5.3.2 第1课时 等比数列前n项和的概念(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教B版2019）

高中数学 选择性必修 第三册 B版 赢在微点 轻松课堂 数学 第五章 数列 5.3.2　等比数列的前n项和 第1课时　等比数列前n项和的概念 5.3　等比数列 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.2　第1课时　等比数列前n项和的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 —— —— 稳健启程 新知初步构建 自主预习·明新知 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.2　第1课时　等比数列前n项和的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.2　第1课时　等比数列前n项和的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.2　第1课时　等比数列前n项和的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.2　第1课时　等比数列前n项和的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 —— —— 细研深究 萃取知识精华 合作探究·攻重难 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.2　第1课时　等比数列前n项和的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.2　第1课时　等比数列前n项和的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.2　第1课时　等比数列前n项和的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.2　第1课时　等比数列前n项和的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.2　第1课时　等比数列前n项和的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.2　第1课时　等比数列前n项和的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.2　第1课时　等比数列前n项和的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.2　第1课时　等比数列前n项和的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.2　第1课时　等比数列前n项和的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.2　第1课时　等比数列前n项和的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.2　第1课时　等比数列前n项和的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 —— —— 即时训练 巩固当堂所学 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.2　第1课时　等比数列前n项和的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.2　第1课时　等比数列前n项和的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.2　第1课时　等比数列前n项和的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.2　第1课时　等比数列前n项和的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 　 一个人知道一则消息,他第一次对2个人说了,结果全城人中就有3个人知道了;这2个人又每人把消息告诉了2个人,结果全城人中就有7个人知道了。假如这样传播9次,全城中该有多少人知道了? 1.理解等比数列的前n项和公式并掌握公式推导思路; 2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题。 知识点一、等比数列前n项和公式： 设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，则Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1。)) 知识点二、错位相减法 1．推导等比数列前n项和的方法叫 法。 2．该方法一般适用于求一个 数列与一个 数列对应项积的前n项和，即若{bn}是公差d≠0的等差数列，{cn}是公比q≠1的等比数列，求数列{bn·cn}的前n项和Sn时，可以用这种方法。 错位相减 等差 等比 在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：a1，n，q，an，Sn。知道其中任意三个，可求其余两个。 更要注意的是应用该公式计算时，一定不要忽略q＝1情况的讨论。 类型一 运用等比数列前n项和公式求基本量 【例1】　在等比数列{an}中， (1)已知a1＝－1，a4＝64，求q和S4； (2)已知a1＝3，q＝2，求a6，S6； (3)已知a3＝3，S3＝9，求a1，q。 解　(1)因为a4＝a1q3，所以64＝－q3。所以q＝－4， 所以S4＝eq \f(a1－a4q,1－q)＝eq \f(－1－64×－4,1－－4)＝51。 (2)a6＝a1q5＝3×25＝96。 S6＝eq \f(a11－q6,1－q)＝eq \f(3×1－26,1－2)＝189。 (3)由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a3＝a1q2＝3　①，,S3＝a11＋q＋q2＝9　②，)) 令②÷①，得eq \f(1＋q＋q2,q2)＝3， 所以2q2－q－1＝0，所以q＝1或q＝－eq \f(1,2)。 当q＝1时，a1＝3；当q＝－eq \f(1,2)时，a1＝12。 在等比数列{an}中，首项a1与公比q是两个最基本的元素；有关等比数列的问题，均可化成关于a1，q的方程或方程组求解。解题过程中，要注意： (1)选择适当的公式。 (2)利用等比数列的有关性质。 (3)注意在使用等比数列前n项和公式时，要考虑q是否等于1。 【变式训练】　(1)在等比数列{an}中，若a1＋a3＝10，a4＋a6＝eq \f(5,4)，求a4和S5。 解　设公比为q，由通项公式及已知条件得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＋a1q2＝10，,a1q3＋a1q5＝\f(5,4)，)) 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a11＋q2＝10　①，,a1q31＋q2＝\f(5,4)　②。))因为a1≠0,1＋q2≠0，所以②÷①得，q3＝eq \f(1,8)，即q＝eq \f(1,2)， 所以a1＝8。 所以a4＝a1q3＝8×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝1， S5＝eq \f(a11－q5,1－q)＝eq \f(8×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))5)),1－\f(1,2))＝eq \f(31,2)。 (2)求数列{(－1)n＋2}的前100项的和。 解　解法一：a1＝(－1)3＝－1，q＝－1。 所以S100＝eq \f(－1[1－－1100],1－－1)＝0。 解法二：数列{(－1)n＋2}为－1,1，－1,1，…， 所以S100＝50×(－1＋1)＝0。 类型二 错位相减法求和 【例2】　已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比数列。 (1)求{an}的通项公式； (2)记bn＝eq \f(an,3n)的前n项和为Tn，求Tn。 解　(1)设正项等差数列{an}的公差为d，则d>0。 因为S3＝12，即a1＋a2＋a3＝12， 所以3a2＝12，所以a2＝4。 又2a1，a2，a3＋1成等比数列， 所以aeq \o\al(2,2)＝2a1×(a3＋1)， 即42＝2(4－d)×(4＋d＋1)， 解得d＝3或d＝－4(舍去)， 所以a1＝a2－d＝1， 故数列{an}的通项公式为an＝3n－2。 (2)bn＝eq \f(an,3n)＝eq \f(3n－2,3n)＝(3n－2)×eq \f(1,3n)， 所以Tn＝1×eq \f(1,3)＋4×eq \f(1,32)＋7×eq \f(1,33)＋…＋(3n－2)×eq \f(1,3n)　①， ①×eq \f(1,3)得，eq \f(1,3)Tn＝1×eq \f(1,32)＋4×eq \f(1,33)＋7×eq \f(1,34)＋…＋(3n－5)×eq \f(1,3n)＋(3n－2)×eq \f(1,3n＋1)　②。 ①－②得，eq \f(2,3)Tn＝eq \f(1,3)＋3×eq \f(1,32)＋3×eq \f(1,33)＋3×eq \f(1,34)＋…＋3×eq \f(1,3n)－(3n－2)×eq \f(1,3n＋1)＝eq \f(1,3)＋3×eq \f(\f(1,32)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3n－1))),1－\f(1,3))－(3n－2)×eq \f(1,3n＋1)＝eq \f(5,6)－eq \f(1,2)×eq \f(1,3n－1)－(3n－2)×eq \f(1,3n＋1)， 所以Tn＝eq \f(5,4)－eq \f(1,4)×eq \f(1,3n－2)－eq \f(3n－2,2)×eq \f(1,3n)＝eq \f(5,4)－eq \f(6n＋5,4)×eq \f(1,3n)。 一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和时，可采用错位相减法。 【变式训练】　已知数列{an}的通项公式an＝n·2n，求该数列的前n项和Sn。 解　因为Sn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n·2n， 2Sn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1， 所以－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1， 所以Sn＝n·2n＋1－(2＋22＋23＋…＋2n) ＝n·2n＋1－eq \f(21－2n,1－2) ＝n·2n＋1－(2n＋1－2) ＝(n－1)·2n＋1＋2。 1．等比数列{an}的各项都是正数，若a1＝81，a5＝16，则它的前5项的和是(　　) A．179 B．211 C．243 D．275 解析　因为q4＝eq \f(a5,a1)＝eq \f(16,81)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))4，所以q＝eq \f(2,3)，所以S5＝eq \f(a1－a5q,1－q)＝eq \f(81－16×\f(2,3),1－\f(2,3))＝211。 答案　B 答案与解析 2．等比数列的前n项和Sn＝k·3n＋1，则k的值为(　　) A．全体实数 B．－1 C．1 D．3 解析　　因为Sn==-·qn,又Sn=1+k·3n,所以=1,k=-=-1。 答案　B 答案与解析 答案与解析 3．在等比数列{an}中，若q＝－2，S5＝44，则a1的值为(　　) A．4 B．－4 C．2 D．－2 A $$