课时达标检测(10) 等比数列前n项和的概念(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教B版2019）

高中数学 选择性必修 第三册 B版 课时达标检测(十) 等比数列 前n项和的概念 课时达标检测(十) 等比数列前n项和的概念 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 课时达标检测(十) 等比数列前n项和的概念 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 课时达标检测(十) 等比数列前n项和的概念 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 课时达标检测(十) 等比数列前n项和的概念 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 课时达标检测(十) 等比数列前n项和的概念 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 课时达标检测(十) 等比数列前n项和的概念 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 课时达标检测(十) 等比数列前n项和的概念 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 课时达标检测(十) 等比数列前n项和的概念 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 课时达标检测(十) 等比数列前n项和的概念 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 课时达标检测(十) 等比数列前n项和的概念 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 课时达标检测(十) 等比数列前n项和的概念 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 课时达标检测(十) 等比数列前n项和的概念 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 课时达标检测(十) 等比数列前n项和的概念 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 课时达标检测(十) 等比数列前n项和的概念 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 课时达标检测(十) 等比数列前n项和的概念 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 课时达标检测(十) 等比数列前n项和的概念 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 课时达标检测(十) 等比数列前n项和的概念 轻松课堂 高中数学 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解析　设数列的公比为q，当公比q＝1时，eq \f(S4,S2)＝2≠5，故公比不为1，当公比q≠1时，eq \f(S4,S2)＝eq \f(\f(a11－q4,1－q),\f(a11－q2,1－q))＝1＋q2＝5，所以q2＝4，所以eq \f(S8,S4)＝eq \f(\f(a11－q8,1－q),\f(a11－q4,1－q))＝1＋q4＝17。故选C。 答案　C 答案与解析 5．已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝an－1(a是不为零的常数)，则数列{an}(　　) A．一定是等差数列 B．一定是等比数列 C．或者是等差数列，或者是等比数列 D．既非等差数列，也非等比数列 解析　由Sn＝an－1，知当a＝1时，Sn＝0。此时数列{an}为等差数列(an＝0)。当a≠1时，数列{an}为等比数列。 答案　C 答案与解析 6．记Sn为等比数列{an}的前n项和。若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则eq \f(Sn,an)＝(　　) A．2n－1 B．2－21－n C．2－2n－1 D．21－n－1 解析　设等比数列的公比为q，由a5－a3＝12，a6－a4＝24，可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1q4－a1q2＝12，,a1q5－a1q3＝24))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(q＝2，,a1＝1，))所以an＝a1qn－1＝2n－1，Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)＝eq \f(1－2n,1－2)＝2n－1，因此eq \f(Sn,an)＝eq \f(2n－1,2n－1)＝2－21－n。故选B。 答案　B 答案与解析 二、多项选择题 7．在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，则公比q的值为(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 解析　由题意，得若q＝1，则S3＝3a1＝6，符合题意。若q≠1，则由等比数列的前n项和公式，得S3＝eq \f(a11－q3,1－q)＝eq \f(21－q3,1－q)＝6，解得q＝－2(q＝1舍去)。综上所述，q＝1，或q＝－2。故选AD。 答案　AD 答案与解析 8．在公比q为整数的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若a1·a4＝32，a2＋a3＝12，则下列说法正确的是(　　) A．q＝2 B．数列{Sn＋2}是等比数列 C．S8＝510 D．数列{lgan}是公差为2的等差数列 解析　因为数列{an}为等比数列，又a1·a4＝32，所以a2·a3＝32，又a2＋a3＝12，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＝4，,a3＝8，,q＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＝8，,a3＝4，,q＝\f(1,2)，))又公比q为整数，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＝4，,a3＝8，,q＝2，))即an＝2n，Sn＝eq \f(2×1－2n,1－2)＝2n＋1－2。对于A，由上可得q＝2，即A正确；对于B，Sn＋2＝2n＋1，eq \f(Sn＋1＋2,Sn＋2)＝eq \f(2n＋2,2n＋1)＝2，则数列{Sn＋2}是等比数列，即B正确； 答案与解析 对于C，S8＝29－2＝510，即C正确；对于D，lgan＋1－lgan＝lgeq \f(2n＋1,2n)＝lg2，即数列{lgan}是公差为lg2的等差数列，即D错误，所以说法正确的是ABC。故选ABC。 答案　ABC 三、填空题 9．