2.2.3 直线的一般式方程(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

高中数学 选择性必修 第一册 A版 赢在微点 轻松课堂 数学 第二章 直线和圆的方程 2.2　直线的方程 2.2.3　直线的一般式方程 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.2　2.2.3　直线的一般式方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 观察下列4条直线方程:l1:y-2=3(x-1);l2:y=3x-1;l3:=; l4:+=1,会发现它们表示同一条直线,那么它们有没有统一的形式呢?这就是我们要学习的直线的一般式方程。 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 课程标准 1.掌握直线的一般式方程。 2.理解关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)都表示直线。 3.会进行直线方程的五种形式之间的转化。 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.2　2.2.3　直线的一般式方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 自主预习·明新知 稳健启程，新知初步构建 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.2　2.2.3　直线的一般式方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 1.直线的一般式方程 我们把关于x,y的二元一次方程 (其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式。 2.二元一次方程与直线的关系 在平面直角坐标系中,任意一个二元一次方程是直角坐标平面上一条确定的直线;反之,直角坐标平面上的任意一条直线可以用一个确定的二元一次方程表示。 Ax+By+C=0 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.2　2.2.3　直线的一般式方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 微提醒 1.解题时,如无特殊说明,应把最终结果化为一般式,一般作如下约定:x的系数为正,x,y的系数及常数项一般不出现分数,往往按含x项、含y项、常数项顺序排列。 2.直线的一般式方程可以表示平面内的任意一条直线。 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.2　2.2.3　直线的一般式方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 微思考 1.方程y-y0=0是二元一次方程吗? 提示:是,因为此时方程中x的系数为0。 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.2　2.2.3　直线的一般式方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 微思考 2.在方程Ax+By+C=0(A,B不同时为零)中,A,B,C为何值时,方程表示的直线(1)平行于x轴;(2)平行于y轴;(3)与x轴重合;(4)与y轴重合。 提示:当A=0时,方程变为y=-,当C≠0时表示的直线平行于x轴,当C=0时与x轴重合;当B=0时,方程变为x=-,当C≠0时表示的直线平行于y轴,当C=0时与y轴重合。 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.2　2.2.3　直线的一般式方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 合作探究·攻重难 细研深究，萃取知识精华 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.2　2.2.3　直线的一般式方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 类型一　直线的一般式方程 　根据下列条件求直线的一般式方程。 (1)直线的斜率为2,且经过点A(1,3); 例1 (1)因为k=2,且经过点A(1,3),由直线的点斜式方程可得y-3=2(x-1),整理可得2x-y+1=0,所以直线的一般式方程为2x-y+1=0。 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.2　2.2.3　直线的一般式方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 (2)斜率为,且在y轴上的截距为4; (2)由直线的斜率k=,且在y轴上的截距为4,得直线的斜截式方程为y=x+4。整理可得直线的一般式方程为x-y+4=0。 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.2　2.2.3　直线的一般式方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 (3)经过两点A(2,-3),B(-1,-5); (3)由直线的两点式方程可得,整理得直线的一般式方程为2x-3y-13=0。 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.2　2.2.3　直线的一般式方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 (4)在x,y轴上的截距分别为2,-4。 (4)由直线的截距式方程可得=1,整理得直线的一般式方程为2x-y-4=0。 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.2　2.2.3　直线的一般式方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 　　求直线方程时,可先选择适当的形式求出直线方程,最后一般都要化为一般式方程。 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.2　2.2.3　直线的一般式方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 变式训练 　根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程。 (1)斜率是且经过点A(5,3); (1)由点斜式方程得y-3=(x-5),整理得=0。 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.2　2.2.3　直线的一般式方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 (2)经过A(-1,5),B(2,-1)两点; (2)由两点式方程得,整理得2x+y-3=0。 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.2　2.2.3　直线的一般式方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 (3)在x,y轴上的截距分别是-3,-1。 (3)由截距式方程得=1,整理得x+3y+3=0。 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.2　2.2.3　直线的一般式方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 类型二　平行与垂直问题 (1)已知直线l1:2x+(m+1)y+4=0与直线l2:mx+3y-2=0平行,求实数m的值。 例2 由2×3-m(m+1)=0,得m=-3或m=2。当m=-3时,l1:x-y+2=0,l2:3x-3y+2=0,显然l1与l2不重合,所以l1∥l2。当m=2时,l1:2x+3y+4=0,l2:2x+3y-2=0,l1与l2不重合,l1∥l2,故m的值为2或-3。 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.2　2.2.3　直线的一般式方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 (2)已知直线l1:(a+2)x+(1-a)y-1=0与直线l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0垂直,求实数a的值。 由直线l1⊥l2,得(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,解得a=±1。故当a=1或a=-1时,直线l1⊥l2。 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.2　2.2.3　直线的一般式方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 　　由直线的一般式方程解决平行与垂直问题 直线l1:A1x+B1y+C1=0,直线l2:A2x+B2y+C2=0。 (1)l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1≠0(或A1C2-A2C1≠0)。 (2)l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0。 