河南省豫西北教研联盟（洛平许济）2024-2025学年高三第二次质量检测数学试题

豫西北教研联盟(洛平许济)2024—2025 学年 高三第二次质量检测试题 数学参考答案及评分意见 一、选择题 1 - 4:CCBC　 5 - 8:AADD 二、多选题 9. ABD;　 10. BCD;　 11. BD 三、填空题 12. π 6 ;　 　 13. 84;　 　 14. 3 2 . 四、解答题 15. 解:(1) 由题意可得(0. 01 + 0. 06 + 0. 07 + a + 0. 02) × 5 = 1,解得 a = 0. 04. ……3 分 (2) 续航时间不少于 35 小时的频率为 5 × 0. 04 + 5 × 0. 02 = 0. 3, ……4 分 续航时间不少于 35 小时的电池组数量为 0. 3 × 50 = 15 . ……5 分 续航时间少于 35 小时的电池组数量为 35, 设 A = “恰有 1 组电池续航不少于 35 小时”,则 P(A) = C115C135 C250 = 3 7 . ……6 分 (3) 根据样本估计总体的思想,取 1 组电池续航时间不少于 35 小时的概率为 0. 3, 1 组电池续航时间少于 35 小时的概率为 0. 7,则 X ~ B(2,0. 3) . ……8 分 P(X = 0) = C02 × 0. 72 = 0. 49, P(X = 1) = C12 × 0. 3 × 0. 7 = 0. 42, P(X = 2) = C22 × 0. 32 = 0. 09, ……11 分 故分布列为 X 0 1 2 P 0. 49 0. 42 0. 09 E(X) = 2 × 0. 3 = 0. 6. ……13 分 16. 解:(1)∵ 　 点 P( - 1,2) 在椭圆上,　 ∴ 　 4 a2 + 1 b2 = 1. ……1 分 高三数学答案　 第1 页　 (共 5 页)　 (2025. 3) 又 a2 = b2 + 6 ……2 分 解得 a2 = 8, b2 = 2.{ ……4 分 ∴ 　 椭圆 C 的标准方程为y 2 8 + x 2 2 = 1. ……5 分 (2) 证明:由题意知直线 PA,PB 的斜率均存在且不为 0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 PA 的方程为 y - 2 = k(x + 1)(k ≠ 0), 由 y2 8 + x 2 2 = 1, y - 2 = k(x + 1) . ì î í ïï ï 消去 y 得(k2 + 4)x2 + 2k(k + 2)x + k2 + 4k - 4 = 0, ∴ 　 - x1 = k2 + 4k - 4 k2 + 4 ,即 x1 = - k2 - 4k + 4 k2 + 4 . ……8 分 ∵ 　 直线 x = - 1 平分 ∠APB, ∴ 　 直线 PA,PB 的斜率互为相反数. 设直线 PB 的方程为 y - 2 = - k(x + 1),同理可得 x2 = - k2 + 4k + 4 k2 + 4 . ……10 分 ∵ 　 y1 - 2 = k(x1 + 1),y2 - 2 = - k(x2 + 1), 两式相减得 y1 - y2 = k(x1 + x2) + 2k. ∴ 　 y1 - y2 = k(x1 + x2) + 2k = k( - k2 - 4k + 4 k2 + 4 + - k 2 + 4k + 4 k2 + 4 ) + 2k = 16k k2 + 4 , x1 - x2 = - k2 - 4k + 4 k2 + 4 - - k 2 + 4k + 4 k2 + 4 = - 8k k2 + 4 , ……13 分 ∴ 　 kAB = y1 - y2 x1 - x2 = 16k k2 + 4 ·k 2 + 4 - 8k = - 2, 即直线 AB 的斜率为定值 - 2. ……15 分 17. 解:(1)VB1-BCD = VD-B1BC, ∵ 　 AA1 ∥ 平面 BB1C1C, ∴ 　 VD-B1BC = VA-B1BC = VB1-ABC = 1 3 VABC-A1B1C1 . ∵ 　 VB1-BCD = 1 2 ,　 ∴ 　 VABC-A1B1C1 = 3 2 . ……2 分 在 △ABC 中,　 ∵ 　 BC = 2AB = 2,AC = 7 , ∴ 　 cos∠ABC = AB 2 + BC2 - AC2 2AB·BC = 1 2 + 22 - ( 7 ) 2 2 × 1 × 2 = - 1 2 . ∴ 　 ∠ABC = 2π 3 . ……3 分 高三数学答案　 第2 页　 (共 5 页)　 (2025. 