1.3.2 空间向量运算的坐标表示(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

高中数学 选择性必修 第一册 A版 赢在微点 轻松课堂 数学 第一章 空间向量与立体几何 1.3　空间向量及其运算的坐标表示 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　1.3　1.3.1　空间直角坐标系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 一块巨石从山顶坠落,挡住了前面的路,抢修队员紧急赶到从三个方向拉巨石。这三个力分别为F1,F2,F3,它们两两垂直,且|F1|=3 000 N, |F2|=2 000 N,|F3|=2 000 N。若以F1,F2,F3的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,则巨石所受合力F的坐标是什么? 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 课程标准 1.掌握空间向量线性运算的坐标表示。 2.掌握空间向量数量积的坐标表示。 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　1.3　1.3.1　空间直角坐标系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 自主预习·明新知 稳健启程，新知初步构建 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　1.3　1.3.1　空间直角坐标系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 1.空间向量的坐标运算 (1)空间向量的坐标。 一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的 。 终点坐标减去起点坐标 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　1.3　1.3.1　空间直角坐标系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 (2)设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)。则有 向量运算 坐标表示 加法 a+b= . 减法 a-b= . 数乘 λa= (λ∈R) 数量积 a·b= . (a1+b1,a2+b2,a3+b3) (a1-b1,a2-b2,a3-b3) (λa1,λa2,λa3) a1b1+a2b2+a3b3 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　1.3　1.3.1　空间直角坐标系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 2.空间向量的平行、垂直及模和夹角 a1b1+a2b2+a3b3=0 名称 满足条件 向量表示形式 坐标表示形式 a∥b a=λb(b≠0) a1=λb1,a2=λb2, a3=λb3(λ∈R) a⊥b a·b=0 . 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　1.3　1.3.1　空间直角坐标系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 名称 满足条件 向量表示形式 坐标表示形式 模 |a|= |a|= 夹角 cos<a,b>= cos<a,b>= 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　1.3　1.3.1　空间直角坐标系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 3.空间两点间的距离公式 设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则P1P2=| 。 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　1.3　1.3.1　空间直角坐标系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 微思考 1.若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),a∥b,则一定有成立吗? 提示:不一定,当b1,b2,b3存在取0值时不成立。 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　1.3　1.3.1　空间直角坐标系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 微思考 2.当0<cos<a,b><1,及-1<cos<a,b><0时,夹角的范围是? 提示:当0<cos<a,b><1时,0<<a,b><,为锐角。 当-1<cos<a,b><0时,<<a,b><π,为钝角。 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　1.3　1.3.1　空间直角坐标系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 合作探究·攻重难 细研深究，萃取知识精华 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　1.3　1.3.1　空间直角坐标系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 类型一　空间向量的坐标运算 　(1)已知a=(-1,2,1),b=(2,0,1),则(2a+3b)·(a-b)= 。  例1 -4 易得2a+3b=(4,4,5),a-b=(-3,2,0),则(2a+3b)·(a-b)=4×(-3)+4×2+5 ×0=-4。 解析 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　1.3　1.3.1　空间直角坐标系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 (2)若2a-b=(2,-4,3),a+2b=(1,3,-1),则cos<a,b>= 。  设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),由题设可得同理可得y1=-1,y2=2,z1=1,z2=-1,即a=(1,-1,1),b=(0,2,-1),则a·b=0-2-1=-3,|a|=,|b|=,所以cos<a,b>=。 解析 - 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　1.3　1.3.1　空间直角坐标系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 　　关于空间向量坐标运算的两类问题 (1)直接计算问题 首先将空间向量用坐标表示出来,然后准确运用空间向量坐标运算公式计算。 (2)由条件求向量或点的坐标 首先把向量用坐标形式设出来,然后通过建立方程(组),解方程(组)求出其坐标。 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　1.3　1.3.1　空间直角坐标系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 变式训练 　(1)已知a=(1,0,-1),b=(1,-2,2),c=(-2,3,-1),则a-b+2c= 。  a-b+2c=(1,0,-1)-(1,-2,2)+2(-2,3,-1)=(-4,8,-5)。 解析 (-4,8,-5) 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　1.3　1.3.1　空间直角坐标系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 (2)已知a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,0,1),p=a-b,q=a+2b-c,则p·q= 。    因为p=a-b=(1,0,-1),q=a+2b-c=(0,3,1),所以p·q=1×0+0×3+(-1)× 1=-1。 解析 -1 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　1.3　1.3.1　空间直角坐标系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 类型二　利用空间向量解决平行与垂直问题 　如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直, AB=,AF=1,M是线段EF的中点。求证: 例2 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　1.3　1.3.1　空间直角坐标系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 (1)AM∥平面BDE; (1)如图,建立空间直角坐标系,设AC∩BD=N,连接NE,则点N,E的坐标分别为,(0,0,1)。所以。又点A,M的坐标分别是(,,0),,所以。又NE与AM不共线,所以NE∥AM。 又因为NE⊂平面BDE,AM⊄平面BDE,所 以AM∥平面BDE。 证明 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　1.3　1.3.1　空间直角坐标系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 (2)AM⊥平面BDF。 (2)由(1)知。因为D(,0,0),F(,,1),所以=(0,,1),所以·=0,所以,即AM⊥DF。同理,,即AM⊥BF。又DF∩BF=F,且DF⊂平面BDF,BF⊂平面BDF,所以AM⊥平面BDF。 证明 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　1.3　1.3.1　空间直角坐标系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 　　(1)判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件;已知两向量平行或垂直求参数值,则利用平行、垂直的充要条件,将位置关系转化为坐标关系,列方程(组)求解。 (2)利用向量证明直线、平面平行或垂直,则要建立恰当的空间直角坐标系,求出相关向量的坐标,利用向量平行、垂直的充要条件证 明。 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　1.3　1.3.1　空间直角坐标系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 变式训练 　如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直, CE⊥AC,EF∥AC,AB=,CE=EF=1。求证: 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　1.3　1.3.1　空间直角坐标系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 (1)AF∥平面BDE; (1)设AC与BD交于点G,连接EG。因为EF∥AC,且EF=1,AG=AC=1,所以四边形AGEF为平行四边形,所以AF∥EG。因为EG⊂平面BDE,AF⊄平面BDE,所以AF∥平面BDE。 证明 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　1.3　1.3.1　空间直角坐标系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 (2)CF⊥平面BDE。 (2) 因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,且CE⊥AC,所以CE⊥平面ABCD。如图,以C为原点,建立空间直角坐标系Cxyz。则C(0,0,0),A(,,0),B(0,,0),D(,0,0),E(0,0,1), F,=(0,-,1),=(-,0,1)。所以·=0-1+1=0,·=-1+0+1=0,所以,,即 证明 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　1.3　1.3.1　空间直角坐标系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 CF⊥BE,CF⊥DE。又BE∩DE=E,且BE⊂平面BDE,DE⊂平面BDE,所以CF⊥平面BDE。 证明 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　1.3　1.3.1　空间直角坐标系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 类型三　利用空间向量计算夹角与距离问题 在四棱锥P⁃ABCD中,PD⊥平面ABCD,PA与平面ABCD所成的角为60°,在四边形ABCD中,∠ADC=∠DAB=90°,AB=4,CD=1,AD=2。 (1)求BP的长; 例3 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　1.3　1.3.1　空间直角坐标系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 (1)如图,建立空间直角坐标系。因为∠ADC=∠DAB=90°, AB=4, CD=1,AD=2,所以A(2,0,0),C(0,1,0),B(2,4,0),由PD⊥平面ABCD,得∠PAD为PA与平面ABCD所成的角,所以∠PAD=60°。 在Rt△PAD中,由AD=2,得PD=2。所以P(0,0,2)。 所以BP=。 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　1.3　1.3.1　空间直角坐标系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 (2)求异面直线PA与BC所成角的余弦值。 (2)由(1)得,=(2,0,-2),=(-2,-3,0),所以cos<,,所以异面直线PA与BC所成角的余弦值为。 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　1.3　1.3.1　空间直角坐标系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 　　通过分析几何体的结构特征,建立适当的坐标系,使尽可能多的点在坐标轴上,以便写出点的坐标。建立坐标系后,写出相关点的坐标,然后再写出相应向量的坐标表示,把向量坐标化,然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题。 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　1.3　1.3.1　空间直角坐标系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 变式训练 　(1)已知△ABC的三个顶点为A(3,3,2),B(4,-3,7),C(0,5,1),则BC边上的中线长为 。    设BC边的中点为D,则()=(-1,-2,2),所以|=3。 解析 3 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　1.3　1.3.1　空间直角坐标系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 (2)如图,在直三棱柱ABC⁃A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,N为A1A的中点。 ①求BN的长; 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　1.3　1.3.1　空间直角坐标系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 如图,以C为原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Cxyz。 ①依题意得B(0,1,0),N(1,0,1),所以|, 所以BN的长为。 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　1.3　1.3.1　空间直角坐标系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 ②求A1B与B1C所成角的余弦值。 ②依题意得A1(1,0,2),C(0,0,0),B1(0,1,2),所以=(-1,1,-2),=(0,-1,-2),所以·=(-1)×0+1×(-1)+(-2)×(-2)=3。又|,|,所以cos<,。又异面直线所成角为锐角或直角,故A1B与B1C所成角的余弦值为。 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　1.3　1.3.1　空间直角坐标系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 当堂检测·提素养 即时训练，巩固当堂所学 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　1.3　1.3.1　空间直角坐标系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 1.(多选)下列各组空间向量中,平行的是 A.a=(1,2,-2),b=(-2,-4,4) B.a=(1,0,0),b=(-5,0,0) C.a=(4,0,-2),b=(0,0,0) D.a=(2,5,-3),b=(-8,-20,-12) 选项A中,b=-2a,所以两向量平行,同理B,C的两个向量也平行,D中两个向量不平行。 解析 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　1.3　1.3.1　空间直角坐标系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 2.已知向量a=(1,0,1),b=(2,0,-2),若(ka+b)·(a+kb)=2,则k的值等于 A.1 B. C. D.  由已知得|a|=,|b|=2,a·b=0,所以由(ka+b)·(a+kb)=2可得k|a|2+k|b|2+(k2+1)a·b=2,即2k+8k=2,解得k=。 解析 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　1.3　1.3.1　空间直角坐标系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 3.若向量a=(1,-1,2),b=(2,1,-3),则|2a+b|= 。  由于向量a=(1,-1,2),b=(2,1,-3),所以2a+b=(4,-1,1)。故|2a+b|=。 解析 3 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　1.3　1.3.1　空间直角坐标系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 4.已知空间三点A(1,1,1),B(-1,0,4),C(2,-2,3),则与的夹角的大小是 。  因为=(-2,-1,3),=(-1,3,-2),所以cos<, ,所以<,>=120°。 解析 120° 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　1.3　1.3.1　空间直角坐标系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 5.已知空间三点A(1,2,3),B(2,-1,5),C(3,2,-5)。 (1)求△ABC的面积; (1)由已知,得=(1,-3,2),=(2,0,-8),所以|,|,·=1×2+(-3)×0+2×(-8)=-14,所以cos<,,所以sin<, 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　1.3　1.3.1　空间直角坐标系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 。所以S△ABC=,。 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　1.3　1.3.1　空间直角坐标系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 (2)求△ABC中AB边上的高。 (2)设AB边上的高为CD,则|,即△ABC中AB边上的高为3。 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　1.3　1.3.1　空间直角坐标系 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 课堂检测·提素养 $$