精品解析：甘肃省武威武威第二十五中学联片教研2024-2025学年下学期开学考试八年级数学试卷

2024-2025学年第二学期开学考试八年级数学试卷 一．选择题（共30分，每小题3分） 1. 在△ABC中，∠A=50°，∠B=30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD度数为（　　　　） A. 60° B. 10° C. 45° D. 10°或60° 2. 如图，在四边形中，的角平分线与的外角平分线相交于点P，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，在上，则以下结论：①平分；②；③；④．其中正确的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 如图，在中，，平分，交于点D．已知，，则的面积为（ ） A. 80 B. 40 C. 20 D. 10 5. 如图，是等腰三角形，在所在平面内有一点，且使得，，均为等腰三角形，则符合条件的点共有（ ） A. 1个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 6. 若a为正整数，则（ ）（其中括号内为a个a相乘） A. B. C. D. 7. 已知，均为正整数且满足，则的最小值是（　　） A. 20 B. 30 C. 32 D. 37 8. 关于x的分式方程无解，则m的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或或 D. 或 9. 若数m使关于x的不等式组有解且至多有3个整数解，且使关于x的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数m的个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 10. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. x≥3 B. x≤3 C. x＞3 D. x＜3 二．填空题（共24分，每空1分） 11. 一个正多边形它一个内角恰好是一个外角的4倍，则这个正多边形是_________边形． 12. 如图，是的角平分线，于点，，，，则边的长是__________． 13. 如图，已知点A、D、B、F在一条直线上，，，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是_____． 14. 如图，在中，，D为边上一点，，若，则度数为_______． 15. 已知x+y＝10，xy＝1，则代数式x2y+xy2的值为_____． 16. 已知，则代数式的值为___________． 17. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 18. 计算：______． 三．解答题（共66分） 19. 在如图所示正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点，的坐标分别为，． （1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； （2）请作出关于轴对称的； （3）写出点的坐标． 20. （1）因式分解： （2）解方程： 21. 已知，，求和的值． 22. 如图，为的角平分线，点E、F、G分别在的边，，上，连接，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 23. 如图点，，，在同一条直线上，且，．求证：． 24. 如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，． （1）求证：； （2）求证：． 25. 将边长为x的小正方形和边长为y的大正方形按如图所示放置，其中点D在边上． （1）若，且，求的值； （2）连接，若，，求阴影部分的面积． 26. 春节来临，某工厂计划购买A，B两种工艺品共200件用以奖励优秀员工．已知A种工艺品的单价比B种工艺品的单价高50元，用600元单独购买A种工艺品与用450元单独购买B种工艺品的数量相同． （1）求A，B两种工艺品的单价各为多少元？ （2）若该工厂计划购买A，B两种工艺品总费用不超过30500元，且购买A种工艺品不少于5件，请你帮助工厂计算出共有几种购买方案？ 27. 如图，点O是等边内一点，D是外一点，，，，连接． （1）求证：是等边三角形； （2）当时，试判断的形状，并说明理由； （3）探究：当为多少度时，是等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期开学考试八年级数学试卷 一．选择题（共30分，每小题3分） 1. 在△ABC中，∠A=50°，∠B=30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为（　　　　） A. 60° B. 10° C. 45° D. 10°或60° 【答案】D 【解析】 【分析】当△ACD为直角三角形时，存在两种情况：∠ADC=90°或∠ACD=90°，根据三角形的内角和定理可得结论． 【详解】分两种情况： ①如图1，当∠ADC=90°时， ∵∠B=30°， ∴∠BCD=90°-30°=60°； ②如图2，当∠ACD=90°时， ∵∠A=50°，∠B=30°， ∴∠ACB=180°-30°-50°=100°， ∴∠BCD=100°-90°=10°， 综上，则∠BCD的度数为60°或10°； 故选D； 【点睛】此题考查三角形的内角和定理和三角形外角的性质，分情况讨论是本题关键． 