专题03 等差数列（高效培优讲义）数学人教B版选择性必修第三册

专题03 等差数列 教学目标 1．理解等差数列的定义、等差中项概念，掌握其递推公式与通项公式，能根据已知条件求数列指定项。 2．掌握等差数列的通项变形、推广及下标性质，会运用性质分析和解决等差数列相关问题。 3．理解数列递推公式含义，能区分其与通项公式的异同，根据递推公式求出数列的项。 4．掌握数列前n项和的定义，熟练运用an与Sn的关系式，分情况求解数列的通项公式。 教学重难点 重点： 等差数列的定义、通项公式及核心下标性质的理解与应用。 递推公式与通项公式的异同，an与Sn关系式的灵活运用。 难点： 结合等差数列性质解决综合型的数列计算与推理问题。 依据an与Sn的关系式，准确分情况推导数列通项。 知识点01 等差数列的概念与通项公式 1.等差数列的定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示. 2.等差中项 由三个数组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道,. 3.等差数列的递推公式及通项公式 已知等差数列的首项为,公差为d，则递推公式为，通项公式为 【即学即练】 1．（多选）下列数列中，是等差数列的是（    ） A．1，4，7，10 B． C． D．10，8，6，4，2 【答案】ABD 【详解】根据等差数列的定义，可得对于A，满足4－1＝7－4＝10－7＝3（常数），所以是等差数列，故A正确； 对于B，满足（常数），所以是等差数列，故B正确； 对于C，因为，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列，故C错误； 对于D，满足（常数），所以是等差数列，故D正确． 故选：ABD. 2．在等差数列中，已知公差，则（    ） A．16 B．14 C． D． 【答案】A 【详解】，解得. 故选：A. 知识点02 等差数列的性质与应用 1.等差数列通项公式的变形及推广 （1）（2） （3）,且. 2.若分别是公差为的等差数列,则有 数列 结论 公差为d的等差数列(c为任一常数) 公差为cd的等差数列(c为任一常数) 公差为2d的等差数列(k为常数) 公差为的等差数列(p,q为常数) 3.下标性质 在等差数列中,若,则. 特别的,若,则有 【即学即练】 3．在等差数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】方法一：设等差数列的公差为， 由，，得， 所以，； 方法二：因为数列是等差数列，所以， 即，解得. 故选：B 4．已知等差数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是等差数列，则有，又，所以． 故选：D． 题型01等差数列的通项与基本量 【例1】在等差数列中，，，则公差（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】B 【详解】公差. 故选：B． 【例2】已知数列是首项为5，公差为3的等差数列，则（ ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】C 【详解】因为数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，所以， 所以， 故选：C. 【变式1-1】已知等差数列满足，则的通项公式为 ． 【答案】 【详解】已知是等差数列，设公差为，则， ， ，解得， ． 故答案为：． 【变式1-2】已知为等差数列，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】等差数列中，，则， 又，则，因此数列的公差， 所以. 故选：B 【变式1-3】在数列中，，若数列是公差为2的等差数列，则 ． 【答案】16 【详解】数列首项为，通项公式为. 当时，，满足通项公式. 当时，，所以. 当时，，所以. 当时，，所以. 当时，，所以. 通过观察可知，奇数项构成公差为2的等差数列，通项公式为. 令，则，所以. 故答案为：16. （1）可由与构造关于的方程组即可求解 （2）利用等差数列的性质可简化计算 题型02等差数列的判断与证明 【例3】已知数列满足，，，若.求证：是等差数列； 【答案】证明见解析 【详解】证明：因为，由和数学归纳法可知，对任意正整数，都有， 由得， 所以，又. 所以是首项为，公差为的等差数列. 【例4】已知数列满足：，，若数列满足：，求解下列问题. (1)证明：为等差数列； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：因为，所以， 即，且因为，所以，， 所以是以1为首项，1为公差的等差数列. （2）由（1）知， 又，所以， 即数列的通项公式为. 【变式2-1】已知数列的首项为1，对于任意，，，则 . 【答案】 【详解】对于任意，，， 令，所以， 所以数列是首项为1，公差为的等差数列， 所以. 故答案为： 【变式2-2】已知正项数列满足，.求的通项公式. 【答案】 【详解】由题可知是以1为首项、为公差的等差数列， 故， 令，有， 即，解得. 