5.2.1 第2课时 等差数列的性质(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教B版2019）

高中数学 选择性必修 第三册 B版 赢在微点 轻松课堂 数学 第五章 数列 5.2.1　等差数列 第2课时　等差数列的性质 5.2　等差数列 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.1　第2课时　等差数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 —— —— 稳健启程 新知初步构建 自主预习·明新知 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.1　第2课时　等差数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.1　第2课时　等差数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.1　第2课时　等差数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 —— —— 细研深究 萃取知识精华 合作探究·攻重难 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.1　第2课时　等差数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.1　第2课时　等差数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.1　第2课时　等差数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.1　第2课时　等差数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.1　第2课时　等差数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.1　第2课时　等差数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.1　第2课时　等差数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.1　第2课时　等差数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.1　第2课时　等差数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.1　第2课时　等差数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.1　第2课时　等差数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.1　第2课时　等差数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.1　第2课时　等差数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.1　第2课时　等差数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.1　第2课时　等差数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.1　第2课时　等差数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 —— —— 即时训练 巩固当堂所学 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.1　第2课时　等差数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.1　第2课时　等差数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.1　第2课时　等差数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.1　第2课时　等差数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.1　第2课时　等差数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.1　第2课时　等差数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 　 　　同学们,前面我们学习了等差数列的概念,明白了可以从函数的视角认识等差数列。在学习过程中,我们发现了一个非常有意思的事情,比如说an=n,这是一个正整数数列,如果我们把其中的偶数拿出来,即2,4,6,8,10,…,容易发现这也是一个等差数列,同样,如果我们把所有的奇数拿出来,也能构成一个新的数列,今天我们就具体研究等差数列中有哪些性质。 1.能利用等差数列的定义推出等差数列的性质; 2.掌握等差数列的性质,并可以灵活运用性质解决问题。 知识点一、等差中项的概念 如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的 。根据等差中项与等差数列的定义可知A－x＝y－A，因此A＝eq \f(x＋y,2)。 知识点二、等差数列的性质 一般地，如果{an}是等差数列，而且正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则 as＋ ＝ap＋ 。特别地，如果2s＝p＋q，则2as＝ap＋aq。 等差中项 at aq 若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an＋an＋k} 公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N＋) {pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数) 类型一 等差中项 【例1】　在－1与7之间顺次插入3个数a，b，c，使这5个数成等差数列，求此数列。 解　因为－1，a，b，c,7成等差数列， 所以b是－1与7的等差中项， 所以b＝eq \f(－1＋7,2)＝3。 又a是－1与3的等差中项， 所以a＝eq \f(－1＋3,2)＝1。 又c是3与7的等差中项，所以c＝eq \f(3＋7,2)＝5。 所以该数列为－1,1,3,5,7。 在等差数列{an}中，由定义有an＋1－an＝an－an－1(n≥2，n∈N＋)，即an＝eq \f(an＋1＋an－1,2)，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项。 【变式训练】　若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项。 解　由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8。 又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10。 两式相加，得3m＋3n＝18，即m＋n＝6。 所以m和n的等差中项为eq \f(m＋n,2)＝3。 