2. 如图，在四边形中，的角平分线与的外角平分线相交于点P，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，多边形的内角与外角，熟练掌握四边形内角和是解题的关键．根据题意求出，再根据角平分线的性质求出的度数，故根据的内角和求出的度数． 【详解】解：， ， ， 的角平分线与的外角平分线相交于点P， ， ． 故选B． 3. 如图，，在上，则以下结论：①平分；②；③；④．其中正确的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质，关键是掌握并灵活应用全等三角形的对应边相等，对应角相等；等腰三角形的底角相等．由，推出，，，，再由等腰三角形的性质，可以求解． 【详解】解：令和交于， ， ， ，， ，， ， ，， 平分， ， ， ， ， 由条件不能推出， ∴①②③正确． 故选：C． 4. 如图，在中，，平分，交于点D．已知，，则的面积为（ ） A. 80 B. 40 C. 20 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】如图所示，过点D作于E，根据角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作于E， ∵，平分， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 5. 如图，是等腰三角形，在所在平面内有一点，且使得，，均为等腰三角形，则符合条件的点共有（ ） A. 1个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】D 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作出的垂直平分线，首先的外心满足条件；再根据圆的半径相等，以点为圆心，以长为半径画圆，与的垂直平分线相交于两点，其中一点是点，另一点为符合要求的点；再以点为圆心，以长为半径画圆，与的垂直平分线相交于两点，这两点也符合条件；在的左边作一个，使，结合全等三角形的性质可确定符合条件的点，同理在的右边作一个，也可获得符合条件的点． 【详解】解：如下图， ①作三边的垂直平分线必在三角形内交于一点，这点就是符合要求的点； ②作的垂直平分线，以点为圆心、长为半径画弧，与的垂直平分线有两个交点，其中一点是点，另一点为符合要求的点； ③作的垂直平分线，以点为圆心、长为半径画弧，与的垂直平分线有两个交点，这两点为符合要求的点； ④在的左边作一个，使，这点也是符合要求的点； ⑤同理在右边作一个，使，这点也是符合要求的点． 所以，共有6个符合条件的点． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质、垂直平分线的性质、全等三角形的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解答本题的关键． 6. 若a为正整数，则（ ）（其中括号内为a个a相乘） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法以及幂的乘方计算，即可求解． 【详解】解：． 故选：A 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 7. 已知，均为正整数且满足，则的最小值是（　　） A. 20 B. 30 C. 32 D. 37 【答案】A 【解析】 【分析】利用因式分解把等式变形为，再讨论各种可能情况，求出m、n的值，判断出最小值． 【详解】解：， ， ， ， ，均为正整数， ，或， ，，，， ，，，， 的最小值为20． 故选：A． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握因式分解的各种方法． 8. 关于x的分式方程无解，则m的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握解分式方程是解题的关键．根据分式方程无解的条件求出的值，即可得到答案． 【详解】解：原分式方程可化为：， 两边同时乘以， 得：， 整理得：， 分式方程无解，， 故①整式方程无解，即， ； ②分式方程有增根，即， 把或分别代入， 解得或， 故m的值为或或， 故选C． 9. 若数m使关于x的不等式组有解且至多有3个整数解，且使关于x的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数m的个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】解出不等式组解集，根据不等式组有解且至多3个整数解，求得m的取值范围；解分式方程，检验，根据方程有整数解求得m的值． 【详解】解：， 解不等式①得：x≥﹣1， ∴﹣1≤x＜， ∵不等式组有解且至多3个整数解， ∴﹣1＜≤2， ∴﹣3＜m≤6， 分式方程两边都乘以（x﹣1）得：mx﹣2﹣3＝2（x﹣1）， ∴（m﹣2）x＝3， 当m≠2时，x＝， ∵x﹣1≠0， ∴x≠1， ∴≠1， ∴m≠5， ∵方程有整数解， ∴m﹣2＝±1，±3， 解得：m＝3，1，5，﹣1， ∵m≠5， ∴m＝3，1，﹣1． 故选：C． 【点睛】本题考查了解分式方程时应考虑到增根的情况，同时也考查了解不等式组的能力，以及确定不等式组中字母常数满足题意的判断方法． 10. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. x≥3 B. x≤3 C. x＞3 D. x＜3 【答案】D 【解析】 【分析】如果一个式子中含有二次根式，那么二次根式中的被开方数都必须是非负数．