5.3.1 第1课时 等比数列的定义与通项公式(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教B版2019）

高中数学 选择性必修 第三册 B版 赢在微点 轻松课堂 数学 第五章 数列 5.3.1　等比数列 第1课时　等比数列的定义与通项公式 5.3　等比数列 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.1　第1课时　等比数列的定义与通项公式 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 —— —— 稳健启程 新知初步构建 自主预习·明新知 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.1　第1课时　等比数列的定义与通项公式 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.1　第1课时　等比数列的定义与通项公式 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.1　第1课时　等比数列的定义与通项公式 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.1　第1课时　等比数列的定义与通项公式 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.1　第1课时　等比数列的定义与通项公式 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 —— —— 细研深究 萃取知识精华 合作探究·攻重难 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.1　第1课时　等比数列的定义与通项公式 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.1　第1课时　等比数列的定义与通项公式 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.1　第1课时　等比数列的定义与通项公式 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.1　第1课时　等比数列的定义与通项公式 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.1　第1课时　等比数列的定义与通项公式 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.1　第1课时　等比数列的定义与通项公式 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.1　第1课时　等比数列的定义与通项公式 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.1　第1课时　等比数列的定义与通项公式 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.1　第1课时　等比数列的定义与通项公式 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.1　第1课时　等比数列的定义与通项公式 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.1　第1课时　等比数列的定义与通项公式 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.1　第1课时　等比数列的定义与通项公式 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.1　第1课时　等比数列的定义与通项公式 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.1　第1课时　等比数列的定义与通项公式 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.1　第1课时　等比数列的定义与通项公式 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.1　第1课时　等比数列的定义与通项公式 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.1　第1课时　等比数列的定义与通项公式 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.1　第1课时　等比数列的定义与通项公式 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.1　第1课时　等比数列的定义与通项公式 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 —— —— 即时训练 巩固当堂所学 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.1　第1课时　等比数列的定义与通项公式 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.1　第1课时　等比数列的定义与通项公式 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.1　第1课时　等比数列的定义与通项公式 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.1　第1课时　等比数列的定义与通项公式 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.1　第1课时　等比数列的定义与通项公式 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.1　第1课时　等比数列的定义与通项公式 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 　 将一张厚度为0.044 mm的白纸一次又一次地对折,对折1 000次(假设是可能的),纸的厚度将是4.4×10296 m,相当于约5.0×10292个珠穆朗玛峰的高度和,这可能吗?一位数学家曾经说过:你如果能将一张报纸对折38次,我就能顺着它在今天晚上爬上月球。将一张报纸对折会有那么大的高度吗?这就是我们今天要解决的问题。 1.理解等比数列的定义,并能利用定义判断或证明一个数列是否为等比数列; 2.掌握等比数列的通项公式的概念,能利用通项公式求某一项。 同一 公比 知识点一、等比数列的定义 如果数列{an}从第 项起，每一项与它的 一项之 都等于 个常数q，即eq \f(an＋1,an)＝q恒成立，则称{an}为等比数列，其中q称为等比数列的 。 2 前 比 知识点二、等比数列的通项公式 一般地，如果等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则等比数列的通项公式为an＝ (n∈N＋)。推广形式为：an＝am· (n，m∈N＋)。 a1qn－1 qn－m 类比等差数列通项公式的推导过程，可得到等比数列通项公式。 等差数列通项公式的推导是借助累加消去中间项，等比数列则可用累乘。根据等比数列的定义得 eq \f(a2,a1)＝q，eq \f(a3,a2)＝q，eq \f(a4,a3)＝q，…，eq \f(an,an－1)＝q(n≥2)。 将上面n－1个等式的左、右两边分别相乘， 得eq \f(a2,a1)·eq \f(a3,a2)·eq \f(a4,a3)·…·eq \f(an,an－1)＝qn－1，化简得eq \f(an,a1)＝qn－1，即an＝a1qn－1(n≥2)。 当n＝1时，上面的等式也成立。 所以an＝a1qn－1(n∈N＋)。 微思考　等比数列各项满足什么条件？ 提示：等比数列各项均不为零。 类型一 等比数列的判定 【例1】　判断下列数列是否为等比数列。 (1)1,3,32,33，…，3n－1，…； (2)－1,1,2,4,8，…； (3)a1，a2，a3，…，an，…。 解　(1)记数列为{an}，显然a1＝1，a2＝3，…，an＝3n－1，…。 因为eq \f(an,an－1)＝eq \f(3n－1,3n－2)＝3(n≥2，n∈N＋)， 所以数列为等比数列，且公比为3。 (2)记数列为{an}，显然a1＝－1，a2＝1，a3＝2，…， 因为eq \f(a2,a1)＝－1≠eq \f(a3,a2)＝2， 所以此数列不是等比数列。 (3)当a＝0时，数列为0,0,0，…是常数列，不是等比数列； 当a≠0时，数列为a1，a2，a3，a4，…，an，…，显然此数列为等比数列，且公比为a。 判定等比数列，要抓住3个要点： ①从第二项起。②要判定每一项，不能有例外。③每一项与前一项的比是同一个常数，且不能为0。 【变式训练】　下面四个数列： ①1,1,2,4,8,16,32,64； ②在数列{an}中，已知eq \f(a2,a1)＝2，eq \f(a3,a2)＝2； ③常数列a，a，…，a，…； ④在数列{an}中，eq \f(an＋1,an)＝q(q≠0)，其中n∈N＋。 其中是等比数列的有________。(只填序号) ④ 类型二 等比数列的证明 【例2】　数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2,3，…)。求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列。 解　a2＝3a1－2×2＋3＝－4，a3＝3a2－2×3＋3＝－15。 下面证明{an－n}是等比数列： eq \f(an＋1－n＋1,an－n) ＝eq \f(3an－2n＋1＋3－n＋1,an－n) ＝eq \f(3an－3n,an－n)＝3(n＝1,2,3，…)。 又a1－1＝－2，所以{an－n}是以－2为首项，以3为公比的等比数列。 判断一个数列是否是等比数列可以通过：eq \f(an＋1,an)＝q(q为常数且不为零)⇔{an}为等比数列或者an＝a1qn－1(a1≠0且q≠0)⇔{an}为等比数列。 【变式训练】　已知数列{an}是首项为2，公差为－1的等差数列，令bn＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))an，求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式。 解　由已知得，an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n， 故eq \f(bn＋1,bn)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3－n＋1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3－n)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3－(n＋1)－3＋n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－1＝2， 所以数列{bn}是等比数列。 因为b1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3－1＝eq \f(1,4)， 所以bn＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))×2n－1＝2n－3。 类型三 等比数列通项公式的应用 【例3】　在等比数列{an}中， (1)a4＝2，a7＝8，求a10； (2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n； (3)a3＝2，a2＋a4＝eq \f(20,3)，求an。 解　(1)因为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a4＝a1q3，,a7＝a1q6，)) 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1q3＝2　①，,a1q6＝8　②。)) 由eq \f(②,①)，得q3＝4， 由an＝am·qn－m，得a10＝ a7·q3＝32。 (2)解法一：因为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＋a5＝a1q＋a1q4＝18　③，,a3＋a6＝a1q2＋a1q5＝9　④，)) 由eq \f(④,③)，得q＝eq \f(1,2)，从而a1＝32，又an＝1， 所以32×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1＝1，即26－n＝20， 所以n＝6。 解法二：因为a3＋a6＝q(a2＋a5)， 所以q＝eq \f(1,2)。 由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32。 由an＝a1qn－1＝1，知n＝6。 (3)设等比数列{an}的公比为q，则q≠0。 a2＝eq \f(a3,q)＝eq \f(2,q)，a4＝a3q＝2q， 所以eq \f(2,q)＋2q＝eq \f(20,3)，解得q1＝eq \f(1,3)，q2＝3。 当q＝eq \f(1,3)时，a1＝18， 所以an＝18×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n－1＝2×33－n。 当q＝3时，a1＝eq \f(2,9)， 所以an＝eq \f(2,9)×3n－1＝2×3n－3。 综上，当q＝eq \f(1,3)时，an＝2×33－n； 当q＝3时，an＝2×3n－3。 a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可迎刃而解。此类问题求解的通法是根据条件，建立关于a1和q的方程(组)，求出a1和q。 【变式训练】　在等比数列{an}中： (1)已知a1＝3，q＝－2，求a6； (2)已知a3＝20，a6＝160，求an。 解　(1)由等比数列的通项公式得，a6＝3×(－2)6－1＝－96。 (2)设等比数列的公比为q， 那么eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1q2＝20，,a1q5＝160，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(q＝2，,a1＝5。)) 所以an＝a1qn－1＝5×2n－1。 类型四 构造等比数列 【例4】　已知数列{an}满足an＋1＝2an＋3×5n，a1＝6，求数列{an}的通项公式。 解　设an＋1＋x×5n＋1＝2(an＋x×5n)　①， 将an＋1＝2an＋3×5n代入①式， 得2an＋3×5n＋x×5n＋1＝2an＋2x×5n， 等式两边消去2an， 得3×5n＋x×5n＋1＝2x×5n， 两边除以5n，得3＋5x＝2x，则x＝－1， 代入①式得an＋1－5n＋1＝2(an－5n)　②。 由a1－51＝6－5＝1≠0及②式得an－5n≠0， 则eq \f(an＋1－5n＋1,an－5n)＝2，则数列{an－5n}是以1为首项，2为公比的等比数列， 则an－5n＝2n－1，故an＝2n－1＋5n。 型如an＋1＝pan＋q(其中p，q为常数，且pq(p－1)≠0)可用待定系数法求得通项公式，步骤如下。 第一步，假设将递推公式改写为an＋1＋t＝p(an＋t)； 第二步，由待定系数法，解得t＝eq \f(q,p－1)； 第三步，写出数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an＋\f(q,p－1)))的通项公式； 第四步，写出数列{an}通项公式。 【变式训练】　设数列{an}满足关系式：an＝eq \f(3,2)an－1＋5(n≥2，n∈N＋)，a1＝－eq \f(17,2)，求数列{an}的通项公式。 解　由题意， 得an＋10＝eq \f(3,2)(an－1＋10)(n≥2，n∈N＋)， 所以数列{an＋10}是首项为a1＋10＝eq \f(3,2)，公比为eq \f(3,2)的等比数列， 所以an＋10＝eq \f(3,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n－1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n， 即an＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n－10。 1．在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，则公比q为(　　) A．2 B．3 C．4 D．8 解析　由a5＝a2q3，得q3＝8，所以q＝2。 答案　A 答案与解析 2．在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝64，则a3等于(　　) A．16 B．－16 C．32 D．－32 解析　因为a4＝a1q3，得q＝2，所以a3＝eq \f(a4,q)＝32。故选C。 答案　C 答案与解析 3．已知数列a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则实数a满足(　　) A．a≠1 B．a≠0或a≠1 C．a≠0 D．a≠0且a≠1 解析　因为a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，所以a满足a≠0，a(1－a)≠0，a(1－a)2≠0，所以a≠0且a≠1。 答案　D 答案与解析 4．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7＝________。 解析　因为{an}为等比数列，所以eq \f(a2＋a3,a1＋a2)＝q＝2。又a1＋a2＝3，所以a1＝1，故a7＝1×26＝64。 答案　64 答案与解析 5．已知数列{an}，a1＝2，an＋1＝2an＋3。 (1)求证：{an＋3}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式。 解　(1)证明：由an＋1＝2an＋3， 得an＋1＋3＝2an＋6＝2(an＋3)， 所以eq \f(an＋1＋3,an＋3)＝2。 所以{an＋3}是以a1＋3＝5为首项，以2为公比的等比数列。 (2)由(1)知an＋3＝5·2n－1， 所以an＝5×2n－1－3。 $$