类型二 等差数列的性质 【例2】　已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式。 解　解法一：因为a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，所以a4＝5。 又因为a2a4a6＝45，所以a2a6＝9， 所以(a4－2d)(a4＋2d)＝9， 即(5－2d)(5＋2d)＝9，解得d＝±2。 若d＝2，则 an＝a4＋(n－4)d＝2n－3，n∈N＋； 若d＝－2，则 an＝a4＋(n－4)d＝13－2n，n∈N＋。 解法二：设等差数列的公差为d， 则由a1＋a4＋a7＝15，得 a1＋a1＋3d＋a1＋6d＝15， 即a1＋3d＝5　①。 由a2a4a6＝45， 得(a1＋d)(a1＋3d)(a1＋5d)＝45， 将①代入上式，得 (5－2d)×5×(5＋2d)＝45， 即(5－2d)(5＋2d)＝9　②， 联立①②解得a1＝－1，d＝2或a1＝11，d＝－2， 即an＝－1＋2(n－1)＝2n－3，n∈N＋； 或an＝11－2(n－1)＝－2n＋13，n∈N＋。 解决等差数列运算问题的一般方法：一是灵活运用等差数列{an}的性质；二是利用通项公式，转化为等差数列的首项与公差的求解，属于通用方法；或者兼而有之。这些方法都运用了整体代换与方程的思想。 【变式训练】　(1)在等差数列{an}中，已知a1，a2 023为方程x2－10x＋21＝0的两根，则a2＋a2 022等于(　　) A．10 B．15 C．20 D．40 解析　根据韦达定理及等差数列的性质可得a2＋a2 022＝a1＋a2 023＝10。 答案　A 答案与解析 (2)在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________。 解析　因为数列{an}是等差数列，所以由等差数列的性质，得a3＋a8＝a5＋a6＝a4＋a7＝10，a4＋a6＝2a5，所以3a5＋a7＝a5＋2a5＋a7＝a5＋a4＋a6＋a7＝2×10＝20。 答案　20 答案与解析 类型三 递推关系构造等差数列 【例3】　已知数列{an}满足a1＝eq \f(1,5)，且当n>1，n∈N＋时，有eq \f(an－1,an)＝eq \f(2an－1＋1,1－2an)，设bn＝eq \f(1,an)，n∈N＋。 (1)求证：数列{bn}为等差数列； (2)试问a1a2是否是数列{an}中的项？如果是，是第几项；如果不是，请说明理由。 解　(1)证明：当n>1，n∈N＋时，eq \f(an－1,an)＝eq \f(2an－1＋1,1－2an)⇔eq \f(1－2an,an)＝eq \f(2an－1＋1,an－1)⇔eq \f(1,an)－2＝2＋eq \f(1,an－1)⇔eq \f(1,an)－eq \f(1,an－1)＝4⇔bn－bn－1＝4，且b1＝eq \f(1,a1)＝5。 所以{bn}是等差数列，且公差为4，首项为5。 (2)由(1)知bn＝b1＋(n－1)d＝5＋4(n－1)＝4n＋1。 所以an＝eq \f(1,bn)＝eq \f(1,4n＋1)，n∈N＋。 所以a1＝eq \f(1,5)，a2＝eq \f(1,9)，所以a1a2＝eq \f(1,45)。 令an＝eq \f(1,4n＋1)＝eq \f(1,45)，所以n＝11。 即a1a2＝a11，所以a1a2是数列{an}中的项，是第11项。 已知数列的递推公式求数列的通项时，要对递推公式进行合理变形，构造出等差数列，需掌握常见的几种变形形式，考查学生推理能力与分析问题的能力。 【变式训练】　若数列{an}的各项均为正数，且满足an＋1＝an＋2eq \r(an)＋1，a1＝1，求an。 解　由an＋1＝an＋2eq \r(an)＋1， 可得an＋1＝(eq \r(an)＋1)2。 因为an>0，所以eq \r(an＋1)＝eq \r(an)＋1， 即eq \r(an＋1)－eq \r(an)＝1。 所以{eq \r(an)}是首项为eq \r(a1)＝1，公差为1的等差数列。 所以eq \r(an)＝1＋(n－1)×1＝n。所以an＝n2。 类型四 等差数列的实际应用 【例4】　某公司2018年生产一种数码产品，获利200万元，从2019年起，预计其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果该公司不研发新产品，也不调整经营策略，试计算从哪一年起，该公司生产这一产品将出现亏损？ 解　记2018年为第1年，由题设可知第1年获利200万元，第2年获利180万元，第3年获利160万元……则该公司每年获得的利润构成等差数列，记为{an}，易知当an<0时，该公司生产此产品将出现亏损。 因为a1＝200，公差d＝－20， 所以an＝a1＋(n－1)d＝220－20n。 由题意知数列{an}为递减数列，令an<0，即220－20n<0，解得n>11， 即从第12年起，也就是从2029年开始，该公司生产此产品将出现亏损。 实际应用问题已成为数学学习与研究的重要内容，等差数列在实际生活中的应用比较广泛，解答这类题的基本步骤是： 【变式训练】　某市出租车的起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费为10元，超出4 km(含4 km)的路程，按1.2元/km的标准计费。如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？ 解　根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元。所以，我们可以建立一个等差数列{an}来计算车费。令a1＝11.2表示4 km处的车费，公差d＝1.2.那么当出租车行至14 km处时，n＝11，此时需要支付车费为a11＝a1＋10d＝11.2＋10×1.2＝23.2(元)。 所以需要支付车费23.2元。 1．已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差d为(　　) A．2 B．3 C．－2 D．－3 解析　由等差数列的定义，得d＝an＋1－an＝3－2(n＋1)－(3－2n)＝－2。 答案　C 答案与解析 2．在等差数列{an}中，已知a4＝2，a8＝14，则a15等于(　　) A．32 B．－32 C．35 D．－35 解析　由a8－a4＝(8－4)d＝4d，得d＝3，所以a15＝a8＋(15－8)d＝14＋7×3＝35。 答案　C 答案与解析 3．在等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2等于(　　) A．3 B．－3 C．eq \f(3,2) D．－eq \f(3,2) 解析　由等差数列的性质，得a4＋a5＝a2＋a7，所以a2＝15－12＝3。 答案　A 答案与解析 4设公差为－2的等差数列{an}，如果a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，那么a3＋a6＋a9＋…＋a99等于(　　) A．－182 B．－78 C．－148 D．－82 解析　a3＋a6＋a9＋…＋a99＝(a1＋2d)＋(a4＋2d)＋(a7＋2d)＋…＋ (a97＋2d)＝(a1＋a4＋…＋a97)＋2d×33＝50＋2×(－2)×33＝－82。 答案　D 答案与解析 5．在等差数列{an}中，已知a2＋2a8＋a14＝120，则2a9－a10＝________。 解析　因为a2＋2a8＋a14＝4a8＝120，所以a8＝30。2a9－a10＝2(a10－d)－a10＝a10－2d＝a8＝30。 答案　30 答案与解析 $$