3) ∴ 　 S△ABC = 1 2 AB·BC·sin∠ABC = 1 2 × 1 × 2 × 3 2 = 3 2 . ……4 分 设三棱柱 ABC - A1B1C1 的高为 h,则 VABC-A1B1C1 = S△ABC·h = 3 2 h, 则 3 2 h = 3 2 ,解得 h = 3 . 即三棱柱 ABC - A1B1C1 的高为 3 . ……5 分 (2) 设 BB1 的中点为 F,连结 A1F,EF. ∵ 　 A1D ∥ BF 且 A1D = BF,　 ∴ 　 A1DBF 为平行四边形. 　 ∴ 　 A1F ∥ BD. ∴ 　 A1F ∥ 平面 BCD. ……6 分 又 A1E ∥ 平面 BCD,A1E ∩ A1F = A1 且 A1E,A1F ⊂ 平面 A1EF, ∴ 　 平面 A1EF ∥ 平面 BCD. ……7 分 ∵ 　 平面 A1EF ∩ 平面 BB1C1C = EF,且平面 BCD ∩ 平面 BB1C1C = BC, ∴ 　 EF ∥ BC. ……8 分 ∵ 　 F 为 BB1 的中点,　 ∴ 　 E 为 B1C 的中点. ∴ 　 B1E B1C = 1 2 ,即 λ = 1 2 . ……9 分 (3) 过点 B1 作 B1O ⊥ AB 于 O,连结 CO. ∵ 　 侧面 AA1B1B 与底面 ABC 垂直,　 ∴ 　 B1O ⊥ 平面 ABC. ∵ 　 CB1 ⊥ A1B1,且 A1B1 ∥ AB,　 ∴ 　 CB1 ⊥ AB. ……10 分 ∴ 　 AB ⊥ CO. 以 O 为原点,OA,OC,OB1 分别为 x,y,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系. ∵ 　 B1O ⊥ 平面 ABC,　 ∴ 　 B1O = 3 . OC = BC·sin∠CBO = 2 × 3 2 = 3 . A(2,0,0),B(1,0,0),B1(0,0, 3 ),C(0, 3 ,0), ……11 分 AD→ = 1 2 BB1 →,(xD - 2,yD,zD) = 1 2 ( - 1,0, 3 ), 解得 xD = 3 2 ,yD = 0,zD = 3 2 ,即 D( 3 2 ,0, 3 2 ) . BC→ = ( - 1, 3 ,0),BD→ = ( 1 2 ,0, 3 2 ), 设平面 BCD 的法向量为 m = (x,y,z),则 m ⊥BC→,m ⊥BD→. 高三数学答案　 第3 页　 (共 5 页)　 (2025. 3) m·BC→ = 0, m·BD→ = 0.{ 即 - x + 3 y = 0, 1 2 x + 3 2 z = 0. ì î í ï ï ïï 可取 m = ( 3 ,1, - 1) . ……12 分 同理可求平面 BB1C1C 的一个法向量 n = ( 3 ,1,1) . ……13 分 cos􀎮m,n􀎯 = m·n | m |·| n | = 3 × 3 + 1 × 1 + ( - 1) × 1 ( 3 ) 2 + 12 + ( - 1) 2 ( 3 ) 2 + 12 + 12 = 3 5 . 故平面 BCD 与平面 BB1C1C 的夹角的余弦值为 3 5 . ……15 分 18. (1)∵ 　 f(x) = eaxsin2x - 2ax,　 ∴ 　 f ′(x) = aeaxsin2x + 2eaxcos2x - 2a. ……2 分 ∵ 　 曲线 y = f(x) 在点(0, f(0)) 处的切线方程为 2x + y = 0, ∴ 　 f ′(0) = 2 - 2a = - 2, ……4 分 解得 a = 2. ……5 分 (2)g(x) = f ′(x) = 2e2x(sin2x + cos2x) - 4, g′(x) = 2[2e2x(sin2x + cos2x) + e2x(2cos2x - 2sin2x)] = 8e2xcos2x, ……6 分 令 g′(x) > 0,即 cos2x > 0,解得 - π 4 + kπ < x < π 4 + kπ,k ∈ Z, ∴ 　 g(x) 的单调递增区间为( - π 4 + kπ, π 4 + kπ)(k ∈ Z) . ……8 分 令 g′(x) < 0,即 cos2x < 0,解得π 4 + kπ < x < 3π 4 + kπ,k ∈ Z, ∴ 　 g(x) 的单调递减区间为( π 4 + kπ,3π 4 + kπ)(k ∈ Z) . ……10 分 (3) 由(2) 知,g(x) 在[ - 1 2 , 1 2 ] 上单调递增. ……11 分 又 ∵ 　 g(0) = - 2 < 0,g( 1 2 ) = 2e(sin1 + cos1) - 4 = 2[e(sin1 + cos1) - 2], 其中 sin1 + cos1 = 2 sin(1 + π 4 ) ∈ (1, 2 ) . ∴ 　 e(sin1 + cos1) - 2 > e - 2 > 0. 