5.2.2 第2课时 等差数列前n项和的性质(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教B版2019）

高中数学 选择性必修 第三册 B版 赢在微点 轻松课堂 数学 第五章 数列 5.2.2　等差数列的前n项和 第2课时　等差数列前n项和的性质 5.2　等差数列 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.2　第2课时　等差数列前n项和的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 —— —— 稳健启程 新知初步构建 自主预习·明新知 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.2　第2课时　等差数列前n项和的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.2　第2课时　等差数列前n项和的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.2　第2课时　等差数列前n项和的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.2　第2课时　等差数列前n项和的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 —— —— 细研深究 萃取知识精华 合作探究·攻重难 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.2　第2课时　等差数列前n项和的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.2　第2课时　等差数列前n项和的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.2　第2课时　等差数列前n项和的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.2　第2课时　等差数列前n项和的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.2　第2课时　等差数列前n项和的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.2　第2课时　等差数列前n项和的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.2　第2课时　等差数列前n项和的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.2　第2课时　等差数列前n项和的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.2　第2课时　等差数列前n项和的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.2　第2课时　等差数列前n项和的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.2　第2课时　等差数列前n项和的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.2　第2课时　等差数列前n项和的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.2　第2课时　等差数列前n项和的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.2　第2课时　等差数列前n项和的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.2　第2课时　等差数列前n项和的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.2　第2课时　等差数列前n项和的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.2　第2课时　等差数列前n项和的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 —— —— 即时训练 巩固当堂所学 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.2　第2课时　等差数列前n项和的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.2　第2课时　等差数列前n项和的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.2　第2课时　等差数列前n项和的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.2　第2课时　等差数列前n项和的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.2　第2课时　等差数列前n项和的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.2　第2课时　等差数列前n项和的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 　 等差数列的前n项和公式是一个关于n的函数,那么这个函数和二次函数有什么关系呢?等差数列的前n项和公式又具有什么独特的性质呢?这一节课我们就来研究一下这些问题。 1.掌握等差数列与其前n项和Sn有关的一些性质,能熟练运用这些性质解题; 2.会利用等差数列前n项和的函数特征求最值。 知识点一、等差数列前n项和的性质 性质一：等差数列中依次k项之和Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列。 性质二：等差数列的项数为2n(n∈N＋)，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，eq \f(S偶,S奇)＝eq \f(an＋1,an)(S奇≠0)；若等差数列的项数为2n－1(n∈N＋)，则S2n－1＝(2n－1)an(an是数列的中间项)，S奇－S偶＝an，eq \f(S偶,S奇)＝eq \f(n－1,n)(S奇≠0)。 性质三：{an}为等差数列⇒eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))为等差数列。 知识点二、等差数列前n项和Sn的最值 1．公式Sn＝na1＋eq \f(nn－1d,2)可化成关于n的表达式：Sn＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n。当d≠0时，Sn关于n的表达式是一个常数项为零的二次式，即点(n，Sn)在其相应的 函数的图像上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，它的图像是抛物线y＝eq \f(d,2)x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))x上横坐标为正整数的一系列孤立的点。 2．在等差数列{an}中，当a1>0，d<0时，Sn有 值，使Sn取得最值的n可由不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))确定； 当a1<0，d>0时，Sn有 值，使Sn取得最值的n可由不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0))确定。 二次 最大 最小 微思考　{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{|an|}的前n项和也是Sn吗？ 提示：不一定。 类型一 等差数列前n项和性质一 【例1】　已知等差数列{an}，Sm，S2m，S3m分别是其前m，前2m，前3m项和，若Sm＝30，S2m＝100，求S3m。 解　解法一：设{an}的公差为d，依据题设和前n项和公式有： eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(ma1＋\f(mm－1,2)d＝30，　①,2ma1＋\f(2m2m－1,2)d＝100，　②)) ②－①，得ma1＋eq \f(m3m－1,2)d＝70， 所以S3m＝3ma1＋eq \f(3m3m－1,2)d＝ 3eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ma1＋\f(m3m－1,2)d))＝3×70＝210。 解法二：Sm、S2m－Sm、S3m－S2m成等差数列， 所以30、70、S3m－100成等差数列。 所以2×70＝30＋S3m－100。 所以S3m＝210。 解法三：在等差数列{an}中， 因为Sn＝a1n＋eq \f(1,2)n(n－1)d， 所以eq \f(Sn,n)＝a1＋(n－1)eq \f(d,2)。 即数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))构成首项为a1，公差为eq \f(d,2)的等差数列。 依题中条件知eq \f(Sm,m)、eq \f(S2m,2m)、eq \f(S3m,3m)成等差数列， 所以2·eq \f(S2m,2m)＝eq \f(S3m,3m)＋eq \f(Sm,m)。 所以S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210。 在等差数列中，前n项和Sn的问题利用公式可列出关于a1和d的方程(组)。要注意等差数列中Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也成等差数列且公差为m2d，eq \f(Sm,m)，eq \f(S2m,2m)，eq \f(S3m,3m)，…也成等差数列，用此性质可简化运算。 【变式训练】　已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若eq \f(S3,S6)＝eq \f(1,3)，则eq \f(S6,S12)的值为________。 解析　设S3＝a，S6＝3a，根据S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是一个首项为a，公差为a的等差数列，各项分别为a,2a,3a,4a。eq \f(S6,S12)＝eq \f(3a,a＋2a＋3a＋4a)＝eq \f(3,10)。 答案　eq \f(3,10) 答案与解析 类型二 等差数列前n项和性质二 【例2】　项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数。 解　设等差数列共2n＋1项，则奇数项有n＋1项，偶数项有n项，中间项是第n＋1项，记为an＋1，设公差为d， 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n＋1＝44，,S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝33。)) 所以S奇－S偶＝a1＋nd＝an＋1＝11， 即中间项an＋1＝11。 又S2n＋1＝S奇＋S偶＝77。 所以eq \f(2n＋1a1＋a2n＋1,2)＝eq \f(2n＋1·2an＋1,2)＝77， 所以(2n＋1)×11＝77， 所以2n＋1＝7， 即数列的中间项为11，这个数列共7项。 若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d，则当项数为偶数2n时， S偶－S奇＝nd，eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(an,an＋1)；当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(n,n－1)。 【变式训练】　已知某等差数列共有20项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，求其公差。 解　S偶－S奇＝10d⇒30－15＝10d⇒d＝eq \f(3,2)。 类型三 求等差数列前n项和的最值问题 【例3】　数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2。 (1)求{an}的通项公式； (2)求{an}的前多少项和最大。 解　(1)解法一：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝34－2n， 又当n＝1时，a1＝S1＝33－1＝32满足an＝34－2n。 故{an}的通项公式为an＝34－2n。 解法二：由Sn＝－n2＋33n知Sn是关于n的缺常数项的二次型函数，所以{an}是等差数列，由Sn的结构特征知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(d,2)＝－1，,a1－\f(d,2)＝33，)) 解得a1＝32，d＝－2，所以an＝34－2n。 (2)解法一：令an≥0，得34－2n≥0， 所以n≤17， 故数列{an}的前17项大于或等于零。 又a17＝0，故数列{an}的前16项或前17项的和最大。 解法二：因为y＝－x2＋33x的对称轴为x＝eq \f(33,2)，距离eq \f(33,2)最近的整数为16,17。 所以由Sn＝－n2＋33n的图像可知： 当n≤17时，an≥0，当n≥18时，an<0， 故数列{an}的前16项或前17项的和最大。 求等差数列前n项和Sn最值的方法 (1)利用通项公式寻找正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和为最大(小)。寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0))来寻找。 (2)借助二次函数的图像及性质求最值。 【变式训练】　已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0。 (1)求数列{an}的通项公式； (2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？ 解　(1)由a1＝9，a4＋a7＝0， 得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2， 所以an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n(n∈N＋)。 (2)解法一：由(1)知，a1＝9，d＝－2， Sn＝9n＋eq \f(nn－1,2)·(－2)＝－n2＋10n＝－(n－5)2＋25， 所以当n＝5时，Sn取得最大值。 解法二：由(1)知，a1＝9，d＝－2<0， 所以{an}是递减数列。 令an≥0，则11－2n≥0，解得n≤eq \f(11,2)。 因为n∈N＋，所以n≤5时，an>0，n≥6时，an<0。 所以当n＝5时，Sn取得最大值。 1．等差数列{an}共有2n＋1项，其中奇数项之和为4，偶数项之和为3，则n的值是(　　) A．3 B．5 C．7 D．9 解析　S奇＝4，S偶＝3，又S奇＝(n＋1)·an＋1，S偶＝nan＋1，所以eq \f(n＋1,n)＝eq \f(4,3)，n＝3。故选A。 答案　A 答案与解析 2．设Sn为公差不为零的等差数列{an}的前n项和。若S9＝3a8，则eq \f(S15,3a5)＝(　　) A．15 B．17 C．19 D．21 解析　解法一：由于S9＝3a8＝eq \f(3,2)(a1＋a15)，即S9＝9a5＝eq \f(S15,5)，所以eq \f(S15,3a5)＝15。 解法二：设数列{an}的公差为d，则S9＝3a8⇒9a1＋36d＝3(a1＋7d)⇒a1＝－eq \f(5d,2)，则eq \f(S15,3a5)＝eq \f(15a1＋\f(15×14d,2),3a1＋4d)＝15。 答案　A 答案与解析 3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn,7a5＋5a9＝0，且a9>a5，Sn取得最小值时n的值为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析　由7a5＋5a9＝0，即7a1＋28d＋5a1＋40d＝0，得eq \f(a1,d)＝－eq \f(17,3)。又a9>a5，所以d>0，a1<0。因为函数y＝eq \f(d,2)x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))x的图像的对称轴为x＝eq \f(1,2)－eq \f(a1,d)＝eq \f(1,2)＋eq \f(17,3)＝eq \f(37,6)，取最接近的整数6，故Sn取得最小值时n的值为6。 答案　B 答案与解析 4．等差数列{an}中，S2＝4，S4＝9，则S6＝________。 解析　由S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，所以4＋(S6－9)＝2×5，所以S6＝15。 答案　15 答案与解析 5．若等差数列{an}的前n项和为Sn＝2n2＋3n，p－q＝5，则ap－aq＝________。 解析　由Sn＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n＝2n2＋3n知公差d＝4，所以ap－aq＝(p－q)d＝5×4＝20。 答案　20 答案与解析 $$