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴＞0， 解得x＜3， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中被开方数的取值范围的求法，即二次根式中的被开方数是非负数． 二．填空题（共24分，每空1分） 11. 一个正多边形它的一个内角恰好是一个外角的4倍，则这个正多边形是_________边形． 【答案】十 【解析】 【分析】先根据一个正多边形的内角和相邻外角的互补关系列方程求解出正多边形的外角,再根据多边形的外角和等于即可求出正多边形的边数. 【详解】设正多边形的每个外角的度数为，则内角为， ， 解得， 即这个多边形的数是：． 故答案为：十． 【点睛】此题主要考查了多边形的内角和外角的关系，关键是计算出一个外角的度数，进而得到边数． 12. 如图，是的角平分线，于点，，，，则边的长是__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，解题关键是明确角平分线上的点到角两边的距离相等，做出辅助线，利用面积求解即可． 【详解】解：作于点， ∵是的角平分线，于点， ∴， ， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 故答案为：4． 13. 如图，已知点A、D、B、F在一条直线上，，，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是_____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】要判定，已知，，具备了两组边对应相等，故添加，利用SAS可证全等．（也可添加其它条件）． 【详解】解：若添加条件：， 因为，， 所以， 所以； 若添加条件：， 因为，， 所以， 所以； 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定；熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． 14. 如图，在中，，D为边上一点，，若，则的度数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理，延长至，使得，则，结合三角形外角的定义及性质得出，由三角形内角和定理计算得出，从而可得，结合题意可得，即可得解． 【详解】解：如图：延长至，使得，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 已知x+y＝10，xy＝1，则代数式x2y+xy2值为_____． 【答案】10 【解析】 【分析】将所求代数式适当变形后整体代入x+y=10，xy=1即可求解． 【详解】解：∵x+y=10，xy=1， ∴x2y+xy2 =xy（x+y） =1×10 =10， 故答案为：10． 【点睛】此题考查了代数式求值，因式分解-提公因式法．注意整体思想在解题中的应用． 16. 已知，则代数式的值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查分式的加减法，将已知条件变形为，再将要求的分式变形为，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 17. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 18. 计算：______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据平方差根式将原式进行变形，然后再计算． 【详解】 故答案：． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，能正确变形，根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键． 三．解答题（共66分） 19. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点，的坐标分别为，． （1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； （2）请作出关于轴对称的； （3）写出点的坐标． 【答案】（1）见详解（2）见详解（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了建立坐标系、轴对称变换、坐标与图形等知识，正确建立坐标系是解题关键． （1）易得轴在的右边一个单位，轴在的下方3个单位，即可获得答案； （2）作出三点关于轴对称的三点，顺次连接即可； （3）根据所在象限及距离坐标轴的距离可得相应坐标． 【详解】解：（1）如图所示； （2）如图所示，即为所求； （3）点的坐标为． 20. （1）因式分解： （2）解方程： 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式进行因式分解和分式方程的解法，灵活运用完全平方公式进行因式分解和熟练进行分式方程求解是解题关键． （1）将变形为，符合完全平方公式，即可进行因式分解； （2）按照去分母、去括号、移项合并同类项、系数化为1的步骤解分式方程，注意检验分式方程的根． 【详解】解：（1） ； （2） 去分母，得， 移项，合并同类项并系数化为1，解得， 经检验，是该分式方程的解， 故该方程的解为 21. 已知，，求和的值． 