6.3.2 二项式系数的性质(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

高中数学 选择性必修 第三册 A版 赢在微点 轻松课堂 数学 第六章 计数原理 6.3.2　二项式系数的性质 6.3　二项式定理 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.3.2　二项式系数的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 —— —— 稳健启程 新知初步构建 自主预习·明新知 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.3.2　二项式系数的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.3.2　二项式系数的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.3.2　二项式系数的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.3.2　二项式系数的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.3.2　二项式系数的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.3.2　二项式系数的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 —— —— 细研深究 萃取知识精华 合作探究·攻重难 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.3.2　二项式系数的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.3.2　二项式系数的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.3.2　二项式系数的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.3.2　二项式系数的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.3.2　二项式系数的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.3.2　二项式系数的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.3.2　二项式系数的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.3.2　二项式系数的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.3.2　二项式系数的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.3.2　二项式系数的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.3.2　二项式系数的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.3.2　二项式系数的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.3.2　二项式系数的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.3.2　二项式系数的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.3.2　二项式系数的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.3.2　二项式系数的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.3.2　二项式系数的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.3.2　二项式系数的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 —— —— 即时训练 巩固当堂所学 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.3.2　二项式系数的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.3.2　二项式系数的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.3.2　二项式系数的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.3.2　二项式系数的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.3.2　二项式系数的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.3.2　二项式系数的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.3.2　二项式系数的性质 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 　杨辉三角是我国古代数学的研究成果之一,它的发现远早于法国数学家帕斯卡的发现。杨辉三角和勾股定理、圆周率的计算等其他中国古代数学成就,显示了我国古代人民的卓越智慧和才能。 1.掌握二项式系数的性质,并会解决简单的问题。 2.掌握赋值法,并会熟练运用。 减小 1.对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等。事实上,这一性质可直接由______________得到。直线__________将函数f (r)=的图象分成对称的两部分,它是图象的对称轴。 2.增减性与最大值 (1)当k<时,随k的增加而_________;当k>时,随k的增加而________。 (2)当n是偶数时,中间的一项______取得最大值;当n是奇数时,中间的两项______与________相等,且同时取得最大值。 = r= 增大 3.各二项式系数的和 (1)+++…+=_________。 (2)+++…=+++…=_________。 2n 2n-1 微提醒 (1)二项式系数的增减性源于以下认识:因为===,所以,当>1,即k<时,>;当<1,即k>时,<。 (2)对于2n=+++…+,也可以从集合的角度解释。设A是含有n个元素的集合,求A的子集个数时,可以按照子集中含有元素的个数进行分类:没有元素的子集(即空集)有个,含1个元素的子集有个,含2个元素的子集有个,…,含n个元素的子集有个,故所有子集的个数为+++…+=2n。 微思考 1.二项展开式中系数最大项就是二项式系数的最大项,对吗? 提示:不正确。系数不同于二项式系数。 2.什么时候二项式系数最大? 3.++…+=2n,对吗? 提示:当n为偶数时,展开式有奇数项,正中间一项的二项式系数最大,即为;当n为奇数时,展开式有偶数项,中间两项的二项式系数同时最大,即为=。 提示:不正确,++…+=2n-=2n-1。 类型一 杨辉三角 　　【例1】　(1)在(a+b)n的二项展开式中,与第k项的二项式系数相同的项是 ( ) A.第n-k项 B.第n-k-1项 C.第n-k+1项 D.第n-k+2项 解析　第k项的二项式系数是,由于=,故第n-k+2项的二项式系数与第k项的二项式系数相同。 D (2)观察图中的数所成的规律,则a所表示的数是 ( ) 1 1　2　1 1　3　3　1 1　4　a　4　1 1　5　10　10　5　1 A.8 B.6 C.4 D.2 解析　由题图知,下一行的数是其肩上两数的和,所以4+a=10,得a=6。 