即 g( 1 2 ) > 0. ……13 分 ∴ 　 ∃x0 ∈ (0, 1 2 ),使得 g(x0) = 0. ……14 分 ∴ 　 当 x ∈ ( - 1 2 ,x0) 时, f ′(x) < 0, f(x) 单调递减; 高三数学答案　 第4 页　 (共 5 页)　 (2025. 3) 当 x ∈ (x0, 1 2 ) 时, f ′(x) > 0, f(x) 单调递增. 又 f( - 1 2 ) = e -1sin( - 1) + 2 = 2 - sin1 e > 1, f( 1 2 ) = e sin1 - 2 < e - 2 < 1, ∴ 　 f(x) max = f( - 1 2 ) = 2 - sin1 e < 2. ……16 分 ∴ 　 当 x ∈ [ - 1 2 , 1 2 ] 时, f(x) < 2. ……17 分 19. (1) 解:依题意得:K = lna5 + lna5 = ln16,又 K = ln2 + lna9, ……1 分 ∴ 　 ln2a9 = K = ln16,即 2a9 = 16,a9 = 8. ……3 分 (2)(i) 证明:依题意得:bi = am+1-i ai ,则 bm+1-i = ai am+1-i ,因此 bibm+1-i = 1. ……5 分 又 bi > 0,从而 lnbi + lnbm+1-i = ln(bibm+1-i) = 0, ∴ 　 数列{bn} 是一个项数为 m 的对数等和数列,且对数等和常数为 0. ……7 分 (ii) 解:依题意得:bn = b1q -2(n-1) = b1 q2(n-1) , ……8 分 ∵ 　 {an} 的对数等和常数为 0, ∴ 　 aiam+1-i = 1, 则 bi = am+1-i ai = 1 ai 2 , ……9 分 即 ai 2 = 1 bi = q 2( i -1) b1 , ……10 分 ∴ 　 ai = 1 b1 qi -1,即 an = 1 b1 qn-1 . ……11 分 假设存在 q ∈ [3, + ∞ ),使数列{an} 中存在一项等于另外三项之和, 不妨设 n4 > n3 > n2 > n1,an4 = an3 + an2 + an1, 即 qn4 = qn3 + qn2 + qn1, ……12 分 又 qn4 = q·qn4-1 ≥ 3qn4-1 ≥ 3qn3 > qn3 + qn2 + qn1, ……15 分 即 an4 > an3 + an2 + an1,　 ∴ 　 an4 = an3 + an2 + an1 不成立. 故不存在 q ∈ [3, + ∞ ),使{an} 中某一项等于另外三项之和. ……17 分 高三数学答案　 第5 页　 (共 5 页)　 (2025. 3) 豫西北教研联盟（洛平许济）2024一2025学年 久已知由线0：x2+之={s+yl,点P(m,》在声设0上剩下列结论端浸的是 高三第二次质量检测试题 A自规红玉成的图形的属积为T+2 数学 意。亡2的最小值为-1 注意事项： 1,答卷输，考生务必将自己的姓名准考证号等填写在答题卡上和试卷指定位置上。 C点P代m,n)到直线：+y+3=0的距离的最大值为5 2.回答花择时，进出每小愿答案后，用船笔托答卡上对应题目的答案标号徐照，如雷 D由视0有且仪有2条对秘加 改动，用檬发擦干净后，再遗涂其也答案标号.口客中选择尊时，将答案写在答螺卡上。 &已知函数风)一年+”，若存在实数x,使得月x)=成立别实数4的浓值花围为 写在本试卷上无效。 3,考试增束日，将本试登和容愿卡并交闻。 九（-*，1-e月 B(1,+x) 一、选华题：本题共8小题，每小5分，共0分。在每小题给出的四个德项中，只有一项是精 c(1-,1门 D(-,1-e]u(1,+s) 合数目要求的。 二，多项送择圆：本题共3小题，每小墨6分，共18分，在每小竖哈出的选项中有多项符合 1若复数：满足2二2%，则：的虚都为 题日要求，余部选对的得6分，部分进对的得部分分，有选量的得0分。 A-4 且.