5.3.1 第2课时 等比数列的性质(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教B版2019）

高中数学 选择性必修 第三册 B版 赢在微点 轻松课堂 数学 第五章 数列 5.3.1　等比数列 第2课时　等比数列的性质 5.3　等比数列 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.1　第2课时　等比数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 —— —— 稳健启程 新知初步构建 自主预习·明新知 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.1　第2课时　等比数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.1　第2课时　等比数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.1　第2课时　等比数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.1　第2课时　等比数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.1　第2课时　等比数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 —— —— 细研深究 萃取知识精华 合作探究·攻重难 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.1　第2课时　等比数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.1　第2课时　等比数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.1　第2课时　等比数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.1　第2课时　等比数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.1　第2课时　等比数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.1　第2课时　等比数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.1　第2课时　等比数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.1　第2课时　等比数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.1　第2课时　等比数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.1　第2课时　等比数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.1　第2课时　等比数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.1　第2课时　等比数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.1　第2课时　等比数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.1　第2课时　等比数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.1　第2课时　等比数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.1　第2课时　等比数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.1　第2课时　等比数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.1　第2课时　等比数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 —— —— 即时训练 巩固当堂所学 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.1　第2课时　等比数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.1　第2课时　等比数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.1　第2课时　等比数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.1　第2课时　等比数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.3.1　第2课时　等比数列的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 　 观察等比数列:2,4,8,16,32,64,128,256,…。 可以发现:162=8×32=4×64=2×128,即=a3a5=a2a6=a1a7。 观察项的角标满足什么关系?由此你能得到什么固定的结论吗? 1.掌握等比中项的概念并会应用; 2.灵活应用等比数列的通项公式推广形式及变形; 3.理解等比数列的有关性质,并能用相关性质简化计算。 知识点一、等比中项 如果x，G，y是等比数列，那么称G为x与y的 。根据等比中项与等比数列的定义可知eq \f(G,x)＝eq \f(y,G)，因此G2＝xy。由此可知G＝±eq \r(xy)。 等比中项 知识点二、等比数列的性质 (1)对称性：a1an＝a2an－1＝a3an－2＝…＝am·an－m＋1(n>m且n，m∈N＋)； (2)若正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则asat＝apaq； (3)若s，p，q成等差数列，则as，ap，aq成等比数列； (4)在等比数列{an}中，连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或qk2)的等比数列； (5) 如果{an}，{bn}均为项数相同的等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{anbn}，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(bn,an)))，{|an|}仍是等比数列，且公比分别为eq \f(1,q1)，q1q2，eq \f(q2,q1)，|q1|。 常 知识点三、等比数列的单调性 q>1 0<q<1 q＝1 q<0 a1>0 数列 数列 数列 数列摆动 a1<0 数列 数列 递增 递减 递减 递增 只有同号的两个数才有等比中项，等比中项有两个，它们互为相反数这一点与等差数列不同。 类型一 等比中项的应用 【例1】　在等比数列{an}中，a1＝eq \f(1,8)，q＝2，则a4与a8的等比中项为(　　) A．±eq \f(1,4) B．4 C．±4 D．eq \f(1,4) 解析　a4＝a1q3＝eq \f(1,8)×23＝1，a8＝a1q7＝eq \f(1,8)×27＝16，a4与a8的等比中项为±eq \r(16)，即±4。 答案　C 答案与解析 (2)已知b是a，c的等比中项，求证：ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项。 证明　b是a，c的等比中项，则b2＝ac， 又(a2＋b2)(b2＋c2)＝a2b2＋a2c2＋b4＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2， (ab＋bc)2＝a2b2＋2ab2c＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2， 所以(ab＋bc)2＝(a2＋b2)(b2＋c2)， 即ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项。 由等比中项的定义可知：eq \f(G,x)＝eq \f(y,G)⇒G2＝xy⇒G＝±eq \r(xy)。这表明只有同号的两项才有等比中项，并且这两项的等比中项有两个，它们互为相反数。反之，若G2＝xy，则eq \f(G,x)＝eq \f(y,G)，即x，G，y成等比数列。所以x，G，y成等比数列⇔G2＝xy(xy≠0)。 【变式训练】　在等差数列{an}中，公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则eq \f(a1＋a3＋a9,a2＋a4＋a10)等于多少？ 解　由题意知a3是a1和a9的等比中项，所以aeq \o\al(2,3)＝a1a9， 所以(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，得a1＝d， 所以eq \f(a1＋a3＋a9,a2＋a4＋a10)＝eq \f(13d,16d)＝eq \f(13,16)。 类型二 等比数列性质的应用 【例2】　已知数列{an}为等比数列。 (1)若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值； (2)若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求数列{an}的通项公式。 解　(1)因为a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36， 所以aeq \o\al(2,3)＋2a3a5＋aeq \o\al(2,5)＝36， 所以(a3＋a5)2＝36，又因为an>0， 所以a3＋a5＝6。 (2)因为aeq \o\al(2,2)＝a1a3代入已知，得aeq \o\al(3,2)＝8， 所以a2＝2。 设前三项为eq \f(2,q)，2,2q，则有eq \f(2,q)＋2＋2q＝7。 整理，得2q2－5q＋2＝0， 所以q＝2或q＝eq \f(1,2)。 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝1，,q＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝4，,q＝\f(1,2)。)) 所以an＝2n－1或an＝23－n。 在等比数列的有关运算中，常常涉及到次数较高的指数运算。若按常规解法，往往是建立a1，q的方程组，这样解起来很麻烦。通过本例可以看出：结合等比数列的性质进行整体变换，会起到化繁为简的效果。 【变式训练】　设各项均为正数的等比数列{an}满足a4a8＝3a7，则log3(a1a2…a9)等于(　　) A．38 B．39 C．9 D．7 解析　因为a4·a8＝a5·a7＝3a7且a7≠0，所以a5＝3，所以log3(a1a2…a9)＝log3aeq \o\al(9,5)＝log339＝9。 答案　C 答案与解析 类型三 等比数列未知量的设法 【例3】　(1)已知4个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为－eq \f(3,2)，则此4个数分别为__________。 解析　设4个数依次为a，aq，aq2，aq3，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a4q6＝1，,aq1＋q＝－\f(3,2)，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,8)，,q＝－4，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝8，,q＝－\f(1,4)，))所以这4个数分别为8，－2，eq \f(1,2)，－eq \f(1,8)或－eq \f(1,8)，eq \f(1,2)，－2,8。 答案　8，－2，eq \f(1,2)，－eq \f(1,8)或－eq \f(1,8)，eq \f(1,2)，－2,8 答案与解析 (2)已知3个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这3个数。 解　由题意可以设这3个数分别为eq \f(a,q)，a，aq，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(a,q)·a·aq＝27，,\f(a2,q2)＋a2＋a2q2＝91，)) ⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝3，,a2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,q2)＋1＋q2))＝91，)) 所以9q4－82q2＋9＝0， 即得q2＝9或q2＝eq \f(1,9)， 所以q＝±3或q＝±eq \f(1,3)，故这3个数为 1,3,9或－1，3，－9或9,3,1或－9,3，－1。 巧设等差数列、等比数列的方法 (1)若3个数成等差数列，常设成a－d，a，a＋d。若3个数成等比数列，常设成eq \f(a,q)，a，aq或a，aq，aq2。 (2)若4个数成等比数列，可设为eq \f(a,q)，a，aq，aq2。若4个正数成等比数列，可设为eq \f(a,q3)，eq \f(a,q)，aq，aq3。 【变式训练】　3个数成等比数列，其积为512，如果第1个数与第3个数各减去2，则这3个数成等差数列，求这3个数。 解　设3个数依次为eq \f(a,q)，a，aq， 因为eq \f(a,q)·a·aq＝512，所以a＝8。 因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,q)－2))＋(aq－2)＝2a， 所以2q2－5q＋2＝0，所以q＝2或q＝eq \f(1,2)， 所以这3个数为4,8,16或16,8,4。 类型四 等差数列与等比数列的综合运用 【例4】　(1)已知等比数列{an}中，a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b3＋b11＝(　　) A．3 B．6 C．7 D．8 解析　因为{an}为等比数列，且a3a11＝4a7，所以aeq \o\al(2,7)＝4a7≠0，解得a7＝4，数列{bn}是等差数列，则b3＋b11＝2b7＝2a7＝8。故选D。 答案　D 答案与解析 (2)在公比大于1的等比数列{an}中，a3＝27，且a2，a3＋18，a4成等差数列。 求数列{an}的通项公式。 解　设等比数列{an}的公比为q，则q>1， 因为a2、a3＋18、a4成等差数列，所以2(a3＋18)＝a2＋a4。 即2(27＋18)＝eq \f(27,q)＋27q，整理得3q2－10q＋3＝0，解得q＝eq \f(1,3)(舍去)或q＝3。 故an＝a3qn－3＝27×3n－3＝3n。 (1)在等差数列与等比数列的综合问题中，特别要注意它们的区别，避免用错公式。 (2)方程思想的应用往往是解题的关键。 【变式训练】　已知数列{an}是等差数列，且公差d>0，首项a1＝1，且a3＋1是a2＋1与a4＋2的等比中项。求数列{an}的通项公式。 解　由题意可知，a2＝1＋d，a3＝1＋2d，a4＝1＋3d， 因为a3＋1是a2＋1与a4＋2的等比中项， 所以(a3＋1)2＝(a2＋1)(a4＋2)，即(2＋2d)2＝(2＋d)(3＋3d)， 化简得d2－d－2＝0，解得d＝－1或d＝2， 又公差d＞0，所以d＝2。 故an＝1＋2(n－1)＝2n－1。 1．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a7＝(　　) A．－4 B．－2 C．2 D．4 解析　因为等差数列{an}的公差为2，且a1，a3，a4成等比数列，所以aeq \o\al(2,3)＝a1a4，则aeq \o\al(2,3)＝(a3－4)(a3＋2)，解得a3＝－4。所以a7＝a3＋(7－3)d＝－4＋4×2＝4。 答案　D 答案与解析 2.（多选）eq \f(\r(6)＋\r(2),4)与eq \f(\r(6)－\r(2),4)两数的等比中项可以是(　　) A．eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2) C．－ eq \f(1,4) D．eq \f(1,4) 解析　设等比中项为a，则a2＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4)×eq \f(\r(6)－\r(2),4)＝eq \f(1,4)，所以a＝－eq \f(1,2)或a＝eq \f(1,2)。 答案　AB 答案与解析 3．在等比数列{an}中，已知a7·a12＝5，则a8·a9·a10·a11等于(　　) A．10 B．25 C．50 D．75 解析　运用等比数列的性质，可得a8·a11＝a9·a10＝a7·a12＝5，所以a8·a9·a10·a11＝25。 答案　B 答案与解析 4．若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则lna1＋lna2＋…＋lna20＝________。 解析　因为{an}为等比数列，且a10a11＋a9a12＝2e5，所以a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，所以a10a11＝e5，所以lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1a2…a20)＝ln(a10a11)10＝ln(e5)10＝lne50＝50。 答案　50 答案与解析 $$