B 解决与杨辉三角有关问题的一般思路 (1)观察:对题目要横看、竖看、隔行看、连续看,多角度观察。 (2)找规律:通过观察找出每一行的数之间,行与行之间的数据的规律。 (3)将数据间的这种联系用数学式表达出来,使问题得解。 【变式训练】　如下图,它满足:①第n行首尾两数均为n;②表中的递推关系类似杨辉三角,则第n行(n≥2)第二个数是多少? 解　设第n行第2个数为an(n≥2), 则所以an+1-an=n(n≥2)。 所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+a2= 2+2+3+4+…+ (n-1)=1 +=(n≥2)。 类型二 赋值法的应用 　　【例2】　已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7。 求:(1)a1+a2+…+a7; (2)a1+a3+a5+a7; (3)a0+a2+a4+a6; (4)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|。 解　令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1,① 令x=-1,则a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37,② (1)因为a0==1,所以a1+a2+a3+…+a7=-2。 (2)由(①-②)÷2,得a1+a3+a5+a7==-1 094。 (3)由(①+②)÷2,得a0+a2+a4+a6==1 093。 (4)(1-2x)7的展开式中,a0,a2,a4,a6大于零,而a1,a3,a5,a7小于零,所以|a0|+|a1|+|a2|+… +|a7|=(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5+a7)=1 093+1 094=2 187。 (1)赋值法是求二项展开式系数和问题常用的方法,注意取值要有利于问题的解决,可以取一个值或几个值,也可以取几组值,解决问题时要避免漏项等情况。 (2)一般地,二项式展开式f (x)的各项系数的和为f (1),奇次项系数和为[f (1)-f (-1)],偶次项系数和为[f (1)+f (-1)]。 【变式训练】　(1)若(1+x)(1-2x)8=a0+a1x+…+a9x9,x∈R,则a1·2+a2·22+…+a9·29的值为 ( ) A.29 B.29-1 C.39 D.39-1 解析　令x=0,则a0=1,令x=2,则a0+2a1+22a2+…+29a9=39,所以2a1+22a2+… +29a9=39-1。故选D。 D (2)设(+x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则a2=______,(a0+a2+a4+…+a10)2 -(a1+a3+a5+…+a9)2的值为______。  解析　由二项展开式的通项,得T3=()8x2=720x2,故a2=720。利用赋值法,令x=±1有a0+a1+…+a10=(+1)10,a0-a1+a2-…+a10=(-1)10,故(a0+a2+a4+…+a10)2- (a1+a3+a5+…+a9)2=(a0+a1+…+a10)·(a0-a1+a2-…+a10)=(+1)10(-1)10=1。 720 1 类型三 展开式中最大项问题 　　【例3】　已知f (x)=(+3x2)n的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992。 (1)求展开式中二项式系数最大的项; (2)求展开式中系数最大的项。 解　令x=1,则二项式各项系数的和为f (1)=(1+3)n=4n,又展开式中各项的二项式系数之和为2n,由题意知,4n-2n=992。所以(2n)2-2n-992=0,所以(2n+31)(2n-32)=0,所以2n=-31(舍去)或2n=32,所以n=5。 (1)由于n=5为奇数,所以展开式中二项式系数最大的项为中间的两项,它们分别为T3=()3·(3x2)2=90x6,T4=()2·(3x2)3=270。 (2)展开式的通项为Tk+1=·3k·, 假设Tk+1项系数最大,则有 所以 即 所以≤k≤,因为k∈N,所以k=4,所以展开式中系数最大的项为T5=·34· =405。 (1)二项式系数最大的项的求法。求二项式系数最大的项,根据二项式系数的性质对(a+b)n中的n进行讨论。 ①当n为奇数时,中间两项的二项式系数最大。 ②当n为偶数时,中间一项的二项式系数最大。 (2)把系数最大项问题通过分析运算得到正确结论,体现了数学运算的核心素养。 【变式训练】　在x-n的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式中系数最小的项的系数为 ( ) A.-126 B.-70 C.-56 D.-28 解析　由题意可得n=8。所以二项展开式的通项Tk+1=x8-k·-k=(-1)k,要使该项系数·(-1)k最小,k为奇数,取1,3,5,7,经过检验,当k=3或k=5时,系数(-1)k最小,即第4项系数等于第6项系数,且最小,所以展开式中系数最小的项的系数为-56。故选C。 C 利用二项式定理证明不等式 【典例】　利用二项式定理证明:n-1<(n∈N*,且n≥3)。 【思路分析】　欲证n-1<成立,只需证n-1>成立。 【证明】　因为n-1=1+n-1=+·+·2+…+·n-1= 1++·2+…+n-1>>0,所以n-1<,即原不等式成立。 将原不等式等价转化为n-1>(n∈N*,n≥3)及利用n-1=1+n-1是解题的关键。 【变式训练】　求证:对一切n∈N*,都有2≤1+n<3。 证明　由于1+n=+×+×2+×3+…+×n=1+1+×+××+…+×××…×,所以2≤1+n<2+++…+< 2++ +…+=2+1-+-+…+-=3-<3,即2≤1+n<3。 当n=1时,1+n=2;当n≥2时,2<1+n<3。 所以对一切n∈N*,都有2≤1+n<3。 1.在(a-b)20的二项展开式中,二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是 ( ) A.第15项 B.第16项 C.第17项 D.第18项 解析　第6项的二项式系数为,又=,所以第16项符合条件。 B 2.x-11的展开式中二项式系数最大的项是 ( ) A.第3项 B.第6项 C.第6,7项 D.第5,7项 解析　x-11的展开式中第项和+1项,即第6,7项的二项式系数相等,且最大。 C 3.(x-1)11的展开式中,x的奇次幂项的系数之和是 ( ) A.2 048 B.-1 023 C.-1 024 D.1 024 解析　(x-1)11=a0x11+a1x10+a2x9+…+a11,令x=-1,则-a0+a1-a2+…+a11=-211①,令x=1,则a0+a1+a2+…+a11=0②,由,得a0+a2+a4+…+a10=210=1 024,即为所求系数之和。 D 4.(2x-1)6的展开式中各项系数的和为 ______ ,各项的二项式系数的和为______ 。  解析　令x=1,得各项系数的和为1;各二项式系数之和为26=64。 1 64 5.在二项式(2x-3y)9的展开式中,求: (1)二项式系数之和; (2)各项系数之和; (3)所有奇数项系数之和。 解　设(2x-3y)9=a0x9+a1x8y+a2x7y2+…+a9y9。 (1)二项式系数之和为+++…+=29=512。 (2)各项系数之和为a0+a1+a2+…+a9,令x=1,y=1,得a0+a1+a2+…+a9=(2-3)9=-1。 (3)令x=1,y=-1,可得a0-a1+a2-…-a9=59,又a0+a1+a2+…+a9=-1,将两式相加可得a0+a2+a4+a6+a8=,即所有奇数项系数之和为。 6.试求1 99510除以8的余数。 解　1 99510=(8×249+3)10。因为其展开式中除末项为310外,其余的各项均含有8这个因数,所以1 99510除以8的余数与310除以8的余数相同。又因为310=95=(8+1)5,其展开式中除末项为1外,其余的各项均含有8这个因数,所以310除以8的余数为1,即1 99510除以8的余数也为1。 $$