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.2　2.2.3　直线的一般式方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 变式训练 　已知直线l1:3mx+8y+3m-10=0和l2:x+6my-4=0。问m为何值时: (1)l1与l2平行; (1)当l1与l2平行时,3m×6m-8=0,解得m=±。当m=时,l1:2x+8y-8=0,即x+4y-4=0,l2:x+4y-4=0,则l1与l2重合,不符合题意;当m=-时,l1:-2x+8y-12=0,即x-4y+6=0,l2:x-4y-4=0,l1与l2不重合,故l1∥l2。综上所述, m=-时,l1与l2平行。 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.2　2.2.3　直线的一般式方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 (2)l1与l2垂直。 (2)当l1与l2垂直时,3m×1+6m×8=0,解得m=0。所以m=0时,l1与l2垂直。 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.2　2.2.3　直线的一般式方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 类型三　直线方程的应用 　　命题方向1:镜面反射问题 一条光线从点A(2,4)射出,倾斜角为60°,遇x轴后反射,则反射光线所在的直线方程为 A.=0 B.x-=0 C.=0 D.x+=0 例3 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.2　2.2.3　直线的一般式方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 因入射光线与反射光线所在的直线关于x轴对称,所以反射光线所在直线经过点(2,-4),倾斜角为120°,其反射光线所在直线的方程是y-(-4)=-(x-2),即+4=0,故选C。 解析 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.2　2.2.3　直线的一般式方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 　　本题利用了入射光线与反射光线关于镜面对称的原理求解。 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.2　2.2.3　直线的一般式方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 变式训练 　把本例中的条件变为“一条光线从点A(2,4)射出,遇x轴后反 射,反射光线经过点B(5,2)”,试求反射光线的直线方程。 点A(2,4)关于x轴的对称点A'(2,-4),由镜面反射原理,点A'在反射光线的反向延长线上,又因为kA'B==2,所以反射光线所在的直线方程为y-2=2(x-5),即2x-y-8=0。 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.2　2.2.3　直线的一般式方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 　命题方向2:含参数的直线方程问题 　已知直线l:5ax-5y-a+3=0。 (1)求证:不论a为何值,直线l总经过第一象限; (1)证法一:将直线l的方程整理为y-,所以直线l的斜率为a,且过定点,而点在第一象限内,故不论a为何值,l恒过第一象限。 解 例3 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.2　2.2.3　直线的一般式方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 证法二:直线l的方程可化为(5x-1)a-(5y-3)=0。因为上式对任意的a总成立,必有即l过定点。以下同证法一。 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.2　2.2.3　直线的一般式方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 (2)为使直线l不经过第二象限,求a的取值范围。 (2) 由(1)得直线l过定点A。直线OA的 斜率为k==3。如图所示,要使l不经过第二象 限,需斜率a≥kOA=3,所以a的取值范围为[3,+∞)。 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.2　2.2.3　直线的一般式方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 　　研究直线的图形特点,首先观察直线本身具有的特征,如本例(1)中直线过点;其次数形结合,运用运动变化的观点研究直线的变化规律,如本例(2)。同时也要注意直线的斜率、截距的几何意义。 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.2　2.2.3　直线的一般式方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 变式训练 　设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,根据下列条件分别确定m的值: (1)l在x轴上的截距是-3; (1)当直线在x轴上的截距为-3时,有=-3,且m2-2m-3≠0,解得m=-。 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.2　2.2.3　直线的一般式方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 (2)l的斜率是-1。 (2)当斜率为-1时,有-=-1,且2m2+m-1≠0,解得m=-2。 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.2　2.2.3　直线的一般式方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 当堂检测·提素养 即时训练，巩固当堂所学 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.2　2.2.3　直线的一般式方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 1.在平面直角坐标系中,直线x+y-3=0的倾斜角是 A.30° B.60° C.150° D.120° 直线斜率k=-,所以倾斜角为150°。故选C。 解析 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.2　2.2.3　直线的一般式方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 2.已知直线2x+ay+b=0在x轴、y轴上的截距分别为-1,2,则a,b的值分别为 A.-1,2 B.-2,2 C.2,-2 D.-2,-2 令x=0,则y=-=2;令y=0,则x=-=-1,解得b=2,a=-1。故选A。 解析 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.2　2.2.3　直线的一般式方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 3.斜率为2,且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为 。  由点斜式方程,得所求直线方程为y-3=2(x-1),整理得2x-y+1=0。 解析 2x-y+1=0 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.2　2.2.3　直线的一般式方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 4.若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直,则实数m= 。  因为两直线垂直,所以1×2-2m=0,得m=1。 解析 1 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.2　2.2.3　直线的一般式方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 5.已知在△ABC中,点A的坐标为(1,3),AB,AC边上的中线所在直线的方程分别为x-2y+1=0和y-1=0,求△ABC各边所在直线的方程。 设AB,AC边上的中线分别为CD,BE,其中D,E分别为AB,AC的中点,因为点B在中线BE:y-1=0上,所以设B点坐标为(x,1)。又因为A点坐标为(1,3),D为AB的中点,所以由中点坐标公式得D点坐标为。又因为点D在中线CD:x-2y+1=0上,所以-2×2+1=0,解得x=5,所以B点坐标为(5,1)。同理可求出C点的坐标是(-3,-1)。故可求出△ABC三边AB,BC,AC所在直线的方程分别为x+2y-7=0,x-4y-1=0和x-y+2=0。 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第二章　2.2　2.2.3　直线的一般式方程 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 $$