6.3.1 二项式定理(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

高中数学 选择性必修 第三册 A版 赢在微点 轻松课堂 数学 第六章 计数原理 6.3.1　二项式定理 6.3　二项式定理 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.3.1　二项式定理 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 —— —— 稳健启程 新知初步构建 自主预习·明新知 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.3.1　二项式定理 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.3.1　二项式定理 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.3.1　二项式定理 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.3.1　二项式定理 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 —— —— 细研深究 萃取知识精华 合作探究·攻重难 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.3.1　二项式定理 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.3.1　二项式定理 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.3.1　二项式定理 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.3.1　二项式定理 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.3.1　二项式定理 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.3.1　二项式定理 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.3.1　二项式定理 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.3.1　二项式定理 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.3.1　二项式定理 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.3.1　二项式定理 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.3.1　二项式定理 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.3.1　二项式定理 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.3.1　二项式定理 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.3.1　二项式定理 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.3.1　二项式定理 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.3.1　二项式定理 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.3.1　二项式定理 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.3.1　二项式定理 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.3.1　二项式定理 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.3.1　二项式定理 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.3.1　二项式定理 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.3.1　二项式定理 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.3.1　二项式定理 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.3.1　二项式定理 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 —— —— 即时训练 巩固当堂所学 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.3.1　二项式定理 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.3.1　二项式定理 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.3.1　二项式定理 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.3.1　二项式定理 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.3.1　二项式定理 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.3.1　二项式定理 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 　　艾萨克·牛顿(1643—1727),英国科学家。他被誉为人类历史上最伟大的科学家之一。他不仅是一位物理学家、天文学家,还是一位伟大的数学家。1664年冬,由于瘟疫流行,牛顿从剑桥回到乡下,研读沃利斯博士的《无穷算术》,开始了对二项式定理的研究,并最终建立了二项式定理。牛顿是如何思考的呢? 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理。 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。 1.二项式定理 二项式定理 (a+b)n=________________________________ (n∈N*) 二项展开式 an+an-1b1+…+an-kbk+…+bn 二项式系数 (k=0,1,2,…,n) 二项展开式的通项 Tk+1=___________ 特别地 (1+x)n=+x+x2+…+xk+…+xn an+an-1b1+…+an-kbk+…+bn an-kbk 2.二项展开式的特点 (1)展开式共有n+1项。 (2)各项中a,b的次数和都等于二项式的幂指数n。 (3)字母a的幂指数按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到为0,字母b的幂指数按升幂排列,从第一项开始,次数由0逐项加1直到为n。 微思考 1.二项展开式中的项an-rbr是第几项? 2.二项式(a+b)n与(b+a)n的展开式的第k+1项有什么区别? 3.二项式系数与系数相同吗? 提示:an-rbr是(a+b)n的展开式的第r+1项。 提示:(a+b)n的展开式的第k+1项是an-kbk,(b+a)n的展开式的第k+1项是bn-kak。 提示:不相同,例如(1+2x)n的二项式系数为(r=0,1,2,…,n),而系数为2r(r=0,1,2,3,…,n)。 类型一 二项式定理的正用、逆用 　　【例1】　(1)求的展开式。 解　= (3)4+(3)3+(3)2 +(3)+ = 81x2+108x+54++。 (2)化简(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1)。 解　原式=(x-1)5+(x-1)4+(x-1)3+(x-1)2+(x-1)+·(x-1)0-1 =[(x-1) +1]5-1=x5-1。 求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开,展开时注意二项展开式的特点:前一个字母是降幂,后一个字母是升幂。形如(a-b)n的展开式中会出现正负间隔的情况。 【变式训练】　(1)若f (x)=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+4,则f (2 020)-f (-2 020)的值为_________。  解析　根据f (x)的解析式,逆用二项式定理,得f (x)=[(x-1)+1]4+3=x4+3。显然f (-x)= f (x),即f (x)为偶函数,所以f (2 020)-f (-2 020)=0。 0 (2)求-4的展开式。 解　-4=()4-()3·+()2·2-3+4=x2- 2x+-+。 类型二 二项式系数与项的系数 　　命题方向1:求展开式的特定项　 　　【例2】　在-n的展开式中,第6项为常数项。 (1)求n; (2)求含x2的项的系数; (3)求展开式中所有的有理项。 解　Tk+1=·()n-k·-k=·()n-k·-k=-k··。 (1)因为第6项为常数项,所以k=5时,有=0, 所以n=10。 (2)令=2,得k=2,所以所求的系数为-2=。 (3)根据通项,由题意,得令=m(m∈Z),则10-2k=3m,即k==5-m。因为0≤k≤10,所以0≤5-m≤10,所以-≤m≤,又因为m应为偶数,所以m可取2,0,-2,所以k=2,5,8,所以第3项、第6项与第9项为有理项。它们分别为-2·x2,-5,-8·x-2,即x2,-和。 求二项展开式特定项的步骤 【变式训练】　若x+n的展开式中的前3项系数成等差数列,则展开式中的常数项是 _________。  解析　展开式的通项为Tr+1=rxn-2r,前3项的系数为1,,,所以n=1+,解得n=8或n=1(舍去)。所以展开式的通项为Tr+1=rx8-2r,令8-2r=0,得r=4。所以展开式的常数项为4×=。   　命题方向2:求展开式的系数与二项式系数 　　【例3】　(1)求二项式的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数; (2)求的展开式中x3的系数。 解　(1)的展开式中第6项的二项式系数为=6;二项式的展开式中的第6项为×(2) ×=-12,系数是-12。 (2)的展开式的通项为Tr+1=x9-r-r=(-1)rx9-2r。根据题意令9-2r=3,解得r=3,所以x3的系数为(-1)3=-84。 正确区分二项式系数与该项的系数 二项式系数与项的系数是两个不同的概念,前者仅与二项式的指数及项数有关,与二项式无关,后者与二项式,二项式的指数及项数均有关。 【变式训练】　设(x-)n(n∈N*)的展开式中第2项与第4项的系数之比为1∶2,则含x2的项为________。  解析　由题设,得T2=xn-1(-)=-nxn-1,T4=xn-3·(-)3=-2xn-3,于是有=,化简得n2-3n-4=0,解得n=4或n=-1(舍去),故原式为(x-)4。(x-)4的展开式的第k+1项为Tk+1=(-)kx4-k,令4-k=2,得k=2,所以含x2的项为(-)2x2=12x2。 12x2 类型三 两个多项式积的展开式的特定项 　　【例4】　(1)已知(1+ax)(1+x)5的展开式中,含x2的项的系数为5,则a等于 ( ) A.-4 B.-3 C.-2 D.-1 解析　由二项式定理得(1+x)5的展开式的通项为Tk+1=·xk,所以(1+ax)(1+x)5的展开式中含x2的项的系数为+·a=5,所以a=-1,故选D。 D (2)(1+2x)3(1-x)4的展开式中,含x项的系数为 ( ) A.10 B.-10 C.2 D.-2 解析　(1+2x)3(1-x)4的展开式中含x项的系数是由两个因式相乘而得到的,即第一个因式的常数项和一次项分别乘第二个因式的一次项与常数项,为·(2x)0··(-x)1+·(2x)1··(-x)0,其系数为××(-1)+×2×=-4+6=2。故选C。 C 求两个多项式积的展开式的特定项的步骤 (1)分别对每个二项展开式进行分析,发现它们各自项的特点。 (2)找到构成展开式中特定项的组成部分。 (3)分别求解再相乘,求和即得。 【变式训练】　(1)(x2-1)的展开式中的常数项是 ( ) A.48 B.-48 C.112 D.-112 解析　的展开式的通项为Tr+1=5-r(-2)r=(-2)rxr-5,令r-5=0或r-5=-2得,r=5或r=3,T6=-32,T4=-80x-2,所以(x2-1)-25的展开式中的常数项是1×(-80)+(-1)×(-32)=-48。 B (2)在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展开式中,含x4的项的系数是 ( ) A.-15 B.85 C.-120 D.274 解析　展开式中含x4的项应从5个括号中选4个x,1个常数,故x4的系数为(-1)+(-2)+ (-3)+(-4)+(-5)=-15。 A 三项式展开式问题 三项式求特定项的常规方法 (1)因式分解法:通过分解因式将三项式变成两个二项式的积,然后用二项式定理分别展开。 (2)利用组合知识:把三项式看成几个一次项的积,利用组合知识分析项的构成,注意最后应把各个同类项合并。 【典例】　++5的展开式中的常数项为__________。(用数字作答)  【解析】　解法一:++5在x>0时可化为+10,因而展开式的通项Tr+1=10-r·()10-2r,则r=5时为常数项,即·5=。++5在x<0时可化为--10,所以展开式的通项Tk+1=-10-k·(-1)k·()10-2k,令10-2k=0,得k=5,则展开式的常数项为-5(-1)5=。综上,++5的展开式的常数项为。 解法二:原式=5=·[(x+)2]5=·(x+)10。求原展开式中的常数项,转化为求(x+)10的展开式中含x5的项的系数,即·()5。所以原展开式中的常数项为=。 解法三:++5是5个三项式++相乘。常数项的产生有三种情况:①在5个相乘的三项式++中,从其中1个三项式中取,从另外4个三项式中选一个取,从剩余的3个三项式中取常数项相乘,可得····()3=20;②在5个相乘的三项式++中,从其中2个三项式中取,从另外3个三项式中选2个取,从剩余的1个三项式中取常数项相乘,可得 ·2··=;③从5个相乘的三项式++中都取常数项相乘,可得·()5=4。综上,++5的展开式中的常数项为20++4=。 解法一、解法二的共同特点是:利用转化思想,把三项式转化为二项式来解决。解法三是利用二项式定理的推导方法来解决问题,其本质是分类加法计数原理和分步乘法计数原理的运用,用这种方法可以直接求展开式中的特定项。 【变式训练】　(1)(x2-x-2)4的展开式中,x3的系数为________ (用数字作答)。  解析　解法一:(转化法)因为(x2-x-2)4=(x-2)4·(x+1)4=[·x4+·x3·(-2)+ ·x2·(-2)2+·x·(-2)3+·(-2)4]·(·x4+·x3+·x2+·x+),所以x3的系数为-2·+4·+(-8)·+16·=-40。 解法二:(生成法)因为(x2-x-2)4表示4个因式(x2-x-2)的乘积,所以x3的系数可以是:从4个因式中选一个因式提供x2,其余的3个因式中有一个提供(-x),有2个因式都提供(-2);也可以是从4个因式中选3个因式都提供(-x),剩余的1个因式提供(-2),可得x3的系数,故x3的系数为·(-1)·(-2)2+(-1)·(-2)=-48+8=-40。 -40 (2)(1-a+b)5的展开式中,含ab2项的系数为_________。(用数字作答)  解析　(1-a+b)5表示5个(1-a+b)的积,要得到含ab2的项,需1个(1-a+b)选-a,2个(1-a+b)选b,其余的2个(1-a+b)选1即可。所以(1-a+b)5的展开式中,含ab2项的系数为·(-1)··=-30。 -30 1.x+9的展开式中的第4项是 ( ) A.56x3 B.84x3 C.56x4 D.84x4 解析　T4=x63=84x3。 B 2.(1-i)10(i为虚数单位)的二项展开式中第7项为 ( ) A.-210 B.210 C.-120i D.-210i 解析　T7=·(-i)6=-=-210。故选A。 A 3.x-4的展开式中的常数项为 ( ) A.6 B.8 C.12 D.24 解析　x-4的展开式的通项为Tr+1=x4-r·-r=(-2)rx4-2r,当4-2r=0时,r=2,展开式的常数项为T3=4=24。故选D。 D 4.代数式(x+1)4-4(x+1)3+6(x+1)2-4(x+1)+1可化简为______。  解析　(x+1)4-4(x+1)3+6(x+1)2-4(x+1)+1=(x+1)4+(x+1)3(-1)1 +(x+1)2(-1)2 +(x+1)·(-1)3+(-1)4=[(x+1)-1]4=x4。 x4 5.求(1+x)4的展开式中含x2的项的系数。 解　根据乘法公式得,因式1+中的1和(1+x)4的展开式中含x2的项相乘可得含x2的项;因式1+中的和(1+x)4的展开式中含x3的项相乘可得含x2的项。(1+x)4的展开式的通项为Tk+1= xk(k=0,1,…,4),故(1+x)4的展开式中含x2的项为1·x2+·x3=10x2,即含x2的项的系数为10。 $$