代入得，即. 【变式2-3】已知数列满足，且. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由，两边同时除以： 得，所以 又，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列. （2）由（1）可知：， 故. 对于数列，若⇔是等差数列 题型03等差中项及其应用 【例5】已知，则的等差中项为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 的等差中项为， 故选：B 【例6】若数列、、、、为正项等差数列，正项数列、、、、满足（为常数），已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，、、、、成等差数列，且，， 由等差中项的性质可得， 又因为，故. 故选：C. 【变式3-1】正项等差数列中，，则的最小值为（   ） A．9 B． C． D．6 【答案】B 【详解】由等差数列性质可得，又、， 则 ， 当且仅当即、时等号成立； 故的最小值为. 故选：B. 【变式3-2】已知数列为等差数列，，为方程的两根，则（   ） A． B．2 C．－2 D． 【答案】B 【详解】因为，为方程的两根， 所以根据韦达定理得：， 由等差中项公式得：，. 故选：B 【变式3-3】已知数列与均是公差不为0的等差数列，且数列也是等差数列，若，则（    ） A．24 B．21 C．18 D．15 【答案】A 【详解】设的公差为，的公差为， ，解得，所以， ， 因为数列也是等差数列， 所以，即， 解得（舍去）或， 所以，. 故选：A 由等差数列的定义知,即,从而由等差中项的定义可知,等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项. 题型04利用等差数列的性质计算 【例7】已知为等差数列，若，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【详解】在等差数列中，，解得， 所以. 故选：C 【例8】在等差数列中，已知，为方程的两根，则等于（ ） A．6 B．13 C．7 D．42 【答案】C 【详解】因为，为方程的两根，所以. 又数列是等差数列，所以. 故选：C. 【变式4-1】已知等差数列，，则等于 . 【答案】6 【详解】由题意，等差数列中，， . 故答案为：6. 【变式4-2】已知数列、满足，，其中是等差数列，且，则 . 【答案】2026 【详解】由题意， 因为是等差数列，所以， 所以. 故答案为： 【变式4-3】等差数列共有项，其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且，则该数列的公差为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】设公差为，由题意可知奇数项和偶数项都有项， 且， 所以， 又， 所以有， 解得， 故选：B. 等差数列的常用性质： （1）通项公式的推广：在等差数列中，； （2）在等差数列中,若,则.特别的,若,则有 题型05等差数列的单调性与最值 【例9】设等差数列的公差为d，若，则“”是“（）”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】充分性：若，则，即，∴，即，所以充分性成立；必要性：若，即，∴，则，必要性成立.因此，“”是“”的充要条件. 故选：C. 【例10】已知等差数列的首项，公差． (1)此等差数列中从第几项开始出现负数？ (2)当n为何值时，最小？ 【答案】(1)从第23项开始出现负数 (2)当时最小 【详解】（1）等差数列的首项，公差 则 由，得，即从第23项开始出现负数. （2）由等差数列的通项公式 可得 在时取最小值为 在时取最小值为 则在时取最小值为 【变式5-1】（多选）若数列的通项公式是，则（   ） A．是数列中的项 B．数列是递增数列 C．数列的前项和有最大值 D．数列的前项和无最小值 【答案】AB 【详解】数列的通项公式是， 令，得， 是数列的第49项，故A正确； ， 在时递增， 故数列是递增数列，故B正确； 数列的通项公式是， ， ， ， 数列为首项为，公差为2的等差数列，且逐项递增， 数列的前项和没有最大值，故C错误； ， 数列为首项为，公差为2的等差数列，且逐项递增， ， 数列的前项和有最小值，故D错误． 故选：AB 【变式5-2】已知数列为等差数列，且，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】设数列的公差为，则， 故， 故， 根据二次函数的性质可知：当或4时，取得最小值． 故答案为： 【变式5-3】已知首项为4的数列满足． (1)证明：数列是等差数列． (2)求数列的通项公式，并求数列的最小项． 【答案】(1)证明见解析 (2)；最小项为. 【详解】（1）解：因为数列满足，即， 可得， 又因为，可得， 所以数列表示首项为，公差为的等差数列. （2）解：数列表示首项为，公差为的等差数列， 可得，所以， 由 ， 当时，可得，即，所以数列为递增数列， 所以当时，数列的最小项为，即数列的最小项为. 