5.1.1 第2课时 数列的性质(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教B版2019）

高中数学 选择性必修 第三册 B版 赢在微点 轻松课堂 数学 第五章 数列 5.1.1　数列的概念 第2课时　数列的性质 5.1　数列基础 —— —— 稳健启程 新知初步构建 自主预习·明新知 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.1　第2课时　数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.1　第2课时　数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.1　第2课时　数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 —— —— 细研深究 萃取知识精华 合作探究·攻重难 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.1　第2课时　数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.1　第2课时　数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.1　第2课时　数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.1　第2课时　数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.1　第2课时　数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.1　第2课时　数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.1　第2课时　数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 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B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.1　第2课时　数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 —— —— 即时训练 巩固当堂所学 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.1　第2课时　数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.1　第2课时　数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.1　第2课时　数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.1　第2课时　数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.1　第2课时　数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 小于 相等 知识点一、数列的分类 1．数列按项数可分为 和 。 2．按后一项和前一项的大小关系可分为递增数列、递减数列和常数列。 3．从第二项起，每一项都 它的前一项的数列，叫做递增数列；从第二项起，每一项都 它的前一项的数列，叫做递减数列；各项 的数列叫做常数列。 有穷数列 无穷数列 大于 知识点二、数列与函数的关系 数列{an}可以看成定义域为正整数集的子集的函数。数列中的数就是自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的 。 微思考 数列所对应的图像是连续的吗？ 解析式 提示：不连续。它的图像是相应的曲线(或直线)上横坐标为正整数的一些孤立的点。 类型一 数列的分类 【例1】　下列数列哪些是有穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？ (1)2 020,2 022,2 024,2 026,2 028； (2)0，eq \f(1,2)，eq \f(2,3)，…，eq \f(n－1,n)，…； (3)1，eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，…，eq \f(1,2n－1)，…； (4)9,9,9,9,9,9。 解　(1)(4)是有穷数列；(1)(2)是递增数列；(3)是递减数列；(4)是常数列。 判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点。对于递增、递减、摆动还是常数列要从项的变化趋势来分析；而有穷还是无穷数列则看项的个数有限还是无限。 【变式训练】　①2011～2018年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82,93,105,119,129,130,132,135。 ②无穷多个eq \r(3)构成数列eq \r(3)， eq \r(3)， eq \r(3)， eq \r(3)，…。 ③－2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列－2,4，－8,16，－32，…。 其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，常数列是________。 答案　①　②③　①　② 解析　①为有穷数列；②③是无穷数列，同时①也是递增数列；②为常数列。 答案与解析 类型二 判断数列的单调性 【例2】　已知数列{an}的通项公式为an＝eq \f(n2,n2＋1)，试判断该数列的单调性。 解　因为an＋1－an＝eq \f(n＋12,n＋12＋1)－eq \f(n2,n2＋1) ＝eq \f(n＋12n2＋1－n2[n＋12＋1],[n＋12＋1]n2＋1) ＝eq \f(2n＋1,[n＋12＋1]n2＋1)， 由n∈N＋，得an＋1－an>0，即an＋1>an。 所以数列{an}是递增数列。 单调性是数列的一个重要性质。判断数列的单调性，通常是运用作差或作商的方法判断an＋1与an(n∈N＋)的大小，若an＋1>an恒成立，则{an}为递增数列；若an＋1<an恒成立，则{an}为递减数列。用作差法判断数列增减性的步骤为：①作差；②变形；③定号；④结论。 【变式训练】　已知数列{an}的通项公式是an＝eq \f(n,2n＋1)，试判断数列{an}的单调性。 解　解法一：因为an＝eq \f(n,2n＋1)， 所以an＋1＝eq \f(n＋1,2n＋1＋1)＝eq \f(n＋1,2n＋3)， 于是an＋1－an＝eq \f(n＋1,2n＋3)－eq \f(n,2n＋1) ＝eq \f(n＋12n＋1－n2n＋3,2n＋12n＋3) ＝eq \f(1,2n＋12n＋3)， 因为n∈N＋， 所以(2n＋1)(2n＋3)>0， 因此eq \f(1,2n＋12n＋3)>0， 即an＋1>an，故{an}是递增数列。 解法二：因为an＝eq \f(n,2n＋1)， 所以an＋1＝eq \f(n＋1,2n＋1＋1)＝eq \f(n＋1,2n＋3)， 于是eq \f(an＋1,an)＝eq \f(n＋1,2n＋3)×eq \f(2n＋1,n) ＝eq \f(2n2＋3n＋1,2n2＋3n)＝1＋eq \f(1,2n2＋3n)， 因为n∈N＋， 所以eq \f(1,2n2＋3n)>0， 因此1＋eq \f(1,2n2＋3n)>1，即eq \f(an＋1,an)>1， 又an>0，所以an＋1>an， 即{an}是递增数列。 类型三 求数列的最大(小)项 【例3】　已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4。 (1)数列中有多少项是负数？ (2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值。 解　(1)由n2－5n＋4<0，解得1<n<4。 因为n∈N＋，所以n＝2,3。所以数列中有两项是负数。 (2)解法一：因为{an}的相应函数为f(x)＝x2－5x＋4＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,2)))2－eq \f(9,4)，可知对称轴方程为x＝eq \f(5,2)＝2.5。 又因为n∈N＋，故n＝2或3时，an有最小值，且a2＝a3，其最小值为22－5×2＋4＝－2。 解法二：设第n项最小，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(an≤an＋1，,an≤an－1)) 得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(n2－5n＋4≤n＋12－5n＋1＋4，,n2－5n＋4≤n－12－5n－1＋4。)) 解这个不等式组，得2≤n≤3。 又因为n∈N＋，所以n＝2,3。 所以a2＝a3且最小。 所以a2＝a3＝22－5×2＋4＝－2。 求数列{an}的最大项和最小项，一种方法是利用函数的最值法；另一种是不等式法，求最小项可由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(an≤an＋1，,an≤an－1。))来确定n，求最大项可由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(an≥an＋1，,an≥an－1。))来确定n。若数列是单调的，也可由单调性来确定最大或最小项。 【变式训练】　已知数列{an}的通项公式an＝(n＋1)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))n(n∈N＋)，试问数列{an}有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数；若没有，说明理由。 解　假设数列{an}中存在最大项。 因为an＋1－an＝(n＋2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))n＋1－(n＋1)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))n·eq \f(9－n,11)， 当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an； 当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an； 当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1<an， 故a1<a2<a3<…<a9＝a10>a11>a12>…， 所以数列中有最大项，最大项为第9,10项，且a9＝a10＝eq \f(1010,119)。 类型四 数列与函数的关系 【例4】　在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式an的相应函数是一次函数。 (1)求{an}的通项公式； (2)88是不是数列{an}中的项？ 解　(1)设an＝kn＋b，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝k＋b＝2，,a17＝17k＋b＝66，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k＝4，,b＝－2。)) 所以an＝4n－2(n∈N＋)。 (2)令an＝88，即4n－2＝88， 解得n＝22.5∉N＋。 所以88不是数列{an}中的项。 (1)在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意通项公式相当于函数中的函数解析式。它的定义域是N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})这一约束条件。 (2)判断一个数是否为该数列中的项，其方法是可由通项公式等于这个数求方程的根，根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项。 【变式训练】　已知数列{an}的通项公式为an＝－n2＋2n＋1，该数列的图像有何特点？试利用图像说明该数列的单调性及所有的正数项。 解　由数列与函数的关系可知，数列{an}的图像是分布在二次函数y＝－x2＋2x＋1图像上的离散的点，如图所示，从图像上可以看出该数列是一个递减数列，且前两项为正数项，从第3项往后各项为负数项。 忽视数列与函数的区别致误 【典例】　设数列{an}的通项公式为an＝n2＋λn，且对任意n∈N＋，an<an＋1恒成立，则实数λ的取值范围是________。 【易错解法】　an＝n2＋λn＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(λ,2)))2－eq \f(λ2,4)，由n∈N＋，且an<an＋1，知数列{an}是递增数列，所以－eq \f(λ,2)≤1，即λ∈[－2，＋∞)。 【易错探因】　事实上，由二次函数图像的对称性知，函数f(x)＝x2＋λx在[1，＋∞)上不单调照样可使得数列单调，即对称轴x＝－eq \f(λ,2)满足－eq \f(λ,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))时，仍有a1<a2成立。 【正确解答】　解法一：由题意知，an＋1－an＝(n＋1)2＋λ(n＋1)－n2－λn＝2n＋1＋λ>0恒成立，即λ>－(2n＋1)恒成立。因为n∈N＋，所以λ>－3。故实数λ的取值范围是(－3，＋∞)。 解法二：an＝n2＋λn＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(λ,2)))2－eq \f(λ2,4)，由于n∈N＋，且由an<an＋1恒成立可知，数列{an}是单调递增数列，结合二次函数的图像有－eq \f(λ,2)<eq \f(3,2)，解得λ>－3，故λ的取值范围是(－3，＋∞)。 【答案】　(－3，＋∞) 答案与解析 1．已知an＋1－an－2＝0，n∈N＋，则数列{an}是(　　) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．不能确定 解析　an＋1＝an＋2＞an，n∈N＋，即该数列每一项均小于后一项，故数列{an}是递增数列。 答案　A 答案与解析 2．已知数列{an}的通项公式是an＝eq \f(2n,n＋1)，则这个数列是(　　) A．递增数列 B．递减数列 C．有穷数列 D．常数列 解析　an＝2－eq \f(2,n＋1)，an＋1－an＝eq \f(2,n＋1)－eq \f(2,n＋2)>0。故选A。 答案　A 答案与解析 3．已知数列{an}的通项公式an＝log(n＋1)(n＋2)，则它的前30项之积是(　　) A．eq \f(1,5) B．5 C．6 D．eq \f(log23＋log3132,5) 解析　a1·a2·…·a30＝log23·log34·log45·…·log3132＝log232＝5。故选B。 答案　B 答案与解析 4．已知数列an＝(m2－2m)(n3－2n)是递减数列，求实数m的取值范围。 解　因为数列{an}为递减数列，所以an＋1<an。 所以an＋1－an＝(m2－2m)[(n＋1)3－2(n＋1)－n3＋2n]＝(m2－2m)(3n2＋3n－1)<0。 因为n∈N＋， 所以3n2＋3n－1＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(1,2)))2－eq \f(7,4)≥5>0。 所以m2－2m<0，解得0<m<2。 故m∈(0,2)。 $$