较为简捷。 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.1　圆的标准方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 变式训练 　已知圆C与直线l:4x-3y+6=0相切于点A(3,6),且经过点B(5,2),求圆C的方程。 解法一:设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则圆心为C(a,b),由|CA|=|CB|=r,CA⊥l,得所以圆C的方程为(x-5)2+。 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.1　圆的标准方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 解法二:由题意知直线CA⊥l。故直线CA的方程为y-6=-(x-3),即3x+4y-33=0。又因为kAB==-2,线段AB的中点坐标为(4,4),所以线段AB的垂直平分线方程为y-4=(x-4),即x-2y+4=0,解方程组所以圆心C,所以半径r=。所以圆C的方程为(x-5)2+。 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.1　圆的标准方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 类型二　点与圆的位置关系 　(1)点P(m2,5)与圆x2+y2=24的位置关系是 A.点P在圆内 B.点P在圆外 C.点P在圆上 D.不确定 例2 由(m2)2+52=m4+25>24,得点P在圆外。 解析 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.1　圆的标准方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 (2)已知点M(5+1,)在圆(x-1)2+y2=26的内部,则a的取值范围为 。  [0,1) 由题意知 即解得0≤a<1。 解析 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.1　圆的标准方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 　　(1)判断点与圆的位置关系的方法 ①只需计算该点与圆心之间的距离,与半径作比较即可。 ②把点的坐标代入圆的标准方程,判断式子两边的大小,并作出判断。 (2)若已知点与圆的位置关系,也可利用以上两种方法列出不等式或方程,求解参数范围。 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.1　圆的标准方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 变式训练 　已知点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的外部,则a的取值范围为 。  由题意知,(1-a)2+(1+a)2>4,即2a2-2>0,解得a<-1或a>1。 解析 (-∞,-1)∪(1,+∞) 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.1　圆的标准方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 类型三　最值问题 　已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1,0),B(5,0), (1)求此圆的标准方程; 例3 (1)由已知,得C(3,0),r==2,所以所求方程为(x-3)2+y2=4。 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.1　圆的标准方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 (2)设P(x,y)为圆C上任意一点,求P(x,y)到直线x-y+1=0的距离的最大值和最小值。 (2)圆心C到直线x-y+1=0的距离d=>2。所以P到直线的最大距离为2+2,最小距离为2-2。 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.1　圆的标准方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 　　一般地,求圆上的点到定点或定直线的距离的最值问题,常转化为圆心到定点或定直线的距离问题解决,充分体现了转化与化归的数学思想。 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.1　圆的标准方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 变式训练 　直线x+y+2=0分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是 A.[2,6] B.[4,8] C.[,3] D.[2,3] 由题意知圆心的坐标为(2,0),半径r=,圆心到直线x+y+2=0的距离d=,所以圆上的点到直线的最大距离是d+r=3,最小距离是d-r=。易知A(-2,0),B(0,-2),所以|AB|=2,所以|AB|·(d-r)≤S△ABP≤|AB|·(d+r),即2≤S△ABP≤6。故选A。 解析 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.1　圆的标准方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 四点共圆问题 已知A(0,1),B(2,1),C(3,4),D(-1,2),问这四点能否在同一个圆上?为什么? 典例1 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.1　圆的标准方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 设经过A,B,C三点的圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2。 则 解此方程组,得 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.1　圆的标准方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 故经过A,B,C三点的圆的标准方程是(x-1)2+(y-3)2=5。 把点D的坐标(-1,2)代入上面方程的左边,得(-1-1)2+(2-3)2=5。 于是点D在经过A,B,C三点的圆上, 　　故A,B,C,D四点在同一个圆上,这个圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=5。 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.1　圆的标准方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 　　判断四点共圆可以用本题所体现的方法,即求出其中三点所在的圆的方程,再判断第四点是否在圆上。另外,有时也用几何法判断,即用四边形对角互补判断。 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.1　圆的标准方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 圆的标准方程的实际应用 　赵州桥位于我国河北省,是我国现存最早、保存最好的巨大石拱桥。 如图所示,赵州桥是一座空腹式的圆弧形石拱桥,利用解析几何的方法,用赵州桥的跨度a和圆拱高b表示出赵州桥圆弧所在圆的半径。 典例2 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.1　圆的标准方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 作出示意图如图所示,其中AB表示跨度,O为AB中点,OC为圆拱高。以O为原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,根据已知条件有B,C(0,b)。可以看出,圆弧所在圆的圆心在y轴的负半轴上,因此可设圆心的坐标为(0,t),半径为r,因为 B,C都在圆上,所以 解得r=。 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.1　圆的标准方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 　　圆的实际应用题,应首先建立直角坐标系,将实际问题转化为坐标问题。 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.1　圆的标准方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 当堂检测·提素养 即时训练，巩固当堂所学 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.1　圆的标准方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 1.圆心为(1,1)且过原点的圆的标准方程是 A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1 C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=2 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.1　圆的标准方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 2.已知圆(x-a)2+(y-1)2=2a(0<a<1),则原点O在 A.圆内 B.圆外 C.圆上 D.圆上或圆外 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.1　圆的标准方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 3.已知两点P(4,0),Q(0,2),则以线段PQ为直径的圆的方程是 A.(x+2)2+(y+1)2=5 B.(x-2)2+(y-1)2=10 C.(x-2)2+(y-1)2=5 D.(x+2)2+(y+1)2=10 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.1　圆的标准方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 4.已知圆C过点(8,1),且与两坐标轴都相切,则面积较小的圆C的方程为 。  由题意,圆C过点(8,1),且与两坐标轴都相切,设圆的方程为(x-a)2+(y-a)2=a2(a>0),将点(8,1)代入圆的方程,可得(8-a)2+(1-a)2=a2,整理得a2-18a+65=0,解得a=5或a=13,当a=5时,圆C的面积较小,此时圆C的方程为(x-5)2+(y-5)2=25。 解析 (x-5)2+(y-5)2=25 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.1　圆的标准方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 5.求下列圆的标准方程。 (1)圆心是(4,-1),且过点(5,2); (1)圆心为C(4,-1),半径r=,所以圆的标准方程为(x-4)2+(y+1)2=10。 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.1　圆的标准方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 (2)圆心在y轴上,半径长为5,且过点(3,-4); (2)设圆心为C(0,b),所以r==5,所以(4+b)2=16=42,所以4+b=4或4+b=-4,所以b=0或b=-8,所以圆的标准方程为x2+y2=25或x2+(y+8)2=25。 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.1　圆的标准方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 (3)求过两点C(-1,1)和D(1,3),圆心在x轴上的圆的标准方程。 (3)设圆心为M(a,0),因为|MC|=|MD|,所以(a+1)2+(0-1)2=(a-1)2+(0-3)2,即a2+2a+1+1=a2-2a+1+9,所以a=2,r=|MC|=,所以圆的标准方程为(x-2)2+y2=10。 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.4 2.4.1　圆的标准方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 $$