题型06等差数列中的对称设元 【例11】已知五个数成等差数列，这五个数之和为100，其中较大的三个数之和的是较小的两个数之和，则这五个数中最大的数为（    ） A． B．20 C． D． 【答案】C 【详解】设这五个数分别为，， 由题意可得，解得， 且，解得， 则最大的数为. 故选：C 【例12】已知四个数依次成等差数列，且四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列． 【答案】详见解析. 【详解】设这四个数分别为， 由题意得， 即， 解得或或或， 当时，这个等差数列为：-1，2，5，8； 当时，这个等差数列为：8，5，2，-1； 当时，这个的等差数列为：-8，-5，-2，1； 当时，这个等差数列为1，-2，-5，-8. 【变式6-1】四个数成递减的等差数列，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40．求这四个数． 【答案】11，8，5，2 【详解】设这四个数为，，，（公差为2d）， 依题意，得，解得或， 又四个数成递减的等差数列，即，因此． 所以所求的四个数为11，8，5，2. 【变式6-2】已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，求这5个数． 【答案】－，，1，，或，，1，，－ 【详解】 设第三个数为a，公差为d，则这5个数分别为，由已知有 ， 整理得，所以. 当时,这5个数分别为－，，1，，； 当时,这5个数分别为，，1，，－. 综上，这5个数分别是－，，1，，或，，1，，－. 【变式6-3】已知四个数，其中成等差数列，且，若成等差数列，求的值． 【答案】1 【详解】因为，则， 因为构成等差数列，则，即，即， 因为构成等差数列，则，即，解得． 由三个数或四个数成等差数列的设法: 当三个数或四个数成等差数列且和为定值时,方法一:可设出首项和公差,列方程组求解. 方法二:采用对称的设法,三个数时,设为;四个数时,可设为. 题型07插入数构造等差数列 【例13】已知等差数列的首项，公差，在的每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，当时，（    ） A．4042 B．4050 C．4056 D．4058 【答案】B 【详解】，所以． 当时，，所以等差数列的公差为， 故，则． 故选：B. 【例14】已知等差数列，现在其每相邻两项之间插入一个数，使之成为一个新的等差数列，则数列的第23项为 ． 【答案】 【详解】在相邻两项之间插入一个数，使之成为一个新的等差数列， 则等差数列的公差为原等差数列公差的． 设等差数列为，公差为， 易知，则， 则的公差为， 则． 所以． 故答案为:. 【变式7-1】已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入2个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，则是数列的第（ ）项 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【详解】由题意可得， 因为在中每相邻两项之间都插入2个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列， 所以，新数列的公差， 所以， 所以. 故选：B. 【变式7-2】已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入k个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，，所以， 等差数列每两项之间插入k项，构成新的等差数列， 当时，，， 所以等差数列的公差为， 故. 故选：B. 【变式7-3】已知等差数列的首项，若在中每相邻两项间都插入3项，使其与原数列的数构成新的等差数列． (1)若插入的第一组3项之和记为，第二组3项之和记为，构成数列．判断是否为等差数列，若是，求出通项公式，若不是，说明理由； (2)在（1）的条件下，用与表示． 【答案】(1)是， (2) 【详解】（1）由题意可知：， 设插入三项为， 因为为等差数列，则， 可得， 因为，且， 所以数列是以18为首项，24为公差的等差数列，且． （2）由题意可知：数列的首项为，公差为的等差数列，得， 由（1）知，所以． （1）从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列。 （2）在数列中插入几个数构成新的等差数列，根据等差数列的定义确定新数列的项数以及公差。 题型08等差数列的实际应用 【例15】通常情况下，海拔每升高米气温就降低.已知南阳市的海拔最高点是老界岭的崎角尖.若在某天测得老界岭的山脚的气温是，崎角尖的气温是，则崎角尖相对于山脚的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【详解】由题知崎角尖相对于山脚的高度是米， 故选：C. 