【答案】3， 【解析】 【分析】考查了二次根式的化简求值，分式的化简求值，多项式乘多项式，分母有理化，解题的关键是由已知条件得出，，注意整体思想的运用．先由已知条件得出，，再整体代入代数式即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ； ． 22. 如图，为的角平分线，点E、F、G分别在的边，，上，连接，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形的外角定理，角平分线的定义，理解角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质，三角形的外角定理是解决问题的关键． （1）先根据得，再根据平行线的判定即可得出结论； （2）根据三角形外角定理得，再根据得，则，然后再根据（1）的结论可得出的度数． 【小问1详解】 证明：∵， ， 又， ， ∴； 【小问2详解】 解：是的一个外角， ， 又，， ， ∵， ， 平分， ， ， ． 23. 如图点，，，在同一条直线上，且，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质、全等三角形的判定以及性质定理是解本题的关键．根据两直线平行，同位角相等，可得，然后证明，即可得出结论． 【详解】证明：， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ． 24. 如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用已知条件证明三角形全等，再根据全等三角形的性质得出对应边相等． （1）先由推出，再结合已知的另外两组相等边，根据判定定理证明； （2）根据（1）中得到的全等三角形得出对应角相等，再利用判定定理证明，进而得到． 【小问1详解】 证明：， ， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 证明： 在和中 25. 将边长为x的小正方形和边长为y的大正方形按如图所示放置，其中点D在边上． （1）若，且，求的值； （2）连接，若，，求阴影部分面积． 【答案】（1）2 （2）11 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式． （1）根据平方差公式代入计算即可； （2）用代数式表示阴影部分的面积，再根据完全平方公式进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； ； 【小问2详解】 解：阴影部分的面积为： ， ， ． 26. 春节来临，某工厂计划购买A，B两种工艺品共200件用以奖励优秀员工．已知A种工艺品的单价比B种工艺品的单价高50元，用600元单独购买A种工艺品与用450元单独购买B种工艺品的数量相同． （1）求A，B两种工艺品的单价各为多少元？ （2）若该工厂计划购买A，B两种工艺品总费用不超过30500元，且购买A种工艺品不少于5件，请你帮助工厂计算出共有几种购买方案？ 【答案】（1）A种工艺品的单价为200元，B种工艺品的单价为150元 （2）6种 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用． （1）设A种工艺品的单价为x元，则B种工艺品的单价为元，根据用600元单独购买A种工艺品与用450元单独购买B种工艺品的数量相同，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买A种工艺品m件，则购买B种工艺品件，根据该工厂计划购买A，B两种工艺品总费用不超过30500元，且购买A种工艺品不少于5件，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题． 【小问1详解】 解：设A种工艺品的单价为x元，则B种工艺品的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验是分式方程的解，且符合题意， ∴， 答：A种工艺品的单价为200元，B种工艺品的单价为150元； 【小问2详解】 解：设购买A种工艺品m件，则购买B种工艺品件， 根据题意得：， 解得：， ∵m为正整数， ∴，6，7，8，9，10， ∴工厂共有6种购买方案． 27. 如图，点O是等边内一点，D是外的一点，，，，连接． （1）求证：是等边三角形； （2）当时，试判断的形状，并说明理由； （3）探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【答案】（1）见解析 （2）是直角三角形，理由见解析 （3）当或或时，是等腰三角形 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定等知识． （1）根据全等三角形的性质得到，，再证明，即可证明是等边三角形； （2）先求出，根据全等的性质得到，即可求出，从而得到是直角三角形； （3）分别表示出，，，分①，②，③三种情况讨论即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形； 【小问2详解】 解：是直角三角形．理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； 【小问3详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ， ∴． ①当时，则，即， ∴； ②当时，则，即， ∴； ③当时，则，即， ∴． 综上所述：当或或时，是等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $