2.5.1二次函数与一元二次方程（1） 学案2024-2025学年北师大版数学九年级下册

2.5.1二次函数与一元二次方程（1） 【学习目标】 1.理解一元二次方程与二次函数之间的关系； 2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系； 3.会利用二次函数与一元二次方程关系求待定系数. 【知识回顾】 对于一元二次方程根的情况如何判定的？ 【预习探究】 1.二次函数与x轴交点怎么确定？ 二次函数的图像与x轴的两个交 点的横坐标是对应一元二次方程 的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： 有两个交点: .抛物线与x轴相交； 有一个交点: .抛物线与x 轴相切； 没有交点 : .抛物线与x轴相离. 【新知精析】 ★题型一 二次函数与一元二次方程 例1.已知二次函数与x轴交于A、B两点，且线段AB的长为 . (1)求m的值；(2)若该抛物线的顶点为P，求的面积. 针对训练： 1.二次函数的图象与x轴交点的个数为（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.1个或2个 2.把抛物线向上平移k个单位，所得抛物线与x轴交于点,若,请你求出k的值. 3.已知二次函数y=m(x-1)(x-m-3)（m为常数，且m）。(1)求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴总有公共点； (2)设函数的图像与y轴相交于点A,若点A在x轴上方，求m的取值范围. ★题型二 二次函数与坐标轴的交点 例2.已知关于x的二次函数y=-+(k-2)x+k. (1)试判断该函数的图象与x轴的交点的个数； (2)当k=3时，求该函数图象与x轴的两个交点之间的距离. 针对训练： 4.函数y=a的图象如图所示，那么关于x的方程a的根的情况是（ ） A.有两个相等的实数根 B.有两个异号的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根 5.若函数y=(a-1)-4x+2a的图像与x轴有且只有一个交点，求a的值. 6.已知：二次函数y=-2+(3k+2)x-3k. (1)若二次函数的图象过点A(3,0),求此二次函数图象的对称轴； (2)若二次函数的图象与x轴只有一个交点，求此时k的值. 【拓展培优】 ★题型三 根据图像求一元二次方程a+bx+c=m(a0)的解 例3.在平面直角坐标系中，直线y=-2x+n分别交x、y轴与点A、B，若函数y=-+2的图像线段AB只有一个交点，求n的取值范围. 针对训练： 7.将二次函数y=-4x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位.若得到的函数图象与直线y2有两个交点，则a的取值范围是 ( ) A.a B.a C.a D.a5 8. 已知抛物线y=(m-1)+(m-2)x-1 (1)当m为何值时，抛物线与x轴有两个交点？ (2)若抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C(0, -1),且,求m的值. 【思维特训】 已知抛物线y=与x轴有两个交点． (1)求k的取值范围； (2)设抛物线与x轴交于A、B两点，且点A在点B的左侧，点D是抛物线的顶点，如果△ABD是等腰直角三角形，求抛物线的解析式； (3)在（2）的条件下，抛物线与y轴交于点C，点E在y轴的正半轴上，且以A、O、E为顶点的三角形和以B、O、C为顶点的三角形相似，求点E的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$