5.1.1 第1课时 数列的概念(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教B版2019）

高中数学 选择性必修 第三册 B版 赢在微点 轻松课堂 数学 第五章 数列 ▶导语:本单元的学习,可以帮助学生通过对日常生活中实际问题的分析,了解数列的概念,探索并掌握等差数列和等比数列的变化规律,建立通项公式和前n项和公式,能运用等差数列、等比数列解决简单的实际问题和数学问题,感受数学模型的现实意义与应用,了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的联系,感受数列与函数的共性与差异,体会数学的整体性。 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 要点精准概括 7个重要概念:数列、数列的通项公式、数列的递推公式、 等差数列、等差中项、等比数列、等比中项 4个重要公式:等差数列的通项公式、等差数列的前n项和公式、等比数列的通项公式、等比数列的前n项和公式 4种重要关系:数列与函数、等差数列与一次函数、等比数列与指数函数、数列的前n项和与通项 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 5.1.1　数列的概念 第1课时　数列的概念 5.1　数列基础 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.1　第1课时　数列的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 —— —— 稳健启程 新知初步构建 自主预习·明新知 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.1　第1课时　数列的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.1　第1课时　数列的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.1　第1课时　数列的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.1　第1课时　数列的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 —— —— 细研深究 萃取知识精华 合作探究·攻重难 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.1　第1课时　数列的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.1　第1课时　数列的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.1　第1课时　数列的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.1　第1课时　数列的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.1　第1课时　数列的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.1　第1课时　数列的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.1　第1课时　数列的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.1　第1课时　数列的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.1　第1课时　数列的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.1　第1课时　数列的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.1　第1课时　数列的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.1　第1课时　数列的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.1　第1课时　数列的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.1　第1课时　数列的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.1　第1课时　数列的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 —— —— 即时训练 巩固当堂所学 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.1　第1课时　数列的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.1　第1课时　数列的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.1　第1课时　数列的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.1　第1课时　数列的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.1　第1课时　数列的概念 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 　 　　 冬季奥运会每四年举办一次。第17届冬季奥运会是在1994年举办的, 2022年举办了北京冬奥会,那么北京冬奥会是第多少届?经过列举得到一列数:1 994,1 998,2 002,2 006,2 010,2 014,2 018,2 022。显然北京冬奥会是第24届冬奥会,这就是今天我们要学习的数列。 1.理解数列及其有关概念; 2.理解数列的通项公式,并会用通项公式写出数列的任意一项; 3.对于比较简单的数列,会根据其前几项写出它的一个通项公式; 4.了解数列与函数的关系,会根据数列的前几项写出它的通项公式; 5.能利用函数的性质解决数列的相关问题。 第1项(或首项) 第2项 第n项 项的个数 项数有限 知识点一、数列的相关概念 1．按照 排列的 称为数列，数列中的每一个数都称为这个数列的 。各项依次称为这个数列的 ， ，…， ，…。 2．组成数列的 称为数列的项数。 3．一般地， 的数列称为有穷数列，有穷数列的最后一项一般也称为这个数列的 。 4．一般地， 的数列称为无穷数列。 末项 项数无限 一定次序 一列数 项 知识点二、数列的通项 1．数列的一般形式可以写成 ，其中 表示数列的第n项(也称n为an的序号，其中n为正整数，即n∈N＋)，称为数列的通项。一般将整个数列记为 。 2．一般地，如果数列的第n项an与n之间的关系可以用an＝f (n)来表示，其中f (n)是关于n的不含其他未知数的表达式，则称上述关系式为这个数列的一个通项公式。 a1，a2，a3，…，an，… an {an} 　 不是所有数列都能写出通项公式,若数列有通项公式,通项公式表达式不一定唯一。 提示：不是。顺序不一样。 微思考　数列2,3,4与数列2,4,3是同一个数列吗？ 类型一 数列的概念 【例1】　下列叙述正确的是(　　) A．数列2,4,6,8和数列4,2,6,8是同一个数列 B．同一个数在数列中可能重复出现 C．数列是按一定顺序排列的有规律的一列数 D．数列的通项公式是唯一的 解析　根据数列的定义，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列，A错误；数列中的数的排列不一定有规律，C错误；数列－1,1，－1，1，－1,1，…的通项公式可以写成an＝(－1)n，也可以写成an＝(－1)n＋2，还可以写成分段函数的形式，D错误；数列中的数可以重复出现。故选B。 答案　B 答案与解析 运用数列的定义判断一组元素是否为数列的一般步骤 (1)判断这组元素是否都是数。 (2)判断这组元素是否按照一定的顺序排列。 注意：按一定顺序不表示该数列具有规律性，即数列中的每一项可以是有规律的，也可以是无规律的。 【变式训练】　下列数列中，为无穷数列的是(　　) A．1，eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，eq \f(1,4) B．－1，－2，－3，－4 C．