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则{an}的公比为________。 解析　由已知4S2＝S1＋3S3，即4(a1＋a2)＝a1＋3(a1＋a2＋a3)．所以a2＝3a3，所以{an}的公比q＝eq \f(a3,a2)＝eq \f(1,3)。 答案　eq \f(1,3) 答案与解析 10．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________。 解析　因为S6＝4S3，所以q≠1，所以eq \f(a11－q6,1－q)＝eq \f(4·a11－q3,1－q)，所以q3＝3，所以a4＝a1·q3＝1×3＝3。 答案　3 答案与解析 11．数列a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么an＝________，a4＝________。 解析　an－an－1＝a1 qn－1＝2n－1，即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2－a1＝2，,a3－a2＝22，,…,an－an－1＝2n－1。))各式相加得an－a1＝2＋22＋…＋2n－1＝2n－2，故an＝a1＋2n－2＝2n－1。a4＝24－1＝15。 答案　2n－1　15 答案与解析 四、解答题 12．在等比数列{an}中，公比为q，前n项和为Sn。 (1)S3＝eq \f(7,2)，S6＝eq \f(63,2)，求an，Sn； (2)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求n和q。 解　解法一：由S6≠2S3知q≠1， 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(a11－q3,1－q)＝\f(7,2)　①，,\f(a11－q6,1－q)＝\f(63,2)　②，)) ②÷①，得1＋q3＝9，所以q3＝8，即q＝2。代入①得a1＝eq \f(1,2)， 所以an＝a1qn－1＝eq \f(1,2)×2n－1＝2n－2， Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)＝2n－1－eq \f(1,2)。 解法二：因为S3＝a1＋a2＋a3， S6＝S3＋a4＋a5＋a6＝S3＋q3(a1＋a2＋a3)＝ S3＋q3S3＝(1＋q3)S3， 所以1＋q3＝eq \f(S6,S3)＝9， 所以q3＝8，即q＝2， 代入S3＝eq \f(a11－q3,1－q)＝eq \f(7,2)得a1＝eq \f(1,2)， 所以an＝a1qn－1＝eq \f(1,2)×2n－1＝2n－2， Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)＝2n－1－eq \f(1,2)。 (2)因为a2an－1＝a1an，所以a1an＝128。 解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1an＝128，,a1＋an＝66，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝64，,an＝2))①或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝2，,an＝64))②。 将①代入Sn＝eq \f(a1－anq,1－q)＝126，可得q＝eq \f(1,2)， 由an＝a1qn－1，可得n＝6。 将②代入Sn＝eq \f(a1－anq,1－q)＝126，可得q＝2， 由an＝a1qn－1，可得n＝6。 综上可得，n＝6，q＝2或q＝eq \f(1,2)。 13．设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝eq \f(n,3)，n∈N＋。 (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝eq \f(n,an)，求数列{bn}的前n项和Sn。 解　(1)因为a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝eq \f(n,3)，所以a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝eq \f(n－1,3)(n≥2)， 两式相减得3n－1an＝eq \f(n,3)－eq \f(n－1,3)＝eq \f(1,3)(n≥2)， 所以an＝eq \f(1,3n)(n≥2)。 验证当n＝1时，a1＝eq \f(1,3)也满足上式， 故an＝eq \f(1,3n)(n∈N＋)。 (2)因为bn＝eq \f(n,an)＝n·3n， 所以Sn＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n·3n　①， ①×3得3Sn＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n·3n＋1　②， 由①－②，得－2Sn＝3＋32＋33＋…＋3n－n·3n＋1， 即－2Sn＝eq \f(3－3n＋1,1－3)－n·3n＋1， 所以Sn＝eq \f(2n－1,4)·3n＋1＋eq \f(3,4)(n∈N＋)。 　素养提升　 14．已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－eq \f(4,3)，则{an}的前10项和等于(　　) A．－6×(1－3－10) B．eq \f(1,9)×(1－3－10) C．3×(1－3－10) D．3×(1＋3－10) 解析　因为3an＋1＋an＝0，所以eq \f(an＋1,an)＝－eq \f(1,3)，所以数列{an}是以－eq \f(1,3)为公比的等比数列。因为a2＝－eq \f(4,3)，所以a1＝4，所以S10＝eq \f(4\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))10)),1＋\f(1,3))＝3×(1－3－10)。故选C。 答案　C 答案与解析 15．求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn (x≠0)。 解　当x＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝eq \f(nn＋1,2)； 当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn， xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1， 所以(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1＝eq \f(x1－xn,1－x)－nxn＋1， 所以Sn＝eq \f(x1－xn,1－x2)－eq \f(nxn＋1,1－x)。综上可得， Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(nn＋1,2)，x＝1，,\f(x1－xn,1－x2)－\f(nxn＋1,1－x)，x≠1且x≠0。)) $$