【例16】《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这些节气的日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为尺，前九个节气日影长之和为尺，则小满日影长为（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】B 【详解】从冬至日起，依次构成等差数列，设为， 由题意得： ， 解得， 又冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺：， 所以， 所以， 所以， 故选：B 【变式8-1】天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2022年是壬寅年，请问：在100年后的2122年为（    ） A．壬午年 B．辛丑年 C．己亥年 D．戊戌年 【答案】A 【详解】由题意得：天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列， 由于，余数为0，故100年后天干为壬， 由于，余数为4，故100年后地支为午， 综上：100年后的2122年为壬午年. 故选：A 【变式8-2】我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤”意思是：“现有一根金杖，长5尺，头部1尺，重4斤；尾部1尺，重2斤；若该金杖从头到尾每一尺重量构成等差数列，其中重量为，则的值为（    ） A．4 B．12 C．15 D．18 【答案】C 【详解】设头部一尺重量为，其后每尺重量依次为， 由题设有，，故公差为. 故中间一尺的重量为 所以这5项的和为. 故选：C. 【变式8-3】百善孝为先，孝敬父母是中华民族的传统美德.因父母年事已高，大张与小张兄弟俩约定：如果两人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把这一天记为“家庭日”.由于工作的特殊性，大张每工作三天休息一天，小张每周星期一与星期五休息，除此之外，他们没有其它休息日.已知2021年共有365天，2021年1月1日（星期五）是他们约定的首个“家庭日”，则2021年全年他们约定的“家庭日”是星期五的天数为 ；2021年全年他们约定的“家庭日”共有 个. 【答案】 ； . 【详解】设大张的休息日构成的等差数列为，显然大张在2021年第天放假， 所以有， 若小张每周星期五休息，小张休息日构成等差数列为，则有， 此时两数列的公共项为：，首项为，公差为，末项为， 设共有项，所以有； 若小张每周星期一休息，小张休息日构成等差数列为，则有， 此时两数列的公共项为：，首项为，公差为，末项为， 设共有项，所以有， 所以2021年全年他们约定的“家庭日”共有天， 故答案为：； 一、单选题 1．已知，若在之间插入3个数，使得这5个数成等差数列，则（   ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】B 【分析】详解】因为成等差数列， 所以，可得， 所以， 故选：B 2．“数列满足”是“为等差数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】详解】由，可得， 当时，可得，由等差数列定义可知数列是以为公差的等差数列， 当为等差数列且公差为时，不满足， 所以“数列满足”是“为等差数列”的充分不必要条件. 故选：A. 3．设等差数列的公差为，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】详解】等差数列的公差为，， 则，解得． 故选：B． 4．已知数列满足，，则（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】详解】由， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以. 故选：A 5．已知等差数列公差不为零，且，则“”是“”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】详解】设等差数列的公差为， 因为， ， 若，则可得， 所以，所以“”是“”的充分条件； 若，则， 所以，又因为，所以， 所以，所以“”是“”的必要条件； 综上所述：“”是“”的充要条件. 故选：C. 6．在数列中，，若数列是公差为2的等差数列，则（    ） A．36 B．32 C．20 D．16 【答案】D 【分析】详解】因为数列是公差为2的等差数列， 则，即， 则奇数项构成公差为2的等差数列，通项公式为，， 令，则，所以. 故选：D. 7．记等差数列的公差为，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】详解】在等差数列中，由，得， 整理得，由，得，因此， 解得，所以的取值范围是. 故选：C 二、多选题 8．