6.2.4 组合数(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

高中数学 选择性必修 第三册 A版 赢在微点 轻松课堂 数学 第六章 计数原理 6.2.4　组合数 6.2　排列与组合 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.2.4　组合数 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 —— —— 稳健启程 新知初步构建 自主预习·明新知 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.2.4　组合数 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.2.4　组合数 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.2.4　组合数 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.2.4　组合数 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.2.4　组合数 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.2.4　组合数 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.2.4　组合数 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 —— —— 细研深究 萃取知识精华 合作探究·攻重难 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.2.4　组合数 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.2.4　组合数 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.2.4　组合数 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.2.4　组合数 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.2.4　组合数 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.2.4　组合数 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.2.4　组合数 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.2.4　组合数 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.2.4　组合数 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.2.4　组合数 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.2.4　组合数 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.2.4　组合数 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.2.4　组合数 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.2.4　组合数 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.2.4　组合数 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.2.4　组合数 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.2.4　组合数 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.2.4　组合数 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.2.4　组合数 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.2.4　组合数 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.2.4　组合数 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.2.4　组合数 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.2.4　组合数 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.2.4　组合数 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.2.4　组合数 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 —— —— 即时训练 巩固当堂所学 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.2.4　组合数 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.2.4　组合数 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.2.4　组合数 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.2.4　组合数 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.2.4　组合数 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.2.4　组合数 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.2.4　组合数 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 6.2.4　组合数 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 　　小明五一到某城旅游,要从景点A,B,C,D中选择2处游玩,上午选1处,下午选1处,有多少种不同的旅游方案?如果仅从景点A,B,C,D中选择2处,又有多少种不同的旅游方案呢?这就是今天我们所要学习的组合数问题。 1.能利用排列数公式推导组合数公式,并会应用组合数公式进行计算。 2.能运用组合数的概念及公式解决一些实际应用问题。 1.组合数的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的______________________,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号________表示。 所有不同组合的个数 2.组合数公式与性质 (1)组合数公式。 组合数 公式 乘积 形式 ==________________________________,其中m,n∈N*,并且m≤n 阶乘 形式 =_____________ 规定:=_____。 (2)组合数的性质。 性质1:=__________。 性质2:=+。 3.常见的两类组合问题的解法 (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取。 (2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型:解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解。用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理。 4.组合应用题的解法 (1)无限制条件的组合应用题的解法步骤:一、判断;二、转化;三、求值;四、作答。 (2)有限制条件的组合应用题的解法。 常用解法有:直接法、间接法。可将条件视为特殊元素或特殊位置,一般地按从不同位置选取元素的顺序分步,或按从同一位置选取的元素个数的多少分类。 微思考 1.组合数与组合的区别是什么? 提示:“组合数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数”,它是一个正整数;而一个“组合”是指具体的一件事。 2.组合数的两个性质的作用是什么? 提示:第一个性质中,若m>,通常不直接计算,而改为计算,这样可以减少计算量;第二个性质是根据需要将一个组合数拆解成两个组合数或者把两个组合数合成一个组合数,在解题中要注意灵活运用。 类型一 组合数的应用 　　命题方向1:利用组合数公式计算 　　【例1】　(1)式子可表示为 ( ) A. B. C.101 D.101 解析　分式的分母是100!,分子是101个连续自然数的乘积,最大的为n+100,最小的为n,故=101·=101。 D (2)计算:+=___________。 解析　由组合数定义知所以4≤n≤5,又因为n∈N*,所以n=4或n=5。当n=4时,+=+=5;当n=5时,+=+=16。 5或16 (1)公式==(m,n∈N*,且m≤n),一般用于求值计算。 (2)公式=(m,n∈N*,且m≤n),一般用于化简证明。在具体选择公式时,要根据题目特点正确选择。 【变式训练】　(1)求值:3-2。 解　3-2=3×-2×=148。 (2)证明:m=n。 证明　因为左边=m·==n·=n=右边,所以m=n。 　命题方向2:组合数性质的应用 　　【例2】　(1)计算+++…+的值为 ( ) A. B. C.-1 D.-1 解析　+++…+=++++…+-= ++…+ -1=…=+-1=-1。 C (2)若=,则x的值为__________。  解析　由=得2x-1=x+3或2x-1+x+3=8,解得x=4或x=2。经检验x=4或x=2符合题意。 2或4 (3)求证:=+2+。 证明　由组合数的性质=+可知, 右边=(+)+(+)=+==左边,所以原式成立。 (1)性质“=”的意义及作用。 (2)组合数的性质2主要用于计算或化简多个组合数连加,此时往往需要先用性质1进行适当的转化,使得有两个组合数为下标相同,上标差1的形式,再反复运用性质2即可化成最简形式。 【变式训练】　(1)(多选)+等于 ( ) A. B. C. D. 解析　由组合数的性质得+==。故选BD。 BD (2)方程=的解集为 ( ) A.{4} B.{14} C.{4,6} D.{14,2} 解析　因为=,所以x=2x-4或x+2x-4=14,所以x=4或x=6,经检验知x=4或x=6符合题意,故方程=的解集为{4,6}。故选C。 C (3)计算:+++…+。 解　原式=++…+ =(++…+)· =(++++…+-)· =(+++…+-)· =(++…+-)· =(-)· =(-1)· =2-2 =333 298。 类型二 简单的组合问题 　　【例3】　课外活动小组共13人,其中男生8人,女生5人,并且男、女生各有一名队长,现从中选5人主持某项活动,依下列条件各有多少种选法? (1)至少有一名队长当选; (2)至多有两名女生当选; (3)既要有队长,又要有女生当选。 解　(1)从13人中选出5人共有种选法,其中没有队长的选法为,故至少有一名队长当选的方法为-=825种。 (2)至多有2名女生当选含有三类: 有2名女生;只有1名女生;没有女生, 所以共有++=966种选法。 (3)分两类: 第一类:女队长当选,有=495种选法; 第二类:女队长没当选,有+++=295种选法, 所以共有495+295=790种选法。 有限制条件的抽(选)取问题,主要有两类:一是“含”与“不含”问题,其解法常用直接分步法(即“含”的先取出,“不含”的可把所指元素去掉再取,分步计数);二是“至多”“至少”问题,其解法常有两种解决思路(一是直接分类法,但要注意分类要不重不漏;二是间接法,注意找准对立面,确保不重不 漏)。 【变式训练】　(1)某乒乓球队有9名队员,其中2名是种子选手,现在挑选5名选手参加比赛,种子选手都必须在内,那么不同的选法共有 ( ) A.26种 B.84种 C.35种 D.21种 解析　从7名队员中选出3人有==35种选法。 C (2)从5名男医生,4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女医生都有,则不同的组队方案共有 ( ) A.70种 B.80种 C.100种 D.140种 解析　可分两类,男医生2名,女医生1名或男医生1名,女医生2名。所以共有+=70种。 A 类型三 较复杂的组合问题 　　【例4】　一个口袋内有4个不同的红球,6个不同的白球。 (1)从中任取4个球,红球的个数不比白球少的取法有多少种? (2)若取一个红球记2分,取一个白球记1分,从中任取5个球,使总分不少于7分的取法有多少种? 解　(1)由题意知本题是一个分类计数问题, 将取出4个球分成三类情况; 取4个红球,没有白球,有种; 取3个红球1个白球有种; 取2个红球2个白球有种。 所以符合题意的不同取法共有++=115种。 (2)设取x个红球,y个白球,则 (0≤x≤4,0≤y≤6), 所以或或 所以符合题意的取法有++=186种。 解决较复杂的组合问题一般要把复杂的组合问题分解为较简单的组合问题,恰当分类讨论是解决这类问题的关键。 【变式训练】　甲、乙、丙三个同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六的值班工作,每天1人值班,每人值班2天,如果甲同学不值周一的班,乙同学不值周六的班。可以排出多少种不同的值班表? 解　甲值周一或乙值周六是不合题意的,故可排出不同的值班表共有-2+ =42(种)。 分组分配问题 【典例】　(1)6本不同的书,分给甲、乙、丙三人,每人两本,有多少种方法? (2)6本不同的书,分为三份,每份两本,有多少种方法? 【解】　(1)先从6本书中选2本给甲,有种方法;再从其余的4本中选2本给乙,有种方法;最后将余下的2本书给丙,有种方法,所以分给甲、乙、丙三人,每人2本,共有=90(种)方法。 (2)分给甲、乙、丙三人,每人两本,有种方法,这个过程可以分两步完成:第一步,分为三份,每份两本,设有x种方法;第二步,再将这三份分给甲、乙、丙三名同学,有种方法。根据分步乘法计数原理,可得=x,所以x==15。因此分为三份,每份两本,一共有15种方法。 本例是典型的无序分组问题,组与组之间只要元素个数相同,就是不可区分的,所以在均匀分组和部分均匀分组中,一定要除以元素个数相同的组的“全排列”,保证没有重复。在分组问题中还有一种是“有序分组”(编号分组),是在“无序分组”的基础上乘以组数的“全排列”。因此,解决分组问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是非均匀分组,是无序分组还是有序分组。 【变式训练】　将6位志愿者分成4组,其中2个组各有2人,另2个组各有1人,分配到郑州园博园的4个不同展园服务,不同的分配方案有____________种。(用数字作答)  解析　把6位志愿者分成4组,不同的分组方法种数为=45,将4组分配到4个不同展园的分配方法种数为=24,因此不同的分配方案有45×24=1 080(种)。 1 080 1.+的值为 ( ) A.72 B.36 C.30 D.42 解析　+=+=+=15+21=36。 B 2.若=3,则n的值为 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7 解析　因为=3,所以n(n-1)=,解得n=6或n=1(舍去),故选C。 C 3.某施工小组有男工7名,女工3名,现要选1名女工和2名男工去支援另一施工队,不同的选法有 ( ) A.种 B.种 C.种 D.种 解析　每个被选的人员无角色差异,是组合问题。分两步完成:第一步,选女工,有种选法;第二步,选男工,有种选法。故有种不同的选法。 D 4.某区有7条南北向街道,5条东西向街道(如图)。 (1)图中有______个矩形;  (2)从A点走向B点最短的走法有______ 种。  210 210 解析　(1)在7条南北向街道中任选2条,5条东西向街道中任选2条,这样4条线可组成一个矩形,故可组成矩形·=·=210(个)。 (2)每条东西向的街道被分成6段,每条南北向的街道被分成4段,从A到B最短的走法,无论怎么走,一定至少包括10段,其中6段方向相同,另4段方向也相同,每种走法,即是从10段中选出6段,这6段是走东西方向的(剩下4段即是走南北方向的),共有·=·=210种走法。 5.在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,学校要从中选出5人参加市级培训。在下列条件下,有多少种不同的选法? (1)任意选5人; (2)甲、乙、丙三人必须参加; (3)甲、乙、丙三人不能参加; (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加。 解　(1)从中任选5人是组合问题,共有=792(种)不同的选法。 (2)甲、乙、丙三人必须参加,则只需要从另外9人中选2人,是组合问题,共有=36(种)不同的选法。 (3)甲、乙、丙三人不能参加,则只需从另外的9人中选5人,共有=126(种)不同的选法。 (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加,可分两步:先从甲、乙、丙中选1人,有=3(种)选法;再从另外9人中选4人,有种选法。共有=378(种)不同的选法。 $$