5.2.2 第1课时 等差数列前n项和的概念(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教B版2019）

高中数学 选择性必修 第三册 B版 赢在微点 轻松课堂 数学 第五章 数列 5.2.2　等差数列的前n项和 第1课时　等差数列前n项和的概念 5.2　等差数列 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.2　第1课时　等差数列前n项和的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 —— —— 稳健启程 新知初步构建 自主预习·明新知 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.2　第1课时　等差数列前n项和的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.2　第1课时　等差数列前n项和的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.2　第1课时　等差数列前n项和的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.2　第1课时　等差数列前n项和的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.2　第1课时　等差数列前n项和的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 —— —— 细研深究 萃取知识精华 合作探究·攻重难 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.2　第1课时　等差数列前n项和的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.2　第1课时　等差数列前n项和的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.2　第1课时　等差数列前n项和的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.2　第1课时　等差数列前n项和的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.2　第1课时　等差数列前n项和的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.2　第1课时　等差数列前n项和的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.2　第1课时　等差数列前n项和的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.2　第1课时　等差数列前n项和的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.2　第1课时　等差数列前n项和的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.2　第1课时　等差数列前n项和的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.2　第1课时　等差数列前n项和的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.2　第1课时　等差数列前n项和的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.2　第1课时　等差数列前n项和的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.2　第1课时　等差数列前n项和的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.2　第1课时　等差数列前n项和的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.2　第1课时　等差数列前n项和的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 —— —— 即时训练 巩固当堂所学 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.2　第1课时　等差数列前n项和的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.2　第1课时　等差数列前n项和的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.2　第1课时　等差数列前n项和的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.2　第1课时　等差数列前n项和的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 　 泰姬陵坐落于印度古都阿格,是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建,她宏伟壮观,纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷,成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰,图案之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角形图案,以相同大小的圆宝石镶饰而成,共有100层(如图),奢靡之程度,可见一斑。你知道这个图案一共用了多少颗宝石吗? 1.理解等差数列前n项和公式的推导过程; 2.掌握等差数列前n项和公式; 3.熟练掌握等差数列的五个量a1,d,n,an,Sn的关系。 知识点一、等差数列前n项和公式 1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sn＝ 。 2．因为an＝a1＋(n－1)d，所以等差数列前n项求和公式也可以改写为 Sn＝ 。 eq \f(na1＋an,2) na1＋eq \f(nn－1d,2) 知识点二、a1，d，n，an，Sn知三求二。 1．等差数列的前n项和公式有两个，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量，解答方法就是解方程组。 2．当已知首项a1和末项an及项数n时，用公式Sn＝eq \f(na1＋an,2)来求和，用此公式时常结合等差数列的性质。 3．当已知首项a1和公差d及项数n时，用公式Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d来求和。 知识点三、数列中an与Sn的关系 数列中an与Sn的关系：对任意数列{an}，Sn与an的关系可以表示为 an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1( ，n＝1，, ，n≥2。)) S1 Sn－Sn－1 等差数列的前n项和公式 倒序相加法是解决等差数列求和问题的基本方法，利用倒序相加法可以推出等差数列的前n项和公式。 类型一 等差数列前n项和应用 【例1】　在等差数列{an}中， (1)已知S8＝24，S12＝84，求a1和d； (2)已知a6＝20，S5＝10，求a8和S8； (3)已知a1＝－3，a2＝5，求S10； (4)已知a16＝3，求S31。 解　(1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(S8＝8a1＋28d＝24，,S12＝12a1＋66d＝84，)) 得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝－4，,d＝2。))所以a1＝－4，d＝2。 (2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a6＝a1＋5d＝20，,S5＝5a1＋10d＝10，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝－10，,d＝6。)) 所以a8＝a6＋2d＝32，S8＝eq \f(8a1＋a8,2)＝88。 (3)解法一：因为a1＝－3，a2＝5， 所以公差d＝a2－a1＝8， 所以S10＝10×(－3)＋eq \f(10×9,2)×8＝330。 解法二：公差d＝a2－a1＝8，a10＝a1＋(10－1)d＝－3＋72＝69， 所以S10＝eq \f(10a1＋a10,2)＝eq \f(10×－3＋69,2)＝330。 (4)S31＝eq \f(a1＋a31,2)×31＝a16×31＝93。 在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，均可化成有关a1，d的方程或方程组求解。解题过程中，要注意：(1)选择适当的公式；(2)合理利用等差数列的有关性质。 【变式训练】　在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n。 解　由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(an＝a1＋n－1d，,Sn＝na1＋\f(nn－1,2)d，)) 得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＋2n－1＝11，,na1＋\f(nn－1,2)×2＝35，)) 解方程组得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(n＝5，,a1＝3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(n＝7，,a1＝－1。)) 类型二 由Sn求an 【例2】　(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2－3n，求证数列{an}是等差数列。 证明　a1＝S1＝1－3＝－2， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－3n)－[(n－1)2－3(n－1)]＝2n－4， 当n＝1时，2n－4＝－2＝a1， 所以an＝2n－4。 又因为an－an－1＝(2n－4)－[2(n－1)－4]＝2(n≥2)， 所以{an}是等差数列。 (2)已知数列{an}的前n项和Sn＝3＋2n，求an。 解 ①当n＝1时，a1＝S1＝3＋2＝5。 ②当n≥2时，Sn－1＝3＋2n－1，又Sn＝3＋2n， 所以an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1。 又当n＝1时，a1＝5≠21－1＝1， 所以an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(5，n＝1，,2n－1，n≥2。)) 一般地，an与Sn有如下关系 an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2。)) an＝Sn－Sn－1并非对所有的n∈N＋都成立，而只对n≥2的正整数成立。由Sn求通项公式an时，要分n＝1和n≥2两种情形，然后验证n＝1时是否满足n≥2的解析式，若不满足，则用分段函数的形式表示。 【变式训练】　已知数列{an}中，an>0，Sn是数列{an}的前n项和，且an＋eq \f(1,an)＝2Sn，求an。 解　将an＋eq \f(1,an)＝2Sn变形为aeq \o\al(2,n)＋1＝2Snan。 将an＝Sn－Sn－1(n≥2)代入并化简， 得Seq \o\al(2,n)－Seq \o\al(2,n－1)＝1。 由已知可得a1＋eq \f(1,a1)＝2a1，则S1＝a1＝1。 所以数列{Seq \o\al(2,n)}是公差为1，首项为1的等差数列。 所以Seq \o\al(2,n)＝1＋(n－1)·1＝n。 因为an>0，所以Sn>0。所以Sn＝eq \r(n)。 所以当n≥2时，an＝eq \r(n)－eq \r(n－1)。 而当n＝1时，a1＝1也适合上式。 所以数列{an}的通项公式为an＝eq \r(n)－eq \r(n－1)，n∈N＋。 类型三 等差数列Sn的实际应用 【例3】　(1)一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n等于(　　) A．12 B．16 C．9 D．16或9 解析　an＝120°＋5°(n－1)＝5°n＋115°，an<180°，所以n<13，n∈N＋，由n边形内角和定理得(n－2)×180°＝120°n＋eq \f(nn－1,2)×5°，解得n＝16或n＝9，又n<13，n∈N＋，所以n＝9。 答案　C 答案与解析 (2)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树的树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米。 解析　记公路一侧所植的树依次记为第1棵、第2课、第3棵、…、第20棵，设在第n棵树的树坑旁放置所有树苗，领取树苗往返所走的路程总和为f(n)(n为正整数)，则eq \f(1,2)f(n)＝[10＋20＋…＋10(n－1)]＋[10＋20＋…＋10(20－n)]＝5(n2－n)＋5(20－n)(21－n)＝5(n2－n)＋5(n2－41n＋420)＝10n2－210n＋2 100，所以f(n)＝20(n2－21n＋210)，相应的二次函数图像关于n＝10.5对称，结合n为整数，可得当n＝10或11时，f(n)的最小值为2 000米。 答案　2 000 答案与解析 应用等差数列解决实际问题的一般思路 【变式训练】　某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%。若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？ 解　设每次交款数额依次为a1，a2，…，a20， 则a1＝50＋1 000×1%＝60， a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5， … a10＝50＋(1 000－9×50)×1%＝55.5， 即第10个月应付款55.5元。 由于{an}是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列， 所以有S20＝eq \f(60＋60－19×0.5,2)×20＝1 105， 即全部付清后实际付款1 105＋150＝1 255元。 1．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a17＝10，则S19的值为(　　) A．55 B．95 C．100 D．不能确定 2．若等差数列{an}的前三项的和S3＝9，a1＝1，则a2＝(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 B A 3．设数列{an}的前n项和为Sn＝2－2·3n，则通项公式an＝________。 4．在等差数列{an}中，a1＝1，a3＋a5＝14，其前n项和Sn＝100，则n＝________。 －4·3n－1 10 5．等差数列{an}的前n项和记为Sn。已知a10＝30，a20＝50。 (1)求通项an； (2)若Sn＝242，求n。 解　(1)由an＝a1＋(n－1)d，a10＝30，a20＝50，得方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＋9d＝30，,a1＋19d＝50。))解得a1＝12，d＝2。所以an＝2n＋10。 (2)由Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d，Sn＝242，得方程12n＋eq \f(nn－1,2)×2＝242。解得n＝11或n＝－22(舍去)。 $$