若数列是等差数列，则下列数列中一定为等差数列的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】详解】设， 对于选项A，，可知，数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以A正确； 对于选项B，，相邻两项之差不是常数，所以B错误； 对于选项C，，数列是以为首项，以为公差的常数列，所以C正确； 对于选项D，，数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以D正确； 故选：ACD. 9．已知等差数列，则下列结论正确的是（   ） A．等差数列的公差为 B．等差数列的通项公式为 C．等差数列是一个单调递增的数列 D．若，则 【答案】AC 【分析】详解】选项A，，则，所以，所以A正确； 选项B，，则通项公式为，所以B错误； 选项C，由选项A知，所以C正确； 选项D，由选项B知，则当时，解得，而，所以D错误. 故选：AC. 三、填空题 10．若成等差数列，则正数的值为 . 【答案】 【分析】详解】由题意可知，且， 则，则，得. 故答案为： 11．数列都是等差数列，且.则数列的前2026项的和是 （用数字作答）. 【答案】 【分析】详解】因为数列都是等差数列，且 所以数列的前2026项的和 . 故答案为： 12．已知数列的前项和，．若是等差数列，则的通项公式为 【答案】 【分析】详解】由可得 ， ， ， 整理可得，解得， 所以， 故答案为：. 四、解答题 13．已知在数列中，，，是关于项数n的一次函数． (1)求的通项公式，并求； (2)若是由，，，，…组成的，试归纳的一个通项公式． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）设（），则， 解得 ∴， ∴． （2）由（1）知， 则， ， ， 猜想． 14．已知数列中，. (1)求的值； (2)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式. 【答案】(1)， (2)证明见解析， 【详解】（1）因为， 所以， （2）因为，所以， 即， 又因为， 所以数列是首项为1，公差为3的等差数列. 所以， 所以. 15．在数列中，，，数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)是否存在正整数，使得是与的等差中项？若存在，求出；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【详解】（1）数列中，由，得，所以数列是公差为的等差数列. 因为，所以，所以. 所以． 所以， 即，所以. 所以. 因为满足，所以数列的通项公式. （2）假设存在正整数，使得是与的等差中项，则， 整理得，即. 因为，所以. 因为，所以，且均能整除9. 所以时，，所以（舍去）； 当时，，所以. 因为，且，即是与的等差中项. 综上所述，存在正整数，使得是与的等差中项，. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 等差数列 教学目标 1．理解等差数列的定义、等差中项概念，掌握其递推公式与通项公式，能根据已知条件求数列指定项。 2．掌握等差数列的通项变形、推广及下标性质，会运用性质分析和解决等差数列相关问题。 3．理解数列递推公式含义，能区分其与通项公式的异同，根据递推公式求出数列的项。 4．掌握数列前n项和的定义，熟练运用an与Sn的关系式，分情况求解数列的通项公式。 教学重难点 重点： 等差数列的定义、通项公式及核心下标性质的理解与应用。 递推公式与通项公式的异同，an与Sn关系式的灵活运用。 难点： 结合等差数列性质解决综合型的数列计算与推理问题。 依据an与Sn的关系式，准确分情况推导数列通项。 知识点01 等差数列的概念与通项公式 1.等差数列的定义 一般地,如果一个数列从______起,每一项与它的前一项的______都等于______,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的______,公差通常用字母______表示. 2.等差中项 由三个数组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的______.根据等差数列的定义可以知道,. 3.等差数列的递推公式及通项公式 已知等差数列的首项为,公差为d，则递推公式为______，通项公式为______ 【即学即练】 1．（多选）下列数列中，是等差数列的是（    ） A．1，4，7，10 B． C． D．10，8，6，4，2 2．在等差数列中，已知公差，则（    ） A．16 B．14 C． D． 知识点02 等差数列的性质与应用 1.等差数列通项公式的变形及推广 （1）（2）______ （3）,且. 2.若分别是公差为的等差数列,则有 数列 结论 公差为______的等差数列(c为任一常数) 公差为______的等差数列(c为任一常数) 公差为______的等差数列(k为常数) 公差为______的等差数列(p,q为常数) 3.下标性质 在等差数列中,若,则______. 特别的,若,则有______ 【即学即练】 3．在等差数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 4．