－1，－eq \f(1,2)，－eq \f(1,4)，－eq \f(1,8)，… D．1，eq \r(2)，eq \r(3)，…，eq \r(n) 解析　A，B，D是有穷数列，只有C符合题意。 答案　C 答案与解析 类型二 利用数列的前几项求通项公式 【例2】　根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)－1,7，－13,19，…； (2)eq \f(1,2)，2，eq \f(9,2)，8，eq \f(25,2)，…； (3)0.8,0.88,0.888，…； (4)eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，－eq \f(5,8)，eq \f(13,16)，－eq \f(29,32)，eq \f(61,64)，…； (5)eq \f(3,2)，1，eq \f(7,10)，eq \f(9,17)，…。 解　(1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)。 (2)统一分母为2，则有eq \f(1,2)，eq \f(4,2)，eq \f(9,2)，eq \f(16,2)，eq \f(25,2)，…， 因而有an＝eq \f(n2,2)。 (3)将数列变形为eq \f(8,9)(1－0.1)，eq \f(8,9)(1－0.01)，eq \f(8,9)(1－0.001)，…，所以an＝eq \f(8,9) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,10n)))。 (4)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母小3。因此把第1项变为－eq \f(2－3,2)，至此原数列可化为－eq \f(21－3,21)，eq \f(22－3,22)，－eq \f(23－3,23)，eq \f(24－3,24)，…， 所以an＝(－1)n·eq \f(2n－3,2n)。 (5)将数列统一为eq \f(3,2)，eq \f(5,5)，eq \f(7,10)，eq \f(9,17)，…，对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋1，对于分母2,5,10,17，…，联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，所以可得原数列的一个通项公式为an＝eq \f(2n＋1,n2＋1)。 此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法。具体方法为：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同。对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系。 【变式训练】　写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)－eq \f(1,1×2)，eq \f(1,2×3)，－eq \f(1,3×4)，eq \f(1,4×5)； (2)eq \f(22－1,2)，eq \f(32－1,3)，eq \f(42－1,4)，eq \f(52－1,5)； (3)7,77,777,7 777。 解　(1)这个数列前4项的分母都是序号数乘以比序号数大1的数，并且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为an＝eq \f(－1n,nn＋1)，n∈N＋。 (2)这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1，所以它的一个通项公式为an＝eq \f(n＋12－1,n＋1)，n∈N＋。 (3)这个数列的前4项可以变为eq \f(7,9)×9，eq \f(7,9)×99，eq \f(7,9)×999，eq \f(7,9)×9 999， 即eq \f(7,9)×(10－1)，eq \f(7,9)×(100－1)，eq \f(7,9)×(1 000－1)，eq \f(7,9)×(10 000－1)， 即eq \f(7,9)×(10－1)，eq \f(7,9)×(102－1)，eq \f(7,9)×(103－1)，eq \f(7,9)×(104－1)， 所以它的一个通项公式为an＝eq \f(7,9)×(10n－1)，n∈N＋。 类型三 数列通项公式的应用 【例3】　已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n。 (1)写出数列的第4项和第6项； (2)问－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由。 解　(1)根据an＝3n2－28n，a4＝3×42－28×4＝－64，a6＝3×62－28×6＝－60。 (2)令3n2－28n＝－49，即3n2－28n＋49＝0，所以n＝7或n＝eq \f(7,3)(舍)。 所以－49是该数列的第7项，即a7＝－49。 令3n2－28n＝68，即3n2－28n－68＝0， 所以n＝－2或n＝eq \f(34,3)。 因为－2∉N＋，eq \f(34,3)∉N＋，所以68不是该数列的项。 (1)数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项。 (2)判断某数值是否为该数列的项，先假设是数列的项，列出方程，若方程的解为正整数(项数)，则是该数列的项；若方程无解或解不是正整数，则不是数列的项。 【变式训练】　根据下面数列的通项公式，写出它们的前5项。 (1)an＝eq \f(n,2n＋1)；(2)an＝3n＋2n。 解　(1)在通项公式an＝eq \f(n,2n＋1)中，依次取n＝1,2,3,4,5，得到数列的前5项分别为a1＝eq \f(1,2×1＋1)＝eq \f(1,3)，a2＝eq \f(2,2×2＋1)＝eq \f(2,5)，a3＝eq \f(3,2×3＋1)＝eq \f(3,7)，a4＝eq \f(4,2×4＋1)＝eq \f(4,9)，a5＝eq \f(5,2×5＋1)＝eq \f(5,11)。 (2)在通项公式an＝3n＋2n中，依次取n＝1,2,3,4,5，得到数列的前5项分别为a1＝3×1＋21＝5，a2＝3×2＋22＝10，a3＝3×3＋23＝17，a4＝3×4＋24＝28，a5＝3×5＋25＝47。 1．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为(　　) A．an＝n B．an＝n＋1 C．an＝n＋2 D．an＝2n 解析　这个数列的前4项都比序号大1，所以，它的一个通项公式为an＝n＋1。 答案　B 答案与解析 2．已知数列{an}的通项公式为an＝eq \f(1,3)(－1)n＋1，则该数列的前4项依次为(　　) A．－eq \f(1,3)，0，－eq \f(1,3)，0 B．－eq \f(1,3)，eq \f(1,3)，－eq \f(1,3)，eq \f(1,3) C．eq \f(1,3)，－eq \f(1,3)，eq \f(1,3)，－eq \f(1,3) D．0，eq \f(1,3)，0，eq \f(1,3) 解析　当n分别等于1,2,3,4时，a1＝eq \f(1,3)，a2＝－eq \f(1,3)，a3＝eq \f(1,3)，a4＝－eq \f(1,3)。 答案　C 答案与解析 3．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－50，则－8是该数列的(　　) A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．非任何一项 解析　n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去)。 答案　C 答案与解析 4．观察下列数列的特点，用适当的一个数填空：1，eq \r(3)，eq \r(5)，eq \r(7)，3，________，eq \r(13)，…。 5．已知数列{an}的通项公式an＝eq \f(－1n－1·n,2n－1)，n∈N＋，则a1＝________；an＋1＝________。 解析　a1＝eq \f(－11－1×1,2×1－1)＝1，an＋1＝eq \f(－1n＋1－1·n＋1,2n＋1－1)＝eq \f(－1n·n＋1,2n＋1)。 答案　1　eq \f(－1n·n＋1,2n＋1) 答案与解析 eq \r(11) $$