5.2.1 第1课时 等差数列的定义与通项公式(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教B版2019）

高中数学 选择性必修 第三册 B版 赢在微点 轻松课堂 数学 第五章 数列 5.2.1　等差数列 第1课时　等差数列的定义与通项公式 5.2　等差数列 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.1　第1课时　等差数列的定义与通项公式 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 —— —— 稳健启程 新知初步构建 自主预习·明新知 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.1　第1课时　等差数列的定义与通项公式 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.1　第1课时　等差数列的定义与通项公式 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.1　第1课时　等差数列的定义与通项公式 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.1　第1课时　等差数列的定义与通项公式 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.1　第1课时　等差数列的定义与通项公式 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.1　第1课时　等差数列的定义与通项公式 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 —— —— 细研深究 萃取知识精华 合作探究·攻重难 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.1　第1课时　等差数列的定义与通项公式 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.1　第1课时　等差数列的定义与通项公式 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.1　第1课时　等差数列的定义与通项公式 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.1　第1课时　等差数列的定义与通项公式 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.1　第1课时　等差数列的定义与通项公式 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.1　第1课时　等差数列的定义与通项公式 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.1　第1课时　等差数列的定义与通项公式 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.1　第1课时　等差数列的定义与通项公式 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.1　第1课时　等差数列的定义与通项公式 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.1　第1课时　等差数列的定义与通项公式 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.1　第1课时　等差数列的定义与通项公式 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.1　第1课时　等差数列的定义与通项公式 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.1　第1课时　等差数列的定义与通项公式 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 —— —— 即时训练 巩固当堂所学 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.1　第1课时　等差数列的定义与通项公式 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.1　第1课时　等差数列的定义与通项公式 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.1　第1课时　等差数列的定义与通项公式 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.1　第1课时　等差数列的定义与通项公式 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.1　第1课时　等差数列的定义与通项公式 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.2.1　第1课时　等差数列的定义与通项公式 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 　 我国有用十二生肖纪年的习惯,例如:2021年是牛年,从2021年开始,牛年的年份为2021,2033,2045,2057,2069,2081,…。这些年份有什么特点? 1.理解等差数列的定义,掌握等差数列的通项公式; 2.会推导等差数列的通项公式; 3.能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题。 公差 a1＋(n－1)d 知识点一、等差数列的定义 如果数列{an}从第 项起，每一项与它的前一项之差都等于 常数d，即 恒成立，则称{an}为等差数列，其中d称为等差数列的 。 知识点二、等差数列的通项公式 一般地，如果等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝ 。 2 同一个 an＋1－an＝d 一次 增减性 符号 递增 递减 知识点三、等差数列与函数 因为an＝a1＋(n－1)d＝nd＋a1－d，所以，如果记f(x)＝dx＋ ，则可以看出an＝f(n)，而且 (1)当公差d＝0时，f(x)是 函数，此时数列{an}是 数列(因此，公差为0的等差数列是常数列)； (2)当公差d≠0时，f(x)是 函数，而且f(x)的 依赖于公差d的 ，因此，当d>0时，{an}是 数列；当d<0时，{an}是 数列。 a1－d 常数 常 (1)等差数列通项公式的其他形式。 ①an＝am＋(n－m)d。 ②an＝an＋b(a，b是常数)。 (2)等差数列的判断方法。 ①定义法：an－an－1＝d(n≥2)或an＋1－an＝d⇔数列{an}是等差数列。 ②通项公式法：an＝an＋b⇔数列{an}是以a1＝a＋b为首项，以a为公差的等差数列。 微思考　1.试证明“若数列的通项公式为an＝an＋b，则数列{an}是等差数列”。 提示：证明：因为an＝an＋b，所以an－1＝a(n－1)＋b(n≥2)，所以an－an－1＝(an＋b)－[a(n－1)＋b]＝an＋b－an＋a－b＝a(常数)。由此可见{an}是等差数列，且公差是a。 2．等差数列中的公差可以理解为一次函数中的哪个量？ 提示：等差数列中的公差可以理解为一次函数中的斜率，所以d＝eq \f(am－an,m－n)。 类型一 等差数列的概念 【例1】　若数列{an}的通项公式为an＝10＋lg2n，试说明数列{an}为等差数列。 解　因为an＝10＋lg2n＝10＋nlg2， 所以an＋1－an＝[10＋(n＋1)lg2]－(10＋nlg2)＝lg2(n∈N＋)。 所以数列{an}为等差数列。 判断一个数列是不是等差数列，就是判断从第二项起该数列的每一项减去它的前一项的差是否为同一个常数，但当数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证an＋1－an(n≥1，n∈N＋)或者an－an－1(n≥2，n∈N＋)是不是一个与n无关的常数。 【变式训练】　判断下列数列是不是等差数列？ (1)9,7,5,3，…，－2n＋11，…； (2)－1,11,23,35，…，12n－13，…； (3)1,2,1,2，…； (4)1,2,4,6,8,10，…； (5)a，a，a，a，a，…。 解　由等差数列的定义得(1)(2)(5)为等差数列，(3)(4)不是等差数列。 类型二 等差数列的通项公式 【例2】　(1)若{an}是等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75。 解　设{an}的公差为d，首项为a1。 由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a15＝a1＋14d＝8，,a60＝a1＋59d＝20，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝\f(64,15)，,d＝\f(4,15)。)) 所以a75＝a1＋74d＝eq \f(64,15)＋74×eq \f(4,15)＝24。 (2)已知递减等差数列{an}的前三项和为18，前三项的乘积为66， 求数列的通项公式，并判断－34是该数列的项吗？ 解 依题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＝18，,a1·a2·a3＝66，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3a1＋3d＝18，,a1·a1＋d·a1＋2d＝66，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝11，,d＝－5，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝5。))因为数列{an}是递减等差数列， 所以d<0。故取a1＝11，d＝－5。 所以an＝11＋(n－1)·(－5)＝－5n＋16。 即等差数列{an}的通项公式为an＝－5n＋16。 令an＝－34，即－5n＋16＝－34，得n＝10。 所以－34是数列{an}的第10项。 求等差数列的通项公式的一般思路 方程思想：设出基本量a1与d，利用条件构建方程组，求出a1与d，即可写出数列的通项公式。 事实上，已知等差数列中的两项时，利用an＝am＋(n－m)d求出公差d就可绕过求首项a1，直接写出等差数列的通项公式。 【变式训练】　在等差数列{an}中，已知a4＝70，a21＝－100，求出数列的首项a1与公差d，并写出通项公式。 解　根据题意，设an＝a1＋(n－1)d， 则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(70＝a1＋4－1d，,－100＝a1＋21－1d，)) 解得a1＝100，d＝－10， 所以通项公式an＝100－10(n－1)＝－10n＋110。 类型三 利用函数性质解决数列问题 【例3】　若数列{an}为等差数列，ap＝q，aq＝p(p≠q)，则ap＋q＝________。 解析　解法一：设等差数列{an}的公差为d，则ap＝aq＋(p－q)d，所以q＝p＋(p－q)d，即q－p＝(p－q)d，因为p≠q，所以d＝－1。所以ap＋q＝ap＋(p＋q－p)d＝q＋q(－1)＝0。 答案与解析 解法二：因为数列{an}为等差数列，所以点(n，an)在同一条直线上。不妨设p<q，记点A(p，q)，B(q，p)，则直线AB的斜率k＝eq \f(p－q,q－p)＝－1，如图所示，由图知OC＝p＋q，即点C的坐标为(p＋q,0)，故ap＋q＝0。 答案　0 (1)等差数列的图像是同一条直线上均匀分布的一系列孤立的点，因此涉及等差数列中的项、过两点的直线的斜率等的问题，利用多点共线可快速求解。 (2)若a，b，c是等差数列，公差为d(d≠0)，且(a，l)，(b，m)，(c，n)三点共线，则eq \f(m－l,b－a)＝eq \f(n－m,c－b)＝k(k为常数)，所以m－l＝n－m＝kd，那么l，m，n成等差数列。反之，若a，b，c和l，m，n两组数都成等差数列，则点(a，l)，(b，m)，(c，n)必共线。 【变式训练】　已知数列{an}是等差数列，a4＝15，a7＝27，则过点P(3，a3)，Q(5，a5)的直线的斜率为(　　) A．4 B．eq \f(1,4) C．－4 D．－eq \f(1,4) 解析　由数列{an}是等差数列，知an是关于n的“一次函数”，其图像是一条直线上均匀分布的点，因此过点P(3，a3)，Q(5，a5)的直线即过点(4,15)，(7,27)的直线，所以直线的斜率k＝eq \f(27－15,7－4)＝4。 答案　A 答案与解析 1．若数列{an}满足an＋1＝an＋1，则数列{an}是(　　) A．公差为1的等差数列 B．公差为－1的等差数列 C．公差为－eq \f(1,3)的等差数列 D．不是等差数列 解析　由an＋1＝an＋1，得an＋1－an＝1，所以数列{an}是公差为1的等差数列。 答案　A 答案与解析 2．已知等差数列{an}的通项公式an＝4－2n(n∈N＋)，则a4＝(　　) A．4 B．2 C．－4 D．－2 解析　由题意知，当n＝4时，a4＝4－2×4＝－4。故选C。 答案　C 答案与解析 3．在等差数列{an}中，a3＋3a8＋a13＝120，则a3＋a13－a8的值为(　　) A．24 B．22 C．20 D．－8 解析　a3＋3a8＋a13＝a3＋3(a3＋5d)＋a3＋10d＝5a3＋25d＝120，所以a3＋5d＝24，a3＋a13－a8＝a3＋5d＝24。故选A。 答案　A 答案与解析 4．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________。 解析　由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a3＝7，,a5＝a2＋6))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＋d＝7，,a2＋3d＝a2＋6)) ⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(d＝2，,a2＝5，))a6＝a2＋4d＝13。 答案　13 答案与解析 5．在等差数列{an}中，已知a1＝eq \f(1,3)，a2＋a5＝4，an＝33，求n的值。 解　因为a2＋a5＝(a1＋d)＋(a1＋4d)＝2a1＋5d＝4，所以d＝eq \f(2,3)。 所以an＝eq \f(1,3)＋(n－1)×eq \f(2,3)＝eq \f(2,3)n－eq \f(1,3)。 由an＝eq \f(2,3)n－eq \f(1,3)＝33，解得n＝50。 $$