已知等差数列满足，则（    ） A． B． C． D． 题型01等差数列的通项与基本量 【例1】在等差数列中，，，则公差（   ） A． B．3 C． D．6 【例2】已知数列是首项为5，公差为3的等差数列，则（ ） A．1 B．2 C． D．3 【变式1-1】已知等差数列满足，则的通项公式为 ． 【变式1-2】已知为等差数列，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式1-3】在数列中，，若数列是公差为2的等差数列，则 ． （1）可由与构造关于的方程组即可求解 （2）利用等差数列的性质可简化计算 题型02等差数列的判断与证明 【例3】已知数列满足，，，若.求证：是等差数列； 【例4】已知数列满足：，，若数列满足：，求解下列问题. (1)证明：为等差数列； (2)求数列的通项公式. 【变式2-1】已知数列的首项为1，对于任意，，，则 . 【变式2-2】已知正项数列满足，.求的通项公式. 【变式2-3】已知数列满足，且. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； 对于数列，若⇔是等差数列 题型03等差中项及其应用 【例5】已知，则的等差中项为（ ） A． B． C． D． 【例6】若数列、、、、为正项等差数列，正项数列、、、、满足（为常数），已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】正项等差数列中，，则的最小值为（   ） A．9 B． C． D．6 【变式3-2】已知数列为等差数列，，为方程的两根，则（   ） A． B．2 C．－2 D． 【变式3-3】已知数列与均是公差不为0的等差数列，且数列也是等差数列，若，则（    ） A．24 B．21 C．18 D．15 由等差数列的定义知,即,从而由等差中项的定义可知,等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项. 题型04利用等差数列的性质计算 【例7】已知为等差数列，若，则（    ） A．4 B． C． D． 【例8】在等差数列中，已知，为方程的两根，则等于（ ） A．6 B．13 C．7 D．42 【变式4-1】已知等差数列，，则等于 . 【变式4-2】已知数列、满足，，其中是等差数列，且，则 . 【变式4-3】等差数列共有项，其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且，则该数列的公差为（   ） A．3 B． C． D． 等差数列的常用性质： （1）通项公式的推广：在等差数列中，； （2）在等差数列中,若,则.特别的,若,则有 题型05等差数列的单调性与最值 【例9】设等差数列的公差为d，若，则“”是“（）”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例10】已知等差数列的首项，公差． (1)此等差数列中从第几项开始出现负数？ (2)当n为何值时，最小？ 【变式5-1】（多选）若数列的通项公式是，则（   ） A．是数列中的项 B．数列是递增数列 C．数列的前项和有最大值 D．数列的前项和无最小值 【变式5-2】已知数列为等差数列，且，则的最小值为 ． 【变式5-3】已知首项为4的数列满足． (1)证明：数列是等差数列． (2)求数列的通项公式，并求数列的最小项． 题型06等差数列中的对称设元 【例11】已知五个数成等差数列，这五个数之和为100，其中较大的三个数之和的是较小的两个数之和，则这五个数中最大的数为（    ） A． B．20 C． D． 【例12】已知四个数依次成等差数列，且四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列． 【变式6-1】四个数成递减的等差数列，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40．求这四个数． 【变式6-2】已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，求这5个数． 【变式6-3】已知四个数，其中成等差数列，且，若成等差数列，求的值． 由三个数或四个数成等差数列的设法: 当三个数或四个数成等差数列且和为定值时,方法一:可设出首项和公差,列方程组求解. 方法二:采用对称的设法,三个数时,设为;四个数时,可设为. 题型07插入数构造等差数列 【例13】已知等差数列的首项，公差，在的每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，当时，（    ） A．4042 B．4050 C．4056 D．4058 【例14】已知等差数列，现在其每相邻两项之间插入一个数，使之成为一个新的等差数列，则数列的第23项为 ． 【变式7-1】已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入2个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，则是数列的第（ ）项 A．7 B．8 C．9 D．10 【变式7-2】已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入k个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，当时，（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】已知等差数列的首项，若在中每相邻两项间都插入3项，使其与原数列的数构成新的等差数列． (1)若插入的第一组3项之和记为，第二组3项之和记为，构成数列．判断是否为等差数列，若是，求出通项公式，若不是，说明理由； (2)在（1）的条件下，用与表示． （1）从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列。 （2）在数列中插入几个数构成新的等差数列，根据等差数列的定义确定新数列的项数以及公差。 题型08等差数列的实际应用 【例15】通常情况下，海拔每升高米气温就降低.已知南阳市的海拔最高点是老界岭的崎角尖.若在某天测得老界岭的山脚的气温是，崎角尖的气温是，则崎角尖相对于山脚的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【例16】《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这些节气的日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为尺，前九个节气日影长之和为尺，则小满日影长为（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【变式8-1】天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2022年是壬寅年，请问：在100年后的2122年为（    ） A．壬午年 B．辛丑年 C．己亥年 D．戊戌年 【变式8-2】我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤”意思是：“现有一根金杖，长5尺，头部1尺，重4斤；尾部1尺，重2斤；若该金杖从头到尾每一尺重量构成等差数列，其中重量为，则的值为（    ） A．4 B．12 C．15 D．18 【变式8-3】百善孝为先，孝敬父母是中华民族的传统美德.因父母年事已高，大张与小张兄弟俩约定：如果两人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把这一天记为“家庭日”.由于工作的特殊性，大张每工作三天休息一天，小张每周星期一与星期五休息，除此之外，他们没有其它休息日.已知2021年共有365天，2021年1月1日（星期五）是他们约定的首个“家庭日”，则2021年全年他们约定的“家庭日”是星期五的天数为 ；2021年全年他们约定的“家庭日”共有 个. 一、单选题 1．已知，若在之间插入3个数，使得这5个数成等差数列，则（   ） A．6 B．9 C．12 D．18 2．“数列满足”是“为等差数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．设等差数列的公差为，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知数列满足，，则（    ） A． B．3 C． D．4 5．已知等差数列公差不为零，且，则“”是“”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 6．在数列中，，若数列是公差为2的等差数列，则（    ） A．36 B．32 C．20 D．16 7．记等差数列的公差为，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．若数列是等差数列，则下列数列中一定为等差数列的有（   ） A． B． C． D． 9．已知等差数列，则下列结论正确的是（   ） A．等差数列的公差为 B．等差数列的通项公式为 C．等差数列是一个单调递增的数列 D．若，则 三、填空题 10．若成等差数列，则正数的值为 . 11．数列都是等差数列，且.则数列的前2026项的和是 （用数字作答）. 12．已知数列的前项和，．若是等差数列，则的通项公式为 四、解答题 13．已知在数列中，，，是关于项数n的一次函数． (1)求的通项公式，并求； (2)若是由，，，，…组成的，试归纳的一个通项公式． 14．已知数列中，. (1)求的值； (2)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式. 15．在数列中，，，数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)是否存在正整数，使得是与的等差中项？若存在，求出；若不存在，请说明理由． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $