2.2 导数的概念及其几何意义(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

高中数学 选择性必修 第二册 赢在微点 轻松课堂 数学 第二章 导数及其应用 §2　导数的概念及其几何意义 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §2　导数的概念及其几何意义 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 —— —— 稳健启程 新知初步构建 自主预习·明新知 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §2　导数的概念及其几何意义 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 瞬时变化率 f'(x0)   点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §2　导数的概念及其几何意义 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 切线的斜率 几何意义 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §2　导数的概念及其几何意义 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §2　导数的概念及其几何意义 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 提示:导数的实质就是瞬时变化率。 提示:不正确。曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多。与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线。 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §2　导数的概念及其几何意义 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 —— —— 细研深究 萃取知识精华 合作探究·攻重难 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §2　导数的概念及其几何意义 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §2　导数的概念及其几何意义 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §2　导数的概念及其几何意义 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §2　导数的概念及其几何意义 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §2　导数的概念及其几何意义 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §2　导数的概念及其几何意义 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §2　导数的概念及其几何意义 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §2　导数的概念及其几何意义 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §2　导数的概念及其几何意义 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §2　导数的概念及其几何意义 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §2　导数的概念及其几何意义 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 —— —— 即时训练 巩固当堂所学 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §2　导数的概念及其几何意义 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §2　导数的概念及其几何意义 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §2　导数的概念及其几何意义 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §2　导数的概念及其几何意义 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §2　导数的概念及其几何意义 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §2　导数的概念及其几何意义 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 §2　导数的概念及其几何意义 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 　 攀登世界最高峰珠穆朗玛峰是 每一个登山爱好者的梦想,在登山过程中所遇到的困难是常人无法想象的,甚至很多人为此付出生命的代价,所以登顶成功往往是登山爱好者一生中最大的愿望。 攀登珠峰的队员在攀登陡峭程度不同的山势时感受是不同的,山势的变化可用瞬时变化率来表示,瞬时变化率在数学上又称为什么呢? 1.理解导数的概念及其符号表达,感受数学的应用价值。 2.通过图象分析得出导数的几何意义,运用信息技术直观感受割线“逼近”切线的过程。 1.导数的概念 在数学中,称　　　 　为函数y=f(x)在点x0处的导数,通常用符号　　　　表示, 记作 f'(x0)==　　 　　。  2.导数的几何意义 函数y=f(x)在x0处的导数f'(x0),是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的　　 　　。函数y=f(x)在x0处切线的斜率反映了导数的　　 　　。  微提醒 对于y=f(x)在点x0处的导数的理解要注意以下三点。 (1)y=f(x)在点x0处的导数即为函数y=f(x)在点x0处的瞬时变化率,导数可以描述事物的瞬时变化率,应用非常广泛。 (2)y=f(x)在点x0处的导数表示为f'(x0),函数在点x0处的导数f'(x0)只与x0有关,与Δx无关。函数在某点处的导数是一个定值,是函数在该点的函数值的改变量与自变量的改变量比值的极限,不是变量。 (3)若极限不存在,则称函数y=f(x)在点x0处不可导。 微思考 1.导数的实质是什么? 2.有同学认为曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线l与曲线y=f(x)只有一个交点,你认为正确吗? 类型一 求函数在某点处的导数 　　【例1】　求函数y=x-在x=1处的导数。 解　Δy=(1+Δx)-=Δx+， 所以==1+， 所以y'x=1==(1+)=2。 　　求函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤 (1)求函数值的变化量Δy=f(x0+Δx)-f(x0); (2)求平均变化率=; (3)取极限f'(x0)= 【变式训练】　求函数y=在x=2处的导数。 解　因为Δy==-1=-， 所以=-， 所以y'|x=2==-=-1。 类型二 导数的几何意义 　　命题方向1:切线问题 　　【例2】　(1)求曲线y=f(x)=x3-x+3在点(1,3)处的切线方程。 解　因为点(1，3)在曲线上，且f(x)在x=1处可导，且= = =(Δx)2+3Δx+2， 从而当Δx→0时，(Δx)2+3Δx+2→2， 故f'(1)=2。 故所求切线方程为y-3=2(x-1)， 即2x-y+1=0。 (2)已知曲线y=f(x)=x3上一点Q(1,1),求过点Q的切线方程。 解　当Q(1，1)为切点时，可求得切线方程为y=3x-2。 当Q(1，1)不是切点时，设切点为P(x0，)， 则由导数的定义，在x=x0处，f'(x0)=3， 所以切线方程为y-=3(x-x0)， 将点(1，1)代入，得1-=3(1-x0)，即2-3+1=0，所以(x0-1)2(2x0+1)=0， 所以x0=-或x0=1(舍)，故切点为-，-，故切线方程为y=x+。 综上，所求切线的方程为3x-y-2=0或3x-4y+1=0。 　　求曲线的切线方程的步骤 (1)已知切点(x0,f(x0)),求切线方程。 ①求切线的斜率:k=f'(x0); ②写切线方程:y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)。 (2)已知切线过点(a,b)求切线方程(点(a,b)可以在曲线上,也可以不在曲线上)。 ①设切点(x0,f(x0)); ②利用斜率k=f'(x0)=求出切点及斜率; ③写切线方程:y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)。 注意:若曲线在点P处的切线垂直于x轴,则切线方程为x=xP。 【变式训练】　已知抛物线y=f(x)=2x2+1在某点处的切线平行于直线4x-y-2=0,求切点的坐标。 解　因为切线平行于直线4x-y-2=0， 所以切线的斜率为k=4。 设切点坐标为(x0，y0)， 则f'(x0)=4x0， 所以4x0=4，所以x0=1， 所以y0=2×12+1=3， 所以切点的坐标为(1，3)。 　　命题方向2:与导数的几何意义有关的图象问题 　　【例3】　已知y=f(x)的图象如图所示,则f'(xA)与f'(xB)的大小关系是 (　　) A.f'(xA)>f'(xB) B.f'(xA)<f'(xB) C.f'(xA)=f'(xB) D.不能确定 解析　由导数的几何意义得f'(xA)，f'(xB)分别是曲线在点A，B处切线的斜率，由图象可知f'(xA)<f'(xB)。 答案　B 答案与解析 　　导数的几何意义就是切线的斜率,所以比较导数的大小可以根据函数图象,观察对应切线的斜率的大小 【变式训练】　已知函数f(x)在R上可导,其部分图象如图所示,设=a,则下列不等式正确的是 (　　) A.f'(1)<f'(2)<a B.f'(1)<a<f'(2) C.f'(2)<f'(1)<a D.a<f'(1)<f'(2) 解析　由图象可知，函数在[0，+∞)上的增长越来越快，故函数图象在点(x0，f(x0))(x0∈(0，+∞))的切线的斜率越来越大，因为=a，所以f'(1)<a<f'(2)，故选B。 答案　B 答案与解析 1.设f'(x0)=0,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线 (　　) A.不存在 B.与x轴平行或重合 C.与x轴垂直 D.与x轴斜交 解析　f'(x0)=0，说明曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率为0，所以切线与x轴平行或重合。 答案　B 答案与解析 2.李华在参加一次同学聚会时,用如图所示的圆口杯喝饮料,他想:如果向杯子中倒饮料的速度一定(即单位时间内倒入的饮料量相同),那么杯子中饮料的高度h是关于时间t的函数h(t),则函数h(t)的图象可能是 (　　) A B C D 解析　由于圆口杯是“下细上粗”，则开始饮料高度增加较快，以后饮料高度增加得越来越慢，仅有B符合。 答案　B 答案与解析 3.如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f'(5)=　　　　。  解析　因为点P在直线y=-x+8上，所以f(5)=3。又由导数的几何意义可知，f'(5)=-1，所以f(5)+f'(5)=3-1=2。 答案　2 答案与解析 4.已知曲线y=f(x)=2x2+4x在点P处的切线斜率为16,则P点坐标为　　　　。  解析　设点P(x0，2+4x0)，则f'(x0)== =4x0+4，令4x0+4=16，得x0=3，所以P点坐标为(3，30)。 答案　(3，30) 答案与解析 5.求函数f(x)=的导数。 解　因为Δy=f(x+Δx)-f(x) = =， 所以=， 所以f'(x)===。 $$