精品解析：天津市静海区第六中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题

2024-2025年度第一次阶段性检测——数学 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 我重生了，重生在考数学的时候，上一世因为数学成绩备受屈辱，这一世我要拿回属于我的一切．叮~ ~系统提醒宿主，要想逆袭，需要完成以下任务…… 第I卷（选择题50分） 一、单项选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 若在中，，且，，则的形状是（ ） A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 3. 已知两个单位向量的夹角为，则下列说法正确的有（ ） ①在上的投影向量为 ② ③④ A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 4. 已知向量，且，则实数= A. B. 0 C. 3 D. 5. 已知，均为单位向量，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 设向量的夹角为，定义：．若平面内不共线的两个非零向量满足：，与的夹角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角的对边分别为，若，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（ ） A. 2 B. 8 C. 9 D. 18 9. 在如图所示半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（ ） A. 1 B. C. D. 2 10. 一扇中式实木仿古正方形花窗如图所示，该窗有两个正方形，将这两个正方形（它们有共同的对称中心与对称轴）单独拿出来放置于同一平面，如图所示．已知分米，分米，点在正方形的四条边上运动，当取得最大值时，与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题100分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 若向量分别表示两个力，则______. 12. 在中，，，，则______ 13. 在中，，、、分别是边、、的中点，，则_________． 14. 已知向量，，，设X是直线OP上的一点(O为坐标原点)，那么的最小值是________. 15. 在中， ， 若O为内部的一点，且满足，则______ ． 三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 化简： （1） （2） 17. 已知，，且与夹角为求： （1）； （2）与的夹角． 18 已知. （1）当k为何值时，与共线； （2）若，且三点共线，求m的值以及. 19. 在中，内角所对边分别为，，，已知已知. （1）求角的大小； （2）若，，求值； （3）若，判断的形状． 20. 平面几何中有如下结论：“三角形的角平分线分对边所成的两段之比等于角的两边之比，即．”已知中，，，为角平分线．过点作直线交的延长线于不同两点，且满足，， （1）求值，并说明理由； （2）若，求的最小值． 21. 如图，已知中，点关于点的对称点为在线段上，且和相交于点．设． （1）用表示向量． （2）若，求实数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025年度第一次阶段性检测——数学 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 我重生了，重生在考数学的时候，上一世因为数学成绩备受屈辱，这一世我要拿回属于我的一切．叮~ ~系统提醒宿主，要想逆袭，需要完成以下任务…… 第I卷（选择题50分） 一、单项选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可. 【详解】解：∵， 又∵ ∴9， ∴ 故选：C. 2. 若在中，，且，，则的形状是（ ） A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】结合平面向量数量积的运算律得，即可判断求解． 【详解】在中，，且，， 则，即，即AB⊥BC，， 则的形状是等腰直角三角形． 故选：D 3. 已知两个单位向量的夹角为，则下列说法正确的有（ ） ①在上的投影向量为 ② ③④ A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】对于①，根据在上的投影向量为即可判断；对于②，根据即可判断；对于③，根据即可判断；对于④，根据若，则即可判断. 【详解】对于①，在上的投影向量为，故①正确； 对于②，，故②错误； 对于③，，，故③正确；， 对于④，故④正确. 故选：D 4. 已知向量，且，则实数= A B. 0 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：由题意得，，因为，所以，解得，故选C. 考点：向量的坐标运算. 5. 已知，均为单位向量，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的数量积公式求出向量夹角. 【详解】因为，均为单位向量，所以， 所以， 即，所以， 所以， 因为， 所以， 故选：A. 6. 设向量的夹角为，定义：．若平面内不共线的两个非零向量满足：，与的夹角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据平面向量数量积的定义与运算求向量的夹角，再根据的定义求值即可. 【详解】设向量的夹角为，因为， 所以， 由，所以. 又与的夹角为，所以， 所以或， 因向量不共线，所以， 又，所以， 所以. 故选：A 7. 在中，角的对边分别为，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由诱导公式结合有，由余弦定理结合有，再结合余弦定理以及平方关系即可运算求解. 【详解】，所以， 所以，即，解得， 由余弦定理有， 而，所以. 故选：C. 8. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（ ） A. 2 B. 8 C. 9 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】由向量加法及数乘的几何意义得，再由向量共线的结论有，最后应用“1”的代换及基本不等式求最小值. 【详解】由题意，，又共线，则， 且，所以， 当且仅当时取等号，即的最小值为9. 故选：C 9. 在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据，可得，进一步得出答案. 【详解】如图，连接AC， 由，得 因为为半圆上的点，所以， 所以． 故选：A. 10. 一扇中式实木仿古正方形花窗如图所示，该窗有两个正方形，将这两个正方形（它们有共同的对称中心与对称轴）单独拿出来放置于同一平面，如图所示．已知分米，分米，点在正方形的四条边上运动，当取得最大值时，与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平面向量数量积的运算，结合向量投影的概念及向量夹角的求法求解即可． 【详解】解：以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则，，，则，，，， 设与的夹角为， 则， 由投影的概念可得：当与重合时， 取得最大值， 此时. 故选：B 第II卷（非选择题100分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 若向量分别表示两个力，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示可得，结合向量的几何意义即可求解. 【详解】由题意，向量分别表示两个力， 可得， 所以. 故答案为： 12. 在中，，，，则______ 【答案】 【解析】 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求值，利用余弦定理可求的值，可得，利用三角形的内角和定理可求，利用诱导公式，二倍角的正切函数公式即可求解的值． 【详解】解：，，， ， ，可得， ， 则． 故答案为：． 13. 在中，，、、分别是边、、的中点，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，将两边平方即可得到，再由余弦定理得到，即可求出，再推导出，即可得解. 【详解】依题意，，， 所以，即①， 又由余弦定理，即， 又即②， 由①②可得， 所以 . 故答案为： 14. 已知向量，，，设X是直线OP上的一点(O为坐标原点)，那么的最小值是________. 【答案】－8 【解析】 【分析】设直线方程为，设出点坐标为，利用向量的坐标运算，得到关于的关系式，即可求解最小值． 【详解】直线方程为， 设点坐标为，则， 所以， 当时，的最小值为． 故答案为. 【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示及向量的运算，其中根据直线方程，设出点的坐标，利用向量数量积的坐标运算得出关于的关系式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 15. 在中， ， 若O为内部的一点，且满足，则______ ． 【答案】 【解析】 【分析】确定O的位置，利用基底法及数量积的运算法则计算即可. 【详解】取的中点，易知， 同理有，所以O为的重心， 则， . 故答案为： 三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 化简： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，即可得到答案； 【小问1详解】 原式＝ 【小问2详解】 原式＝ 17. 已知，，且与夹角为求： （1）； （2）与的夹角． 【答案】（1）12； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据平面向量数量积的定义和运算性质进行求解即可； （2）根据平面向量夹角公式，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可. 【小问1详解】 ，，且与夹角为， ，， ， ； 【小问2详解】 ， ， ， 设与的夹角为， ， 又， 所以，即与的夹角为． 18. 已知. （1）当k为何值时，与共线； （2）若，且三点共线，求m的值以及. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用平面向量共线的坐标表示计算即可； （2）利用平面向量共线的坐标表示，及模长的坐标公式计算即可. 【小问1详解】 易知，所以， 即时，与共线； 【小问2详解】 易知，由三点共线得， 19. 在中，内角所对的边分别为，，，已知已知. （1）求角的大小； （2）若，，求的值； （3）若，判断的形状． 【答案】（1）； （2）； （3）正三角形． 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出的大小作答. （2）代入给定等式计算作答. （3）根据已知条件可得，再结合（1）确定三角形的形状作答. 【小问1详解】 在中，由及余弦定理得，而， 所以. 【小问2详解】 由，及，得， 所以. 【小问3详解】 由及，得，则，由（1）知， 所以为正三角形. 20. 平面几何中有如下结论：“三角形的角平分线分对边所成的两段之比等于角的两边之比，即．”已知中，，，为角平分线．过点作直线交的延长线于不同两点，且满足，， （1）求的值，并说明理由； （2）若，求的最小值． 【答案】（1），理由见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）用表示，再根据三点共线，利用向量共线定理求解即可； （2）利用结合数量积的运算律和均值不等式“1”的妙用求解即可. 【小问1详解】 根据角平分线定理，所以， 因为，， 所以， 因三点共线，所以，所以． 【小问2详解】 当且仅当时取等号，即， 所以的最小值为． 21. 如图，已知中，点关于点的对称点为在线段上，且和相交于点．设． （1）用表示向量． （2）若，求实数的值． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算，结合三角形中的几何特点，直接写出即可； （2）利用两次三点共线，用基底表示，根据向量相等，对照系数，即可求得结果. 【小问1详解】 根据条件为线段中点； ； . 【小问2详解】 ，与与共线；存在实数，使；， 又；故，解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $