5.3.2 第2课时 等比数列前n项和的性质(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教B版2019）

高中数学 选择性必修 第三册 B版 赢在微点 轻松课堂 数学 第五章 数列 5.3.2　等比数列的前n项和 第2课时　等比数列前n项和的性质 5.3　等比数列 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.2　第2课时　等比数列前n项和的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 —— —— 稳健启程 新知初步构建 自主预习·明新知 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.2　第2课时　等比数列前n项和的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.2　第2课时　等比数列前n项和的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.2　第2课时　等比数列前n项和的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.2　第2课时　等比数列前n项和的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 —— —— 细研深究 萃取知识精华 合作探究·攻重难 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.2　第2课时　等比数列前n项和的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.2　第2课时　等比数列前n项和的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.2　第2课时　等比数列前n项和的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.2　第2课时　等比数列前n项和的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.2　第2课时　等比数列前n项和的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.2　第2课时　等比数列前n项和的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.2　第2课时　等比数列前n项和的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.2　第2课时　等比数列前n项和的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.2　第2课时　等比数列前n项和的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.2　第2课时　等比数列前n项和的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.2　第2课时　等比数列前n项和的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.2　第2课时　等比数列前n项和的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.2　第2课时　等比数列前n项和的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.2　第2课时　等比数列前n项和的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.2　第2课时　等比数列前n项和的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.2　第2课时　等比数列前n项和的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 —— —— 即时训练 巩固当堂所学 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.2　第2课时　等比数列前n项和的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.2　第2课时　等比数列前n项和的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.2　第2课时　等比数列前n项和的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.2　第2课时　等比数列前n项和的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.2　第2课时　等比数列前n项和的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.2　第2课时　等比数列前n项和的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 　 明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中,有一道数学命题叫“宝塔装灯”,内容为:“远望巍巍塔七层,红灯点点倍加增;共灯三百八十一,请问顶层几盏灯?”(“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增)根据此诗,可以得出塔的顶层有3盏灯,你知道是怎样算出来的吗? 1.灵活运用等比数列前n项和公式的相关性质解题; 2.结合方程的思想方法解决与等比数列前n项和的有关问题。 知识点一、等比数列前n项和公式的函数特征 若{an}是等比数列，且公比q≠1，则前n项和Sn＝eq \f(a1,1－q)(1－qn)＝A(qn－1)。其中A＝eq \f(a1,q－1)。 知识点二、等比数列前n项和的性质 (1)若数列{an}为公比不为－1的等比数列，Sm为其前m项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m…仍构成等比数列。 (2)若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N＋)。 微思考　等比数列的前n项和的变式可以类比的函数是什么？ 提示：等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数。当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1的相应函数是正比例函数(常数项为0的一次函数)。 类型一 等比数列前n项和的性质 【例1】　(1)在等比数列{an}中，若前10项的和S10＝10，前20项的和S20＝30，则前30项的和S30＝________。 解析　解法一：设数列{an}的首项为a1，公比为q，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(a11－q10,1－q)＝10，,\f(a11－q20,1－q)＝30。))上面两式相除得1＋q10＝3，所以q10＝2。所以S30＝eq \f(a11－q30,1－q)＝eq \f(a11－q10,1－q) (1＋q10＋q20)＝10×(1＋2＋4)＝70。 解法二：因为S10，S20－S10，S30－S20仍成等比数列，又S10＝10，S20＝30，所以S30－30＝eq \f(30－102,10)，即S30＝70。 答案　70 答案与解析 (2)若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝________。 解析　显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)，又Sn＝eq \f(1,3)·3n＋t，所以t＝－eq \f(1,3)。 答案　－eq \f(1,3) 答案与解析 若数列{an}是公比为q的等比数列，则其有以下性质： ①Sn＋m＝Sn＋qnSm。 ②在等比数列中，若项数为2n(n∈N＋)，则eq \f(S偶,S奇)＝q；若项数为2n＋1，则eq \f(S奇－a1,S偶)＝q。 ③Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列(其中q≠－1)。 【变式训练】　在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n。 解　因为S2n≠2Sn，所以q≠1， 由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(a11－qn,1－q)＝48　①，,\f(a11－q2n,1－q)＝60　②，)) ②÷①得1＋qn＝eq \f(5,4)，即qn＝eq \f(1,4)　③。 将③代入①得eq \f(a1,1－q)＝64， 所以S3n＝eq \f(a11－q3n,1－q)＝64×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,43)))＝63。 