-41 C4 D.4i 9已：函数x)一2(or+号知>0的最小正用期为：则下列结论正魏的是 2已知集合4=1x12-x-6<0,x■N,B=0,1,2,3引，期4门B= 九1,2到 五1,2,3到 G,10.l,2 D10.1,2,3 九直线：一侣是玉数八)因象的一条对称的 3已知向量日=(1,0)，b=《0,1),c=年+场，若c=2,期正实数：的值为 九1 B. C2 D.3 且两数R=)在区何[0，上的最大值为2 《但知风商线C号 年=1(0>0)的焦距为2,5，别C的离心率为 C两数代=)在区间[0，需上单调漫增 人停 R28 C.5 D.28 3 .将商数代)图象上所有的点向左平移个单位，得到y=2s2的图象 6 5,已知圆能的物截而为正三角彩，周能的内好球的表面积为12行，则该属续的体积为 10已知函数几x)的定文域为R,凡x+y)=凡)+八y)+八年/3)，且代1)=1，当x>0时. A.9.3n B12,5r C183s D.273m (x)>0雨下列说法正确的是 五已知函数尺x)" (nl,0 若a<b<c,且a)=真)-代e),别ee)的取值 Af0)=-1 2 黑后0 且代x)在(0，+解）上单逗增 范围为 C数列r)+1)(。N)是等比数列 A(0.e]1 R(0.e》 C(0,+助) D(-1 D.当s心0时，-1<x)c0 高三数学第1项〈共4真)(2025.3) 高三数学第2四《共4页)(2025.3) L.在半径为2的球0的球面上有在A,,C三点.且00丽0.0C=AA。[0,4),玉 16(15分) 为线段0C的中点，则下列泛法正确的是 已知周c兰，号=1(a>6>)的焦距为26，且过点P氏-1,2 人可证宁 (1)求椭图C的标准方程： 《2)过点P作两条直线分别交隔图C于A,B两点，若直裁年■一】平分乙APB 且当三棱银0-一AC的体积最大时，平面AC酰球0的银面的面积为二 果证：直线AB的斜率为定值，并求出这个定值 C当=2，且310C时，4B与开西08C所成船角为号 17.(15分) 如图，三酸桂ABG-A,B,G,中，侧面M,B,B与底面AC舞直，且BC=24B=2. D,当A·2时，异面直线那与04所戒角的正切值的取值范隔为(1,3) 三、填2愿：本驱共3小题，每小题5分，共15分。 4C=疗，D为骏仙，的中点三楼雀气一0的体积为号 2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若&=aeo4C+√5cin4,则A■ (1)求三棱柱ABC-A,B,C,的高： 1以二项式(：一二EN)的展开式中第4项与第5明的二项式系致相等，限开式中 ②已奥点E在C上，是-，者A香功平属BC 的系数为 求实数4的算： 14.已点M在抛物浅Cy2=8:上，过点N作圆E:(红-2)1+y=1的两条切候，到点分 (3)若CB,⊥A,B,求平置CD与平面B,C,C的夹角的 副为P,Q随P网-P可的最小值为 余弦直 四，解菁短：本愿共5小题，具7分，解答应写出文字批期、证阴过程玩减得沙骤 18(17分) 15.(13分) 已知f凡+)=3-2=，且线y“尺)在氨0八0)》处的访程为含+y=0 某新能源汽车酬造商为了评结一牡新型出泡的续规时间（单位：小时），从这扯次电 (1)求年的慎： 油中用机抽袁50组进行测试，把测得数据进行活当分组后（每组为左闭右开钓区同》，香 (2)设爪x)的导函数为(x),求g(x)的单到区间： 岛极率分布直方图如图所示 ()运明当[-分宁时，)<2 桶率/粗距中 00 19.(17分) 006 若登到引g共有m(msN,e4)项，(ieNd写m)都有1he+lc14=K (《为常数)，测称数列引，1是一个项数为m的“对数等和数列，其中称为“对数等和常 数”.已知数列1口。1是一个项数为m的对数等和数列 (1》若m=94=2,=4,求4的值 002 (2)已知数列馬共有项，且营足d,==1,23一， 2024303505时阀/小时 《1)证明：位，1是一个对数等和数列： (1)求a的值： (ⅱ)若1量前项为(6>0)，公比为二的等出数列且4】的对数等和骨数 (2)从浦殿的知组电法申任取2粗，求价有1组电能境就时同不少于35小时的颗率： (3)将样本分布的频率棍为总体分布的聚率，从该糯次电池组中任章2垣，设x为 为0，是否存在g[3,+。),使|4，；中某一项等于另外三项之和若存在，求出：的值 续就时间不少于35小时的电法组的数量，求X的分奉列及数学期望， 著不存在，说现理由 高三数学第3页（其4重）(2025,3》 高三数学第4页（共4页）(2025,3)