类型二 an与Sn的综合应用 【例2】　数列{an}的前n项和Sn＝3n－2(n∈N＋)。求{an}的通项公式。 解　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝2·3n－1。 当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1不适合上式。 所以an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,2·3n－1，n≥2，n∈N＋。)) (1)已知Sn，通过an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2))求通项an，应特别注意n≥2时，an＝Sn－Sn－1。 (2)若数列{an}的前n项和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列。 【变式训练】　在数列{an}中，a1＝1，a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝eq \f(n＋1,2)an＋1(n∈N＋)，求数列{an}的通项公式。 解　由a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝eq \f(n＋1,2)an＋1，得 当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)·an－1＝eq \f(n,2)an， 两式作差得nan＝eq \f(n＋1,2)an＋1－eq \f(n,2)an，得(n＋1)an＋1＝3nan(n≥2)， 即数列{nan}从第二项起是公比为3的等比数列，且a1＝1，a2＝1，于是2a2＝2， 故当n≥2时，nan＝2·3n－2。于是an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,\f(2,n)·3n－2，n≥2。)) 类型三 等比数列前n项和的实际应用 【例3】　借贷10 000元，月利率为1%，每月以复利计息，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元(1.016≈1.061,1.015≈1.051)? 解　解法一：设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款an元(1≤n≤6)， 则a0＝10 000，a1＝1.01a0－a， a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a， … a6＝1.01a5－a＝…＝1.016a0－(1＋1.01＋…＋1.015)a。 由题意，可知a6＝0， 即1.016a0－(1＋1.01＋…＋1.015)a＝0， a＝eq \f(1.016×102,1.016－1)。因为1.016≈1.061， 所以a≈eq \f(1.061×102,1.061－1)≈1 739(元)。 故每月应支付1 739元。 解法二：一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为 S1＝104(1＋0.01)6＝104×(1.01)6(元)。 另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为 S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a＝eq \f(a[1＋0.016－1],1.01－1)＝a(1.016－1)×102(元)。 由S1＝S2，得a＝eq \f(1.016×102,1.016－1)≈1 739(元)。 故每月应支付1 739元。 解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列的项数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S＝P(1＋r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和。 【变式训练】　小华准备购买一部售价为5 000元的手机，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清。商家提出的付款方式为：购买2个月后第1次付款，再过2个月后第2次付款，…，购买12个月后第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%，每月利息按复利计算，求小华每期付款金额是多少。(参考数据：1.00812≈1.10) 解　解法一：设小华每期付款x元，第k个月末付款后的欠款本利为Ak元，则 A2＝5 000×(1＋0.008)2－x＝5 000×1.0082－x， A4＝A2(1＋0.008)2－x＝5 000×1.0084－1.0082x－x， …， A12＝5 000×1.00812－(1.00810＋1.0088＋…＋1.0082＋1)x＝0， 解得x＝eq \f(5 000×1.00812,1＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810) ＝eq \f(5 000×1.00812,\f(1－1.00826,1－1.0082))≈883.5。 故小华每期付款金额约为883.5元。 解法二：设小华每期付款x元，到第k个月时已付款及利息为Ak元，则A2＝x； A4＝A2(1＋0.008)2＋x＝x(1＋1.0082)； A6＝A4(1＋0.008)2＋x＝x(1＋1.0082＋1.0084)； …， A12＝x(1＋1.0082＋1.0084＋1.0086＋1.0088＋1.00810)。 因为购买12个月后付清欠款， 所以A12＝5 000×1.00812， 即5 000×1.00812＝x(1＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810)， 所以x＝eq \f(5 000×1.00812,1＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810)≈883.5。 故小华每期付款金额约为883.5元。 1．等比数列{an}中，a3＝3S2＋2，a4＝3S3＋2，则公比q等于(　　) A．2 B．eq \f(1,2) C．4 D．eq \f(1,4) 解析　因为a3＝3S2＋2，a4＝3S3＋2，所以a4－a3＝3(S3－S2)＝3a3，即a4＝4a3，所以q＝eq \f(a4,a3)＝4。 答案　C 答案与解析 2．在等比数列{an}中，a1＝2，前n项和为Sn，若数列{an＋1}也是等比数列，则Sn等于(　　) A．2n＋1－2 B．3n C．2n D．3n－1 解析　因为数列{an}为等比数列，所以an＝2qn－1，又因为数列{an＋1}也是等比数列，则(an＋1＋1)2＝(an＋1)(an＋2＋1)⇒aeq \o\al(2,n＋1)＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2⇒an＋an＋2＝2an＋1⇒an(1＋q2－2q)＝0⇒q＝1。即an＝2，所以Sn＝2n。故选C。 答案　C 答案与解析 3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于(　　) A．eq \f(1,8) B．－eq \f(1,8) C．eq \f(57,8) D．eq \f(55,8) 解析　因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，所以8(S9－S6)＝1，即S9－S6＝eq \f(1,8)，所以a7＋a8＋a9＝eq \f(1,8)。 答案　A 答案与解析 4．等比数列{an}共2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________。 解析　根据题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(S奇＋S偶＝－240，,S奇－S偶＝80，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(S奇＝－80，,S偶＝－160。))所以q＝eq \f(S偶,S奇)＝eq \f(－160,－80)＝2。 答案　2 答案与解析 5．已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝x·3n－1－eq \f(1,6)，则x＝________。 解析　解法一：因为Sn＝x·3n－1－eq \f(1,6)＝eq \f(x,3)·3n－eq \f(1,6)，由Sn＝A(qn－1)，得eq \f(x,3)＝eq \f(1,6)，所以x＝eq \f(1,2)。 解法二：当n＝1时，a1＝S1＝x－eq \f(1,6)；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2x·3n－2，因为{an}是等比数列，所以n＝1时也应适合an＝2x·3n－2，即2x·3－1＝x－eq \f(1,6)，解得x＝eq \f(1,2)。 答案　eq \f(1,2) 答案与解析 $$